现在有个三角形
现在我只知道三角形的边长
这条边长为a 这条边长为b
这条边长是c
问题是求这个三角形的面积
我们知道三角形的面积
等于1/2乘以底
乘以高
按照我画的三角形
底是c
但高未知
设高为h
但我们不知道h是什么
问题是如何算出三角形的面积
如果你看了最后一个视频就知道应该使用海伦公式
但现在的思想是要证明这个公式
现在让我们仅用勾股定律
计算出h
因此一旦我们知道h就可以应用这个公式
求出这个三角形的面积
让我们定义另个变量
这个技巧你将经常在几何学中看到
让我定义这个为x 用品红色表示
那么用蓝紫色表示c-x 对吧
整条底边长为c
所以如果这部分是x 那么这部分就是c-x
现在已知有两个直角三角形
h为它们的高
我可以列出两个勾股定理方程式
首先 我来做左边的
x的平方加h的平方等于a的平方
这是从左边三角形得来的
再看右边这个三角形
c-x的平方加上h的平方等于b的平方
假设a b c已知
那么现有就两个方程两个未知量
这两个未知量是x和h
记住 因为我们已经知道c
h才是我们要求的量
一旦我们知道h 就可以运用面积公式了
那么我们该怎样做呢
把h替换来求出x
我的意思是在这个式子中h平方的表达式
假如求h的平方 我们只需在两边
都减去x的平方
可以写h的平方等于a的平方减去x的平方
然后我们可以利用这点
把h的平方替换为a与x的表达式
下面的式子为c-x的平方加h的平方
我们在上边的式子已经替换了h
h就等于 我用这种颜色表示
a的平方减去x的平方 右边是b的平方
我把这的值替换在这
这个替换在这儿
现在我们来展开这个式子
c-x的平方等于c的平方减去2cx加上x的平方
再加上a的平方减去x的平方等于b的平方
式子中有x的平方和a-x的平方所以这些消去
让我们在等式两边加上2cx
现在我们的等式左边变为c的平方加a的平方
我把2cx加在两边你会得到右边是
b的平方加上2cx
总结下 我消去了x的平方并且在
等式两边加上2cx
我的目的是求出x
一旦求出x 就可以计算出h再用公式
为求x 我们在等式两边减去b的平方
c的平方加a的平方减b的平方等于2cx
如果两边同时除以2c 将得到x等于
c平方加a平方减b平方的结果再除以2c
我们便得到了x的值
现在我们的目标是计算出高
以便运用1/2乘以底乘以高
因此我们回到这边的方程
来计算出高
让我们往下拖动一些
我们知道h的平方等于a的平方减去x的平方
让我们把求得的x值代入这个式子
所以这边是减去这个值
c平方加a平方减b平方后再除以2c 结果再平方
也就是x的平方 我们算出了高的平方
h就等于这个结果的平方根
我来换种颜色
a平方加c平方减去b平方全都是平方值
c平方加上a平方减去b平方后
除以2c
就是三角形的高
就是我们开始用到的三角形的高
让我们在这复制粘贴为确保我们能够
记住求出的值
用a b c 来表示高我们便能够知道高的值
这是个复杂的公式
如果我们想要求出面积
让我用粉色来做
这个面积将是1/2乘以底
底是整个边长c乘以
刚才求出的高
让我直接复制粘贴
那么这就是面积的表达式了
现在你没准觉得
它看起来不像海伦公式
你是对的它不是特别像
但我将在下个视频演示给你看 它就是
海伦公式
海伦公式更难记些
我将会运用到很多代数知识来简化它
让它变成海伦公式
它会起作用的 如果你能记住它
我觉得海伦公式就会更容易记忆
假如你能记住这个并且已知a b c
你就能运用这个公式
得到三角形的面积
事实上 这至少能够证明这和运用海伦公式
得到的结果相同
最后一个视频 三角形边长分别为9 11和16
用海伦公式计算的面积等于18乘以7的平方根
让我们看看应用这个公式我们能到什么
面积等于1/2乘以16乘以
高c的平方256
加上a的平方81减去b的平方121
注意都是平方的 得到的结果除以2c
也就是32
让我们看看是否能够再简化点
81减去121 也就是负40结果就是216除以32
面积就是1/2乘以16等于8
让我们换种颜色
8乘以这个平方根81减121是负40
256减40是216除以32再平方
现在就是纯计算问题了
让我们用计算器算一下
我想要演示给你们看两个数字应该是相同的
打开计算器
首先求得18乘以7的平方根是多少
这个结果是用海伦公式算的 我们得到了47.62
让我们看看用另种方法是否也是47.62
8乘以81的平方根减去216
结果除以32再平方 之后再算出平方根
我们得到了相同的数字
我之前有点担心出错
因为我并没有提前做过运算
但这下你明白了
两个数字相同
所以我们运用这个公式和海伦公式
求出的结果相等
我将在下个视频证明给你们看
这个式子能够简化成海伦公式