Part 1 of Proof of Heron's Formula
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0:00 - 0:07现在有个三角形
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0:07 - 0:09现在我只知道三角形的边长
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0:09 - 0:12这条边长为a 这条边长为b
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0:12 - 0:14这条边长是c
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0:14 - 0:17问题是求这个三角形的面积
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0:17 - 0:23我们知道三角形的面积
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0:23 - 0:28等于1/2乘以底
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0:28 - 0:30乘以高
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0:30 - 0:33按照我画的三角形
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0:33 - 0:37底是c
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0:37 - 0:40但高未知
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0:40 - 0:42设高为h
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0:42 - 0:44但我们不知道h是什么
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0:44 - 0:49问题是如何算出三角形的面积
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0:49 - 0:52如果你看了最后一个视频就知道应该使用海伦公式
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0:52 - 0:56但现在的思想是要证明这个公式
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0:56 - 0:59现在让我们仅用勾股定律
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0:59 - 1:03计算出h
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1:03 - 1:06因此一旦我们知道h就可以应用这个公式
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1:06 - 1:11求出这个三角形的面积
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1:11 - 1:13让我们定义另个变量
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1:13 - 1:19这个技巧你将经常在几何学中看到
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1:19 - 1:27让我定义这个为x 用品红色表示
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1:27 - 1:30那么用蓝紫色表示c-x 对吧
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1:30 - 1:33整条底边长为c
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1:34 - 1:37所以如果这部分是x 那么这部分就是c-x
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1:37 - 1:41现在已知有两个直角三角形
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1:41 - 1:43h为它们的高
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1:43 - 1:46我可以列出两个勾股定理方程式
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1:46 - 1:49首先 我来做左边的
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1:49 - 1:58x的平方加h的平方等于a的平方
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1:58 - 2:00这是从左边三角形得来的
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2:00 - 2:08再看右边这个三角形
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2:08 - 2:14c-x的平方加上h的平方等于b的平方
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2:14 - 2:16假设a b c已知
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2:16 - 2:19那么现有就两个方程两个未知量
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2:19 - 2:22这两个未知量是x和h
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2:22 - 2:24记住 因为我们已经知道c
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2:24 - 2:26h才是我们要求的量
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2:26 - 2:28一旦我们知道h 就可以运用面积公式了
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2:28 - 2:29那么我们该怎样做呢
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2:29 - 2:31把h替换来求出x
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2:31 - 2:36我的意思是在这个式子中h平方的表达式
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2:36 - 2:38假如求h的平方 我们只需在两边
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2:38 - 2:40都减去x的平方
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2:40 - 2:51可以写h的平方等于a的平方减去x的平方
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2:51 - 2:55然后我们可以利用这点
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2:55 - 2:56把h的平方替换为a与x的表达式
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2:56 - 3:05下面的式子为c-x的平方加h的平方
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3:05 - 3:09我们在上边的式子已经替换了h
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3:09 - 3:13h就等于 我用这种颜色表示
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3:13 - 3:19a的平方减去x的平方 右边是b的平方
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3:19 - 3:22我把这的值替换在这
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3:22 - 3:24这个替换在这儿
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3:24 - 3:26现在我们来展开这个式子
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3:26 - 3:34c-x的平方等于c的平方减去2cx加上x的平方
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3:34 - 3:47再加上a的平方减去x的平方等于b的平方
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3:47 - 3:54式子中有x的平方和a-x的平方所以这些消去
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3:54 - 3:59让我们在等式两边加上2cx
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3:59 - 4:03现在我们的等式左边变为c的平方加a的平方
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4:03 - 4:09我把2cx加在两边你会得到右边是
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4:09 - 4:14b的平方加上2cx
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4:14 - 4:17总结下 我消去了x的平方并且在
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4:17 - 4:20等式两边加上2cx
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4:20 - 4:22我的目的是求出x
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4:22 - 4:26一旦求出x 就可以计算出h再用公式
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4:26 - 4:30为求x 我们在等式两边减去b的平方
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4:30 - 4:41c的平方加a的平方减b的平方等于2cx
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4:41 - 4:46如果两边同时除以2c 将得到x等于
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4:46 - 4:53c平方加a平方减b平方的结果再除以2c
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4:53 - 4:55我们便得到了x的值
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4:55 - 4:58现在我们的目标是计算出高
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4:58 - 5:00以便运用1/2乘以底乘以高
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5:00 - 5:03因此我们回到这边的方程
