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Title: 
[Events]
Format: Layer, Start, End, Style, Name, MarginL, MarginR, MarginV, Effect, Text
Dialogue: 0,0:00:00.00,0:00:06.74,Default,,0000,0000,0000,,现在有个三角形
Dialogue: 0,0:00:06.74,0:00:08.87,Default,,0000,0000,0000,,现在我只知道三角形的边长
Dialogue: 0,0:00:08.87,0:00:11.97,Default,,0000,0000,0000,,这条边长为a 这条边长为b
Dialogue: 0,0:00:12.02,0:00:14.15,Default,,0000,0000,0000,,这条边长是c
Dialogue: 0,0:00:14.19,0:00:17.44,Default,,0000,0000,0000,,问题是求这个三角形的面积
Dialogue: 0,0:00:17.44,0:00:23.18,Default,,0000,0000,0000,,我们知道三角形的面积
Dialogue: 0,0:00:23.18,0:00:27.55,Default,,0000,0000,0000,,等于1/2乘以底
Dialogue: 0,0:00:27.55,0:00:29.78,Default,,0000,0000,0000,,乘以高
Dialogue: 0,0:00:29.78,0:00:32.73,Default,,0000,0000,0000,,按照我画的三角形
Dialogue: 0,0:00:32.73,0:00:36.59,Default,,0000,0000,0000,,底是c
Dialogue: 0,0:00:36.59,0:00:39.67,Default,,0000,0000,0000,,但高未知
Dialogue: 0,0:00:39.67,0:00:42.17,Default,,0000,0000,0000,,设高为h
Dialogue: 0,0:00:42.17,0:00:43.65,Default,,0000,0000,0000,,但我们不知道h是什么
Dialogue: 0,0:00:43.65,0:00:49.15,Default,,0000,0000,0000,,问题是如何算出三角形的面积
Dialogue: 0,0:00:49.15,0:00:52.44,Default,,0000,0000,0000,,如果你看了最后一个视频就知道应该使用海伦公式
Dialogue: 0,0:00:52.44,0:00:55.98,Default,,0000,0000,0000,,但现在的思想是要证明这个公式
Dialogue: 0,0:00:55.98,0:00:59.43,Default,,0000,0000,0000,,现在让我们仅用勾股定律
Dialogue: 0,0:00:59.45,0:01:02.61,Default,,0000,0000,0000,,计算出h
Dialogue: 0,0:01:02.61,0:01:06.29,Default,,0000,0000,0000,,因此一旦我们知道h就可以应用这个公式
Dialogue: 0,0:01:06.29,0:01:11.24,Default,,0000,0000,0000,,求出这个三角形的面积
Dialogue: 0,0:01:11.27,0:01:13.49,Default,,0000,0000,0000,,让我们定义另个变量
Dialogue: 0,0:01:13.49,0:01:18.97,Default,,0000,0000,0000,,这个技巧你将经常在几何学中看到
Dialogue: 0,0:01:19.00,0:01:27.07,Default,,0000,0000,0000,,让我定义这个为x 用品红色表示
Dialogue: 0,0:01:27.08,0:01:30.25,Default,,0000,0000,0000,,那么用蓝紫色表示c-x 对吧
Dialogue: 0,0:01:30.25,0:01:33.47,Default,,0000,0000,0000,,整条底边长为c
Dialogue: 0,0:01:33.53,0:01:37.17,Default,,0000,0000,0000,,所以如果这部分是x 那么这部分就是c-x
Dialogue: 0,0:01:37.22,0:01:40.75,Default,,0000,0000,0000,,现在已知有两个直角三角形
Dialogue: 0,0:01:40.75,0:01:42.99,Default,,0000,0000,0000,,h为它们的高
