-
Občas se
ocitneme v situaci,
-
kdy máme
nějakou funkci,
-
v tomto případě jde o evidentně nelineární
funkci f(x) rovná se 1 lomeno (x minus 1),
-
jejíž graf, respektive
jeho část, je zde,
-
a chceme ji aproximovat
nějakou lineární funkcí,
-
zejména okolo nějakého
konkrétního bodu.
-
Chceme tedy
nalézt aproximaci...
-
Napíšu to.
-
Chceme nalézt
aproximaci...
-
Ještě to upřesním.
-
Chceme nalézt
lineární aproximaci,
-
což znamená, že chceme
aproximovat přímkou.
-
Chceme nalézt lineární
aproximaci funkce f okolo...
-
Musíme vědět, okolo kterého
bodu funkci budeme aproximovat.
-
...okolo bodu
x rovná se −1.
-
Co tím
přesně myslíme?
-
Podívejme se
na tento graf.
-
Když je na této křivce x rovno −1,
tak f(−1) se rovná minus (1 lomeno 2).
-
Jde o tento bod.
-
Zvýrazním to
nějakou lepší barvou.
-
Je to tento bod.
-
Okolo tohoto bodu chceme zadanou
křivku aproximovat pomocí přímky.
-
Uděláme to tak, že funkci
aproximujeme rovnicí tečny k jejímu grafu.
-
Tato tečna bude
vypadat nějak takhle.
-
Vidíme, že jak jsme víc a víc
vzdáleni od bodu x rovno −1,
-
tak je tato aproximace
čím dál tím horší,
-
ale když jsme blízko
bodu x rovno −1,
-
tak je to vlastně ta nejlepší lineární
aproximace, jakou můžeme vymyslet,
-
nebo jde přinejmenším o velmi
dobrou lineární aproximaci.
-
Když tedy
někdo řekne,
-
ať najdete lineární aproximaci
funkce f okolo bodu x rovná se −1,
-
nebo když se někdo zeptá, která z
daných možností je nejlepší aproximací,
-
a na výběr
budou jen přímky,
-
tak po vás v podstatě chtějí, abyste
našli rovnici tečny v bodě x rovno −1.
-
Tak to
pojďme udělat.
-
Abychom našli
rovnici tečny...
-
Přímka má rovnici y rovná
se ‚m‘ krát ‚x‘ plus ‚b‘,
-
kde ‚m‘ je směrnice a ‚b‘ je y-ová
souřadnice průsečíku s osou y.
-
Mohli byste na
to ale jít i jinak.
-
Mohli byste hledat rovnici
v rozšířeném směrnicovém tvaru,
-
tedy ve tvaru y minus y-ová souřadnice
nějakého bodu ležícího na přímce rovná se:
-
směrnice krát (x minus příslušná
x-ová souřadnice x₁).
-
Bod [x₁; y₁] je tedy
nějaký bod ležící na dané přímce.
-
Tento rozšířený směrnicový
tvar občas přepisuji takto:
-
(y minus y₁) lomeno
(x minus x₁) se rovná b.
-
Tohle totiž pochází z toho, že pokud jsou
x₁ a y₁ souřadnice bodu na přímce,
-
tak směrnice úsečky spojující libovolný
jiný bod na přímce a tento bod
-
bude směrnice
dané přímky.
-
Můžeme na to jít
kterýmkoliv z těchto způsobů.
-
Nejprve určeme
směrnici naší tečny.
-
K tomu se nám
bude hodit derivace.
-
Tedy f...
-
Zatím jen přepíšu
předpis funkce f(x).
-
Napíšu to jako
(x minus 1) na minus prvou.
-
Teď už jde lépe vidět, že můžeme
použít pravidlo pro derivaci mocniny
-
a pak vzorec pro
derivaci složené funkce.
-
Derivace funkce f
podle x se rovná...
-
Derivace z (x minus 1) umocněné
na minus prvou podle (x minus 1) je...
-
Když použijeme vzorec
pro derivaci mocniny,
-
tak to bude −1 krát (x minus 1)
umocněné na minus druhou,
-
což teď musíme vynásobit
derivací (x minus 1) podle x,
-
což je 1, že?
-
Derivace x podle x je 1
a derivace −1 podle x je 0,
-
takže sem můžeme napsat
krát 1, pokud chceme.
-
Nebo to tam ani psát nemusíme,
protože to nijak nezmění hodnotu výrazu.
-
Nyní derivaci vyčísleme
v bodě x rovno −1.
-
f s čárkou
v bodě −1 se rovná...
-
Můžu to napsat
jen jako minus...
-
Nebo raději jako −1 lomeno
((−1 minus 1) na druhou).
-
Tady dole budeme mít −2, takže
výsledek je minus (1 lomeno 4).
-
Směrnice naší
tečny je tedy...
-
Mohu to napsat tak, že m se
rovná minus (1 lomeno 4).
-
Teď už jen zbývá
napsat rovnici tečny.
-
Už známe nějaký bod [x₁; y₁],
který leží na této tečně.
-
Použijeme bod
s x-ovou souřadnicí −1.
-
Víme, že bod [−1;...
-
Můžeme dosadit
přímo sem.
-
f(−1) se rovná
minus (1 lomeno 2),
-
protože 1 lomeno (−1 minus 1)
je minus (1 lomeno 2).
-
Víme tedy, že bod [−1; −(1 lomeno 2)]
leží na křivce i naší tečně k ní,
-
protože jde o bod průniku
křivky a její tečny.
-
Nyní můžeme využít libovolný z těchto
tvarů a napsat rovnici naší tečny.
-
Můžeme napsat,
že y...
-
Napíšu to sem.
-
...y minus y₁, tedy
y minus (−(1 lomeno 2)),
-
se rovná směrnici,
tedy minus (1 lomeno 4)...
-
Používám rozšířený
směrnicový tvar rovnice přímky.
-
...se rovná směrnici
krát (x minus x₁),
-
tedy x minus x-ová souřadnice
známého bodu ležícího na přímce,
-
což bude
x minus −1.
-
Teď to celé přepíšu
nějakou jinou barvou.
-
Bude to y plus (1 lomeno 2)
se rovná...
-
Tady to můžu
napsat jako +1
-
a teď roznásobím číslem
minus (1 lomeno 4).
-
Vyjde mi minus (1 lomeno 4) krát x
a pak minus (1 lomeno 4).
-
Nyní mohu od obou
stran odečíst 1 lomeno 2,
-
díky čemuž dostanu, že y se rovná
minus (1 lomeno 4) krát x a pak...
-
Když tady odečítám 1 lomeno 4
a pak odečtu ještě 1 lomeno 2,
-
tak to bude
minus (3 lomeno 4).
-
To je vlastně docela blízko
tomu, co jsem tady namaloval.
-
Osu y by tahle tečna měla protínat v bodě
y rovná se minus (3 lomeno 4).
-
A máme hotovo.
-
Tato přímka, respektive tato rovnice,
je velmi dobrou lineární aproximací,
-
v podstatě nejlepší
možnou lineární aproximací,
-
pro naši nelineární funkci
okolo bodu x rovno −1.
-
Možná si říkáte, proč se prostě nezeptají
na rovnici tečny v bodě x rovno −1.
-
To by sice mohli, ale takhle nad tím
musíte víc přemýšlet a říct si:
-
„K aproximaci této funkce okolo bodu
x rovno −1 můžu využít rovnici tečny.“
Khan Academy
