Small Sample Size Confidence Intervals

-

ความดันโลหิตของคนไข้ 7 คนถูกวัดหลังจาก

ได้รับยาใหม่ไป 3 เดือน

พวกเขามีความดันโลหิตเพิ่มขึ้น, เขาให้จุด

ข้อมูลมา 7 จุดตรงนี้, มันเป็นหน่วย

ความดันโลหิตหน่วยหนึ่ง

จงสร้างช่วงความมั่นใจ 95% ของความดันโลหิต

คาดหวังที่เพิ่มขึ้นจริงสำหรับผู้ป่วยทุกคนในประชากร

มีการกระจายตัวประชากรค่าหนึ่งตรงนี้

และมันสมเหตุสมผลที่จะสมมุติว่ามันเป็นแบบปกติ

มันเป็นกระบวนการทางชีววิทยา

ถ้าคุณให้ยานี้กับคนทุกคนที่

มีชีวิตอยู่, มันจะทำให้ความโลหิตเพิ่มขึ้น

ด้วยวิธีใดวิธีหนึ่ง, หรือใครจะรู้, บางทีมันอาจลดลงก็ได้

มันจึงมีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานค่าหนึ่งตรงนี้

-

มันคือการกระจายตัวแบบปกติ

และสาเหตุที่มันสมเหตุสมผล ในการสมมุติว่า

มันเป็นการกระจายตัวแบบปกติ เพราะ

มันเป็นกระบวนการทางชีววิทยา

มันจะเป็นผลรวมจากเหตุการณ์สุ่มนับพัน

นับล้าน

และสิ่งที่เป็นผลรวมของเหตุการณ์สุ่มนับพัน นับล้าน

มักจะกระจายตัวแบบปกติ

นี่คือการกระจายตัวประชากร

-

และเราไม่รู้อะไรนอกเหนือ

ตัวอย่างที่เรามีตรงนี้

ทีนี้, สิ่งที่เราทำได้คือ, และนี่มักเป็นสิ่งที่ดี

ที่ควรทำ, เวลาคุณมีตัวอย่าง เวลาหา

ทุกอย่างที่คุณอยากหา เกี่ยว

ตัวอย่างจากจุดแรกเริ่ม

เรามีจุดข้อมูลอยู่ 7 จุด

แล้วคุณก็บวกมันเข้าแล้วหารด้วย 7 เราก็จะได้

ค่าเฉลี่ยตัวอย่างมา

ค่าเฉลี่ยตัวอย่างของเราตรงนี้คือ 2.34

แล้วคุณก็สามารถคำนวณ

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างได้

หาระยะกำลังสองจากจุดพวกนี้แต่ละจุดไปยัง

ค่าเฉลี่ยตัวอย่าง, บวกพวกมันเข้า, หารด้วย n ลบ 1, เพราะ

มันคือตัวอย่าง, หาสแควร์รูท แล้วคุณจะได้

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างมา

ผมทำมาก่อนแล้วเพื่อประหยัดเวลา

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง เท่ากับ 1.04

และเมื่อคุณไม่รู้อะไรอื่นเกี่ยวกับประชากร

สิ่งที่เราจะทำจากที่เรารู้

คือประมาณค่านั้น ด้วยค่าเบี่ยงเบน

มาตรฐานตัวอย่าง

เราเคยประมาณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรจริง

ด้วยค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่างมาแล้ว

-

ทีนี้ ในข้อนี้, ในปัญหานี้เลย, เรา

เจอปัญหาอย่างหนึ่ง

เรากำลังประมาณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน ด้วย n เท่ากับ 7 แค่นั้น

