-
Има ситуации,
-
в които имаш някакъв
вид функция.
-
Ясно е, че това не е
линейна функция.
-
f(x) равно на 1 върху х минус 1.
-
Това е нейната графика
или поне част от нея.
-
Но понякога искаш да приближиш
до линейна функция,
-
особено около някоя
определена стойност.
-
Това, което ще направим, е...
-
Искаме да намерим
приближение. Нека го запиша.
-
Търсим приближение за...
-
Търсим линейно приближение,
-
затова ще го направя с права.
-
Искам да намеря
линейно приближение
-
на f около... трябва да знаем
-
къде искаме да е
приближението...
-
около х равно на –1.
-
Какво искаме да кажем с това?
-
Да разгледаме графиката.
-
На тази крива, когато х = –1,
-
f(–1) е –1/2,
-
което ни води ето тук. Нека
използвам по-добър цвят.
-
Искаме да направим
-
приближение с права
около това.
-
По същество ще направим
приближение
-
с уравнението за допирателна.
-
Допирателната ще изглежда
-
ето така и виждаме, че
-
колкото се отдалечаваме
-
от х равно на –1,
-
приближението става по-зле
и по-зле,
-
но ако стоим около х = –1,
-
е добре. Колкото е възможно
-
за линейно приближение или
поне в този пример
-
това е доста добро
линейно приближение.
-
Когато някой ти каже да намериш
линейното приближение
-
на f около х равно на –1,
-
или те питат какво е
най-доброто приближение
-
и всичките ти варианти
са прави,
-
тогава всъщност се иска
да намериш
-
уравнението на допирателната
при х равно на –1.
-
Хайде да го направим.
-
За да намерим уравнението
на допирателната...
-
Уравнението на права е
у = mx + b,
-
където m е наклонът,
а b е ордината на пресечната точка с Оу.
-
Това може да се разгледа
и по други начини.
-
Може да се разгледа и като
права, минаваща през точка,
-
където у минус друго у,
което лежи
-
на тази права, е равно
на наклона по х минус
-
съответното х едно.
Следователно (х1; у1)
-
лежи някъде на тази права.
-
Всъщност понякога записвам
този вариант
-
по този начин:
у – у1 върху х – х1
-
равно на b, защото това излиза
-
от тази идея.
-
Виж, ако х1 и у1 са от правата,
-
наклонът между всяка
друга точка от правата
-
и тази точка ще бъде
наклонът на нашата права.
-
Можем да го разгледаме
по всеки от тези начини.
-
Нека първо намерим
наклона на допирателната
-
и тук производната
ще ни е полезна.
-
Нека запиша пак f(x).
-
Ще го запиша като х минус 1
-
на степен –1.
Така ни става по-ясно,
-
че можем да използваме
формулата за производна от степен
-
и малко верижното правило.
-
Производната на f спрямо х
е равна на:
-
производната на х – 1
на степен –1
-
спрямо х минус 1 ще бъде просто...
-
Ще използвам формулата
за производна от степен.
-
Ще бъде –1 по х минус 1
-
на степен –2 и после
ще умножим това
-
по производната на
х минус спрямо х,
-
което ще бъде просто 1.
-
Производната на х е 1.
-
Производната на –1 е 0.
-
Тук можем да кажем по 1,
ако искаме,
-
а може и да не го записваме,
-
защото стойността
не се променя.
-
Нека пресметнем това
при х равно на –1.
-
f прим от –1 е равно на:
-
Мога да запиша този
минус така.
-
–1 върху –1
-
минус 1 на квадрат.
Това долу ще бъде –2,
-
следователно това
е равно на –1/4.
-
Наклонът на допирателната е...
-
Мога да го запиша така:
m е равно на –1/4.
-
Сега само трябва
да запишем уравнението му.
-
Вече знаем, че х1 и у1
лежат на правата.
-
Всъщност искаме
да използваме точката,
-
в която х е равно на –1.
-
Знаем, че точката (–1;...
-
Можем да го запишем тук.
-
f(–1) е –1/2,
-
1 върху –1 минус 1,
което е –1/2.
-
Следователно знаем,
че (–1; –1/2)
-
лежи на кривата и че
е част от нашата права.
-
Това е точката, в която
допирателната
-
и кривата се пресичат.
-
Сега можем да използваме
някое от тези,
-
за да запишем
уравнението на правата.
-
Можем да запишем
-
у минус у1, следователно
минус –1/2
-
ще бъде равно на
-
нашия наклон –1/4...
-
просто използвам уравнението за
права, минаваща през точка...
-
равно на наклона по х – х1.
-
х минус нашата х координата,
която знаем, че лежи тук.
-
Следователно минус –1.
-
Нека сега запиша всичко това
с неутрален цвят.
-
Това ще бъде у плюс 1/2
равно на...
-
Това тук ще бъде плюс
-
и мога да разкрия скобите.
-
Получаваме –1/4х минус –1/4
-
После мога да извадя
1/2 от двете страни
-
и получавам, че
у е равно на –1/4х...
-
После, щом вече
изваждам 1/4
-
и извадя още 1/2,
ще получа –3/4.
-
–3/4.
-
Това доста се доближава до това,
което начертах тук горе.
-
Това би трябвало да пресича
оста у в –3/4.
-
Готово, тази права,
-
а можем да кажем
и това уравнение
-
ще бъде едно много добро
линейно приближение,
-
колкото е възможно
за линейно приближение,
-
на тази нелинейна функция
около х равно на –1.
-
Може да си кажеш:
"Ами, защо просто не искаха
-
да намеря уравнението на
допирателната
-
при х равно на 1". Можеха,
-
но има малко допълнителна
мисловна дейност така.
-
Добре, можем да използваме
уравнението
-
на допирателната,
за да намерим приближение
-
на тази функция около
х равно на –1.
Khan Academy