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5:03 - 5:06来计算出高
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5:06 - 5:09让我们往下拖动一些
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5:09 - 5:20我们知道h的平方等于a的平方减去x的平方
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5:20 - 5:24让我们把求得的x值代入这个式子
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5:24 - 5:28所以这边是减去这个值
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5:28 - 5:37c平方加a平方减b平方后再除以2c 结果再平方
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5:37 - 5:41也就是x的平方 我们算出了高的平方
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5:41 - 5:47h就等于这个结果的平方根
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5:47 - 5:50我来换种颜色
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5:50 - 6:19a平方加c平方减去b平方全都是平方值
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6:19 - 6:23c平方加上a平方减去b平方后
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6:23 - 6:26除以2c
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6:26 - 6:28就是三角形的高
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6:28 - 6:30就是我们开始用到的三角形的高
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6:31 - 6:32让我们在这复制粘贴为确保我们能够
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6:32 - 6:35记住求出的值
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6:35 - 6:46用a b c 来表示高我们便能够知道高的值
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6:46 - 6:51这是个复杂的公式
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6:51 - 6:55如果我们想要求出面积
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6:55 - 6:58让我用粉色来做
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6:58 - 7:03这个面积将是1/2乘以底
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7:03 - 7:08底是整个边长c乘以
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7:08 - 7:14刚才求出的高
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7:14 - 7:21让我直接复制粘贴
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7:21 - 7:28那么这就是面积的表达式了
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7:28 - 7:29现在你没准觉得
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7:29 - 7:32它看起来不像海伦公式
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7:32 - 7:35你是对的它不是特别像
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7:35 - 7:38但我将在下个视频演示给你看 它就是
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7:38 - 7:39海伦公式
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7:39 - 7:43海伦公式更难记些
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7:43 - 7:45我将会运用到很多代数知识来简化它
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7:45 - 7:47让它变成海伦公式
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7:47 - 7:51它会起作用的 如果你能记住它
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7:51 - 7:53我觉得海伦公式就会更容易记忆
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7:53 - 7:57假如你能记住这个并且已知a b c
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7:57 - 8:00你就能运用这个公式
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8:00 - 8:03得到三角形的面积
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8:03 - 8:07事实上 这至少能够证明这和运用海伦公式
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8:07 - 8:09得到的结果相同
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8:09 - 8:17最后一个视频 三角形边长分别为9 11和16
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8:17 - 8:26用海伦公式计算的面积等于18乘以7的平方根
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8:26 - 8:29让我们看看应用这个公式我们能到什么
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8:29 - 8:41面积等于1/2乘以16乘以
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8:41 - 8:53高c的平方256
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8:53 - 9:00加上a的平方81减去b的平方121
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9:00 - 9:07注意都是平方的 得到的结果除以2c
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9:07 - 9:10也就是32
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9:10 - 9:12让我们看看是否能够再简化点
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9:12 - 9:1981减去121 也就是负40结果就是216除以32
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9:19 - 9:24面积就是1/2乘以16等于8
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9:24 - 9:24让我们换种颜色
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9:24 - 9:298乘以这个平方根81减121是负40
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9:29 - 9:48256减40是216除以32再平方
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9:48 - 9:52现在就是纯计算问题了
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9:52 - 9:54让我们用计算器算一下
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9:54 - 9:57我想要演示给你们看两个数字应该是相同的
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9:57 - 10:00打开计算器
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10:00 - 10:08首先求得18乘以7的平方根是多少
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10:08 - 10:11这个结果是用海伦公式算的 我们得到了47.62
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10:11 - 10:13让我们看看用另种方法是否也是47.62
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10:13 - 10:228乘以81的平方根减去216
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10:22 - 10:34结果除以32再平方 之后再算出平方根
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10:34 - 10:38我们得到了相同的数字
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10:39 - 10:40我之前有点担心出错
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10:40 - 10:41因为我并没有提前做过运算
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10:41 - 10:44但这下你明白了
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10:44 - 10:45两个数字相同
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10:45 - 10:47所以我们运用这个公式和海伦公式
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10:47 - 10:49求出的结果相等
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10:49 - 10:51我将在下个视频证明给你们看
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10:51 - 10:58这个式子能够简化成海伦公式
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chezisu1988 added a translation |