Dialogue: 0,0:01:43.03,0:01:46.08,Default,,0000,0000,0000,,我可以列出两个勾股定理方程式
Dialogue: 0,0:01:46.08,0:01:49.34,Default,,0000,0000,0000,,首先 我来做左边的
Dialogue: 0,0:01:49.34,0:01:57.66,Default,,0000,0000,0000,,x的平方加h的平方等于a的平方
Dialogue: 0,0:01:57.66,0:02:00.15,Default,,0000,0000,0000,,这是从左边三角形得来的
Dialogue: 0,0:02:00.15,0:02:08.12,Default,,0000,0000,0000,,再看右边这个三角形
Dialogue: 0,0:02:08.12,0:02:13.53,Default,,0000,0000,0000,,c-x的平方加上h的平方等于b的平方
Dialogue: 0,0:02:13.53,0:02:16.22,Default,,0000,0000,0000,,假设a b c已知
Dialogue: 0,0:02:16.22,0:02:19.07,Default,,0000,0000,0000,,那么现有就两个方程两个未知量
Dialogue: 0,0:02:19.07,0:02:22.19,Default,,0000,0000,0000,,这两个未知量是x和h
Dialogue: 0,0:02:22.19,0:02:24.35,Default,,0000,0000,0000,,记住 因为我们已经知道c
Dialogue: 0,0:02:24.35,0:02:25.58,Default,,0000,0000,0000,,h才是我们要求的量
Dialogue: 0,0:02:25.58,0:02:27.69,Default,,0000,0000,0000,,一旦我们知道h 就可以运用面积公式了
Dialogue: 0,0:02:27.69,0:02:28.78,Default,,0000,0000,0000,,那么我们该怎样做呢
Dialogue: 0,0:02:28.81,0:02:31.48,Default,,0000,0000,0000,,把h替换来求出x
Dialogue: 0,0:02:31.48,0:02:35.71,Default,,0000,0000,0000,,我的意思是在这个式子中h平方的表达式
Dialogue: 0,0:02:35.71,0:02:38.28,Default,,0000,0000,0000,,假如求h的平方 我们只需在两边
Dialogue: 0,0:02:38.28,0:02:40.10,Default,,0000,0000,0000,,都减去x的平方
Dialogue: 0,0:02:40.10,0:02:50.91,Default,,0000,0000,0000,,可以写h的平方等于a的平方减去x的平方
Dialogue: 0,0:02:50.91,0:02:54.82,Default,,0000,0000,0000,,然后我们可以利用这点
Dialogue: 0,0:02:54.82,0:02:55.95,Default,,0000,0000,0000,,把h的平方替换为a与x的表达式
Dialogue: 0,0:02:55.95,0:03:05.19,Default,,0000,0000,0000,,下面的式子为c-x的平方加h的平方
Dialogue: 0,0:03:05.24,0:03:08.75,Default,,0000,0000,0000,,我们在上边的式子已经替换了h
Dialogue: 0,0:03:08.75,0:03:12.52,Default,,0000,0000,0000,,h就等于 我用这种颜色表示
Dialogue: 0,0:03:12.52,0:03:19.25,Default,,0000,0000,0000,,a的平方减去x的平方 右边是b的平方
Dialogue: 0,0:03:19.25,0:03:21.70,Default,,0000,0000,0000,,我把这的值替换在这
Dialogue: 0,0:03:21.70,0:03:24.09,Default,,0000,0000,0000,,这个替换在这儿
Dialogue: 0,0:03:24.09,0:03:25.64,Default,,0000,0000,0000,,现在我们来展开这个式子
Dialogue: 0,0:03:25.64,0:03:33.67,Default,,0000,0000,0000,,c-x的平方等于c的平方减去2cx加上x的平方
Dialogue: 0,0:03:33.67,0:03:47.20,Default,,0000,0000,0000,,再加上a的平方减去x的平方等于b的平方
Dialogue: 0,0:03:47.20,0:03:53.77,Default,,0000,0000,0000,,式子中有x的平方和a-x的平方所以这些消去