นี่จะเป็นค่าประมาณที่ไม่ดีนัก

เพราะ -- ขอผมเขียนลงไปนะ -- เพราะ n มันน้อย

โดยทั่วไป, มันนับว่าเป็นการประมาณที่แย่ หาก n

น้อยกว่า 30

ถ้ามากกว่า 30 คุณก็อยู่ในช่วง

ที่ประมาณได้ดีแล้ว

ประเด็นของวิดีโอนี้ คือ เมื่อเราคิดถึง

การกระจายตัวตัวอย่าง, ซึ่งคือสิ่งที่เราจะใช้

สร้างช่วงของเรา, แทนที่จะ

สมมุติว่าการกระจายตัวตัวอย่าง เป็นแบบปกติอย่างที่เราทำ

มาหลายวิดีโอ โดยใช้ทฤษฎีบทเข้าสู่ศูนย์กลาง อะไรทั้งหมดนั่น,

เราจะเปลี่ยนการกระจายตัวตัวอย่าง

เราจะไม่สมมุติว่ามันกระจายตัวแบบปกติ เพราะ

มันเป็นการประมาณที่แย่

เราจะสมมุติว่ามันกระจายตัวแบบ

ที่เรียกว่า t

และการกระจายตัวแบบ t ก็คือ, วิธีที่

คิดที่ดีที่สุด คือมันถูกสร้างให้

ค่าประมาณช่วงความมั่นใจที่ดีขึ้น

เมื่อคุณมีขนาดตัวอย่างเล็กๆ

มันจะดูเหมือนการกระจายตัวแบบปกติมาก

-

มันมีค่าเฉลี่ย, นี่ก็คือค่าเฉลี่ยของการกระจาย

ตัวตัวอย่างเหมือนเดิม

แต่มันจะมีหางอ้วนขึ้น

-

และวิธีที่ผมคิดว่าทำไมมันถึงหางอ้วนขึ้น คือเมื่อ

คุณสมมุติว่านี่คือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

-- ขอผมไปอีกขั้นนะ

โดยทั่วไป สิ่งที่เราทำ คือเราหาค่าประมาณของค่าเบี่ยงเบน

มาตรฐานจริง, แล้วเราบอกว่า ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ของการกระจายตัวตัวอย่าง เท่ากับ

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานจริง ของประชากรเรา หารด้วย

สแควร์รูทของ n

ในกรณีนี้, n เท่ากับ 7

แล้วเราบอกว่า โอเค, เราไม่รู้ค่ามาตรฐานจริง, หรือ

เรามักไม่รู้ -- บางครั้งก็รู้ -- แต่เรามักไม่รู้

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานจริง

แล้วถ้าเราไม่รู้มัน สิ่งที่ดีที่สุดเราจะใส่ลงไปตรงนี้

คือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างของเรา

-

และนี่ตรงนี้, นี่คือสาเหตุที่เราไม่บอกว่า

นี่คือช่วงที่มีโอกาสเกิดขึ้น 95%

นี่คือสาเหตุที่เรามันเรียกว่าช่วงความมั่นใจ

เพราะเราใช้ข้อสมมุติอย่างนั้น

เจ้านี่จะเปลี่ยนไปจากตัวอย่างหนึ่งถึงตัวอย่างหนึ่ง

และค่านี้, นี่จะเป็นค่าประมาณที่แย่มาก

เมื่อเรามีขนาดตัวอย่างที่เล็ก,

ขนาดน้อยกว่า 30

แล้วเวลาคุณประมาณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน โดยคุณ

ไม่รู้มัน, คุณก็กะค่ามันด้วยค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ของตัวอย่าง, และขนาดตัวอย่างคุณเล็ก, แล้ว

คุณจะใช้นี่เพื่อประมาณค่าเบี่ยงเบน

มาตรฐานของการกระจายตัวตัวอย่าง, คุณไม่ได้สมมุติ

ว่าการกระจายตัวตัวอย่างเป็นการกระจายตัวแบบปกติอีกต่ไป

คุณจะสมมุติว่ามันมีหางอ้วนขึ้น

และมันมีหางอ้วนขึ้น เพราะคุณ

เดาค่าต่ำไป -- คุณกำลังเดาค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ต่ำไปตรงนี้

เอาล่ะ, เมื่อรู้แล้ว, ลองดูโจทย์นี้

โดยละเอียดกัน

เราต้องคิดถึงช่วงความมั่นใจ 95%

รอบค่าเฉลี่ยนี่ตรงนี้

แล้วช่วงความมั่นใจ 95%, ถ้านี่คือการกระจายตัว

แบบปกติ คุณก็หาค่ามันที่ตาราง z

แต่มันไม่ใช่, นี่คือการกระจายตัวแบบ t

-

เราจะมองหาช่วงความมั่นใจ 95%

ช่วงรอบค่าเฉลี่ยที่

ครอบคลุมพื้นที่ 95%

สำหรับการกระจายตัวแบบ t คุณก็ใช้ตาราง t, และผมมีตาราง t

เตรียมไว้ก่อนตรงนี้แล้ว

และสิ่งที่คุณอยากทำ คือใช้แถว สองด้าน (two-sided)

สำหรับสิ่งที่เรากำลังทำตรงนี้

วิธีที่คิดที่ดีที่สุดคือว่า เรา

สมมาตรรอบค่าเฉลี่ย

นั่นคือสาเหตุที่มันเรียกว่าสองด้าน

มันจะเป็นด้านเดียว ถ้ามันเป็นเปอร์เซ็นต์

สะสมถึงค่าวิกฤตค่าหนึ่ง

แต่ในกรณีนี้, มันมีสองด้าน, เราได้รูปสมมาตร

หรือวิธีคิดอีกอย่างคือว่า เรา

หักสองด้านนี้ออก

เราอยากได้ 95% ตรงกลาง

และนี่คือการกระจายตัวตัวอย่างของ

ค่าเฉลี่ยตัวอย่าง สำหรับ n เท่ากับ 7

และผมจะไม่ลงรายละเอียดตรงนี้, แต่เมื่อ n

เท่ากับ 7, คุณมีดีกรีความอิสระเป็น 6, หรือ n ลบ 1

และวิธีที่เขาสร้างตาราง t, คุณก็หา

ดีกรีความอิสระ

คุณไม่ได้ไปที่ n, แต่คุณไปที่ n ลบ 1

คุณก็ไปที่ 6 ตรงนี้

แล้วถ้าคุณอยากครอบคลุม 95% ของเจ้านี่ตรงนี้,

แล้วคุณได้ n เท่ากับ 6, คุณต้องไปที่ 2.447 ค่าเบี่ยงเบน

มาตรฐานในแต่ละทิศ

และตาราง t นี่สมมุติว่า คุณกำลังประมาณ

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานนั้น โดยใช้ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง

วิธีคิดอีกอย่างคือว่า คุณต้องไป 2.447 เท่าของ

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานประมาณนี้

ขอผมใส่มันตรงนี้นะ

คุณต้องไป 2.447 -- ระยะนี่ตรงนี้คือ 2.447

คูณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานประมาณนี่

-

และบางครั้งคุณจะเห็นนี่ในหนังสือสถิติ

เจ้านี่ตรงนี้, เลขเป๊ะๆ นี่,

แสดงไว้แบบนี้

เขาใส่หมวกเล็กๆ ข้างบนค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

เพื่อแสดงว่ามันประมาณโดยใช้ค่าเบี่ยงเบน

มาตรฐานตัวอย่าง

เราจะใส่หมวกเล็กๆ ตรงนี้, เพราะว่ากันตามตรง, นี่คือ

สิ่งเดียวที่เราสามารถคำนวณได้

นี่ก็คือระยะที่คุณไปได้แต่ละทิศ

และเรารู้ว่าค่านี้เป็นเท่าไหร่

เรารู้ว่าการกระจายตัวตัวอย่างเป็นอะไร

ลองเอาเครื่องคิดเลขออกมากัน

-

เรารู้ว่าค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างเป็น 1.04

และเราอยากหารมันด้วยสแควร์รูทของ 7

-

เราก็ได้ 0.39

เจ้านี่ตรงนี้คือ 0.39

แล้วถ้าเราอยากหาระยะรอบค่าเฉลี่ย

ประชากรนี่ ที่ครอบคลุม 95%

ของประชากร หรือการกระจายตัวตัวอย่าง, เราต้อง

คูณ 0.39 ด้วย 2.447, งั้นลองทำดู

คูณ 2.447 ได้เท่ากับ 0.96

นี่จึงเท่ากับ -- ระยะนี่ตรงนี้คือ 0.96,

แล้วระยะนี่ตรงนี้คือ 0.96

นั่นคือถ้าคุณเลือกสุ่มตัวอย่างค่าหนึ่ง, และนั่นคือ

สิ่งที่เราทำ ตอนเราหาตัวอย่าง 7 ค่าพวกนี้

เมื่อเราเลือกค่าตัวอย่าง 7 ค่าขึ้นมา เราหาค่าเฉลี่ย, ค่าเฉลี่ย

นี้สามารถมองว่าเป็นตัวอย่างสุ่มจุดหนึ่ง ในการกระจายตัว

ตัวอย่าง

แล้วความน่าจะเป็น, เราสามารถมองมัน, เราบอกได้ว่า

มีโอกาส 95% -- และเราต้องระบุ

ทุกอย่างด้วยความมั่นใจระดับหนึ่ง, เพราะเราทำ

ทุกอย่างด้วยการประมาณตรงนี้

มันไม่ใช่ค่าเป๊ะ โอกาส 95%

เราแค่มั่นใจว่ามันมีโอกาส 95% ที่

ประชากรสุ่ม, ค่าเฉลี่ยตัวอย่างสุ่มตรงนี้,

2.34, ซึ่งเราใช้ -- เราเลือก

2.34 จากการกระจายตัวนี่ตรงนี้

มันมีโอกาส 95% ที่ 2.34 จะอยู่ในช่วง 0.96

ของค่าเฉลี่ยการกระจายตัวตัวอย่างจริง. ซึ่งเรารู้ว่า

มันเหมือนกับค่าเฉลี่ยตัวอย่าง

-

หรือสามารถเรียงประโยคใหม่ แล้วบอกว่า มันมีโอกาส

95% ที่ค่าเฉลี่ย, ค่าเฉลี่ยจริง,

ซึ่งก็เหมือนกับค่าเฉลี่ยการกระจายตัวตัวอย่าง, นั้นอยู่

ในช่วง 0.96 ของค่าเฉลี่ยตัวอย่าง, นั่นคือ 2.34

ที่ขอบล่าง, ถ้าเราไปที่ 2.36 ลบ -- ถ้าคุณไปที่ 2.34

ลบ 0.96 -- นั่นคือขอบล่างของช่วง

ความมั่นใจ, ได้ 1.38

และขอบบนของช่วงความมั่นใจ, 2.34 บวก

0.96 เท่ากับ 3.3

ดังนั้นช่วงความมั่นใจ 95% ของเรา คือ จาก 1.38 ถึง 3.3

-