Dialogue: 0,0:03:53.77,0:03:58.83,Default,,0000,0000,0000,,让我们在等式两边加上2cx
Dialogue: 0,0:03:58.83,0:04:03.21,Default,,0000,0000,0000,,现在我们的等式左边变为c的平方加a的平方
Dialogue: 0,0:04:03.21,0:04:09.20,Default,,0000,0000,0000,,我把2cx加在两边你会得到右边是
Dialogue: 0,0:04:09.22,0:04:13.87,Default,,0000,0000,0000,,b的平方加上2cx
Dialogue: 0,0:04:13.87,0:04:16.62,Default,,0000,0000,0000,,总结下 我消去了x的平方并且在
Dialogue: 0,0:04:16.62,0:04:19.60,Default,,0000,0000,0000,,等式两边加上2cx
Dialogue: 0,0:04:19.60,0:04:21.85,Default,,0000,0000,0000,,我的目的是求出x
Dialogue: 0,0:04:21.85,0:04:25.66,Default,,0000,0000,0000,,一旦求出x 就可以计算出h再用公式
Dialogue: 0,0:04:25.66,0:04:30.07,Default,,0000,0000,0000,,为求x 我们在等式两边减去b的平方
Dialogue: 0,0:04:30.07,0:04:40.51,Default,,0000,0000,0000,,c的平方加a的平方减b的平方等于2cx
Dialogue: 0,0:04:40.51,0:04:45.68,Default,,0000,0000,0000,,如果两边同时除以2c 将得到x等于
Dialogue: 0,0:04:45.68,0:04:52.90,Default,,0000,0000,0000,,c平方加a平方减b平方的结果再除以2c
Dialogue: 0,0:04:52.90,0:04:54.57,Default,,0000,0000,0000,,我们便得到了x的值
Dialogue: 0,0:04:54.57,0:04:58.06,Default,,0000,0000,0000,,现在我们的目标是计算出高
Dialogue: 0,0:04:58.06,0:05:00.00,Default,,0000,0000,0000,,以便运用1/2乘以底乘以高
Dialogue: 0,0:05:00.00,0:05:03.41,Default,,0000,0000,0000,,因此我们回到这边的方程
Dialogue: 0,0:05:03.41,0:05:06.44,Default,,0000,0000,0000,,来计算出高
Dialogue: 0,0:05:06.44,0:05:09.11,Default,,0000,0000,0000,,让我们往下拖动一些
Dialogue: 0,0:05:09.14,0:05:20.10,Default,,0000,0000,0000,,我们知道h的平方等于a的平方减去x的平方
Dialogue: 0,0:05:20.12,0:05:23.59,Default,,0000,0000,0000,,让我们把求得的x值代入这个式子
Dialogue: 0,0:05:23.63,0:05:27.50,Default,,0000,0000,0000,,所以这边是减去这个值
Dialogue: 0,0:05:27.50,0:05:36.62,Default,,0000,0000,0000,,c平方加a平方减b平方后再除以2c 结果再平方
Dialogue: 0,0:05:36.64,0:05:40.58,Default,,0000,0000,0000,,也就是x的平方 我们算出了高的平方
Dialogue: 0,0:05:40.64,0:05:47.14,Default,,0000,0000,0000,,h就等于这个结果的平方根
Dialogue: 0,0:05:47.14,0:05:49.88,Default,,0000,0000,0000,,我来换种颜色
Dialogue: 0,0:05:49.92,0:06:18.57,Default,,0000,0000,0000,,a平方加c平方减去b平方全都是平方值
Dialogue: 0,0:06:18.61,0:06:23.06,Default,,0000,0000,0000,,c平方加上a平方减去b平方后
Dialogue: 0,0:06:23.11,0:06:25.86,Default,,0000,0000,0000,,除以2c
Dialogue: 0,0:06:25.91,0:06:27.93,Default,,0000,0000,0000,,就是三角形的高
Dialogue: 0,0:06:27.93,0:06:30.49,Default,,0000,0000,0000,,就是我们开始用到的三角形的高
Dialogue: 0,0:06:30.55,0:06:32.21,Default,,0000,0000,0000,,让我们在这复制粘贴为确保我们能够
Dialogue: 0,0:06:32.21,0:06:34.53,Default,,0000,0000,0000,,记住求出的值
Dialogue: 0,0:06:34.53,0:06:46.40,Default,,0000,0000,0000,,用a b c 来表示高我们便能够知道高的值
Dialogue: 0,0:06:46.40,0:06:51.37,Default,,0000,0000,0000,,这是个复杂的公式
Dialogue: 0,0:06:51.37,0:06:55.14,Default,,0000,0000,0000,,如果我们想要求出面积
Dialogue: 0,0:06:55.14,0:06:57.85,Default,,0000,0000,0000,,让我用粉色来做
Dialogue: 0,0:06:57.85,0:07:03.25,Default,,0000,0000,0000,,这个面积将是1/2乘以底
Dialogue: 0,0:07:03.25,0:07:07.76,Default,,0000,0000,0000,,底是整个边长c乘以
Dialogue: 0,0:07:07.82,0:07:13.51,Default,,0000,0000,0000,,刚才求出的高
Dialogue: 0,0:07:13.54,0:07:21.02,Default,,0000,0000,0000,,让我直接复制粘贴
Dialogue: 0,0:07:21.02,0:07:27.99,Default,,0000,0000,0000,,那么这就是面积的表达式了
Dialogue: 0,0:07:28.03,0:07:29.12,Default,,0000,0000,0000,,现在你没准觉得
Dialogue: 0,0:07:29.17,0:07:31.53,Default,,0000,0000,0000,,它看起来不像海伦公式
Dialogue: 0,0:07:31.53,0:07:35.35,Default,,0000,0000,0000,,你是对的它不是特别像
Dialogue: 0,0:07:35.35,0:07:37.57,Default,,0000,0000,0000,,但我将在下个视频演示给你看 它就是
Dialogue: 0,0:07:37.57,0:07:39.23,Default,,0000,0000,0000,,海伦公式
Dialogue: 0,0:07:39.23,0:07:43.00,Default,,0000,0000,0000,,海伦公式更难记些
Dialogue: 0,0:07:43.04,0:07:45.48,Default,,0000,0000,0000,,我将会运用到很多代数知识来简化它
Dialogue: 0,0:07:45.48,0:07:47.26,Default,,0000,0000,0000,,让它变成海伦公式
Dialogue: 0,0:07:47.26,0:07:50.73,Default,,0000,0000,0000,,它会起作用的 如果你能记住它
Dialogue: 0,0:07:50.73,0:07:52.75,Default,,0000,0000,0000,,我觉得海伦公式就会更容易记忆
Dialogue: 0,0:07:52.75,0:07:56.68,Default,,0000,0000,0000,,假如你能记住这个并且已知a b c
Dialogue: 0,0:07:56.68,0:07:59.84,Default,,0000,0000,0000,,你就能运用这个公式
Dialogue: 0,0:07:59.90,0:08:03.29,Default,,0000,0000,0000,,得到三角形的面积
Dialogue: 0,0:08:03.33,0:08:06.70,Default,,0000,0000,0000,,事实上 这至少能够证明这和运用海伦公式
Dialogue: 0,0:08:06.70,0:08:09.11,Default,,0000,0000,0000,,得到的结果相同
Dialogue: 0,0:08:09.16,0:08:16.77,Default,,0000,0000,0000,,最后一个视频 三角形边长分别为9 11和16
Dialogue: 0,0:08:16.81,0:08:26.06,Default,,0000,0000,0000,,用海伦公式计算的面积等于18乘以7的平方根
Dialogue: 0,0:08:26.09,0:08:28.60,Default,,0000,0000,0000,,让我们看看应用这个公式我们能到什么
Dialogue: 0,0:08:28.65,0:08:40.54,Default,,0000,0000,0000,,面积等于1/2乘以16乘以
Dialogue: 0,0:08:40.54,0:08:52.61,Default,,0000,0000,0000,,高c的平方256
Dialogue: 0,0:08:52.68,0:08:59.97,Default,,0000,0000,0000,,加上a的平方81减去b的平方121
Dialogue: 0,0:09:00.04,0:09:06.70,Default,,0000,0000,0000,,注意都是平方的 得到的结果除以2c
Dialogue: 0,0:09:06.70,0:09:09.70,Default,,0000,0000,0000,,也就是32
Dialogue: 0,0:09:09.70,0:09:11.92,Default,,0000,0000,0000,,让我们看看是否能够再简化点
Dialogue: 0,0:09:11.97,0:09:18.77,Default,,0000,0000,0000,,81减去121 也就是负40结果就是216除以32
Dialogue: 0,0:09:18.86,0:09:23.54,Default,,0000,0000,0000,,面积就是1/2乘以16等于8
Dialogue: 0,0:09:23.54,0:09:24.40,Default,,0000,0000,0000,,让我们换种颜色
Dialogue: 0,0:09:24.40,0:09:29.43,Default,,0000,0000,0000,,8乘以这个平方根81减121是负40
Dialogue: 0,0:09:29.47,0:09:47.95,Default,,0000,0000,0000,,256减40是216除以32再平方
Dialogue: 0,0:09:47.95,0:09:51.79,Default,,0000,0000,0000,,现在就是纯计算问题了
Dialogue: 0,0:09:51.84,0:09:53.79,Default,,0000,0000,0000,,让我们用计算器算一下
Dialogue: 0,0:09:53.83,0:09:56.75,Default,,0000,0000,0000,,我想要演示给你们看两个数字应该是相同的
Dialogue: 0,0:09:56.78,0:09:59.83,Default,,0000,0000,0000,,打开计算器
Dialogue: 0,0:09:59.87,0:10:07.82,Default,,0000,0000,0000,,首先求得18乘以7的平方根是多少
Dialogue: 0,0:10:07.82,0:10:11.04,Default,,0000,0000,0000,,这个结果是用海伦公式算的 我们得到了47.62
Dialogue: 0,0:10:11.04,0:10:13.15,Default,,0000,0000,0000,,让我们看看用另种方法是否也是47.62
Dialogue: 0,0:10:13.15,0:10:21.52,Default,,0000,0000,0000,,8乘以81的平方根减去216
Dialogue: 0,0:10:21.57,0:10:34.40,Default,,0000,0000,0000,,结果除以32再平方 之后再算出平方根
Dialogue: 0,0:10:34.40,0:10:38.49,Default,,0000,0000,0000,,我们得到了相同的数字
Dialogue: 0,0:10:38.53,0:10:39.94,Default,,0000,0000,0000,,我之前有点担心出错
Dialogue: 0,0:10:39.94,0:10:40.83,Default,,0000,0000,0000,,因为我并没有提前做过运算
Dialogue: 0,0:10:41.10,0:10:43.76,Default,,0000,0000,0000,,但这下你明白了
Dialogue: 0,0:10:43.76,0:10:44.90,Default,,0000,0000,0000,,两个数字相同
Dialogue: 0,0:10:44.94,0:10:46.88,Default,,0000,0000,0000,,所以我们运用这个公式和海伦公式
Dialogue: 0,0:10:46.88,0:10:48.56,Default,,0000,0000,0000,,求出的结果相等
Dialogue: 0,0:10:48.56,0:10:51.35,Default,,0000,0000,0000,,我将在下个视频证明给你们看
Dialogue: 0,0:10:51.41,0:10:57.99,Default,,0000,0000,0000,,这个式子能够简化成海伦公式