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Laplace Transform solves an equation 2

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    欢迎回来 我们终于要把
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    拉普拉斯变换用到有用的地方了
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    这个问题的第一部分里
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    我们有这么一个比较直接的微分方程
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    我知道现在你们会觉得很烦人
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    你们大概会想 这个问题
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    用特征方程来解简单得很
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    我们为什么要用拉普拉斯变换
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    这个 我只是想告诉你们
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    它们用来解这些方程也可以
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    不过稍后我们会遇到其他的问题
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    坦承地说 传统的方法
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    比不上拉普拉斯变换那么好
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    不管那么多了 我们怎么解这个方程
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    我们已经对方程两边
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    作了拉普拉斯变换
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    我们得到这一堆可怕的东西
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    我们用到了导数的拉普拉斯变换的性质
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    对导数作变换 可以得到
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    其实是做了一大堆演算以后 得到这个
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    我们得到 L等于这个东西
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    我们只是对两边作了拉普拉斯变换
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    然后做了一些代数推导
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    我们这个视频的任务就是找出
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    什么样的L等于这个东西
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    其实我们想做的事情
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    是对方程两边
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    作拉普拉斯逆变换
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    换个说法 我们可以说y...
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    如果我们对方程两边作拉普拉斯逆变换
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    我们可以说 y等于
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    这个东西的拉普拉斯逆变换
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    即(2s+13)/(s2+5s+6)
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    现在 我们终于要学到
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    拉普拉斯逆变换的正式定义了
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    我们是如何从s域变到t域？
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    或者说 如何从频率域变换到时间域？
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    我们暂且不要操心这个
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    我们要做的是把这堆东西
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    变形成我们认得的形式
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    然后说 哦 我知道有这样的函数
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    它的拉普拉斯变换是什么什么
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    然后我们就知道 y是什么了
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    我们试着做做看
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    我们这里用到的东西
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    你可能自从代数二以后就一直没用过
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    我猜是那时候教的吧
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    不管是八年级 还是九年级、十年级学的
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    大家终于能看到在求解微分方程的时候
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    拉普拉斯变换是有用的
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    我写一下
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    我们要利用部分分式展开
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    我会做一点稍微详细些的推导
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    你们搞忘了也无所谓
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    不管了 先把这下面的部分分解一下
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    大家会看出我是怎么做的
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    把分母因式分解 得到(s+2)(s+3)
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    我们要做的
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    是把这个分式表示成两项...
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    大概应该叫部分分式...的和
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    这也是部分分式这个名称的来由
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    所以我们想把它写成 A/(s+2)。。。
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    +加B/(s+3)
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    如果我们能这样拆开的话
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    大概大家脑袋上方 已经灯泡一亮
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    我们知道这些东西长得像
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    我们已经推导过的
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    拉普拉斯变换
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    我稍后就回顾一下相关内容
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    不过 我们怎么找出A和B呢？
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    如果我们真的把A和B写上去 如果。。。
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    我们在旁边写一下 如果我们说A...
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    如果我们作个通分
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    也就是(s+2)(s+3)
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    那么A化成了什么？
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    就要乘上(s+3) 对吧？
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    我们得到As+3A
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    我写的这个东西
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    和A/(s+2)是一样的
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    你可以同时消去分子分母的(s + 3)
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    现在我们把B也添上
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    也就是加... 我换个颜色 加。。。
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    如果我们的分母是这个
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    我们可以把分子分母
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    同时乘以(s+2) 对吧?
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    得到Bs+2B
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    也就等于这个
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    我做的只是把两个分数相加
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    没什么了不起的
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    代数二的内容
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    其实 我想我也应该
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    做个视频讲这个
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    不过它等于这个
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    即(2s+13)/(s+2)(s+3)
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    注意在所有微分方程中
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    最艰巨的部分总是代数
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    现在我们要做的就是比较
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    我们说 把s项相加
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    我们可以说 两边分子必须相等
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    因为分母是相等的
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    我们得到 (A+B)s+3A+2B=2s+13
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    所以 右边s的系数是2
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    左边的系数是A+B
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    所以我们得到 A+B=2
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    然后 再看右边
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    我们得到 3A+2B必须等于。。 13
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    我刚才说B了吗？
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    这是13
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    是13
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    它看起来还挺像B的 对吧？
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    这是2s+13
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    总之 右手边我得到
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    3A+2B等于13
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    我们有两个方程 两个未知数
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    我们得到什么
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    我知道这很累人
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    不过到了最后 会很有满足感的
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    因为你真的利用
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    拉普拉斯变换解出了什么东西
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    我们把上面的方程乘上2
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    或者说-2
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    我们得到 -2A-2B=-4
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    然后我们得到... 把两个方程相加
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    得到A等于。。。 这些项消掉了
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    A=9 很好
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    如果A=9 B等于什么呢？
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    B等于 9加什么东西 等于2
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    或者说 2-9=-7
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    我们做了些实实在在的化简
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    因为现在我们可以把方程改写为
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    y的拉普拉斯变换 等于A/(s+2)。。。
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    也就是 9/(s+2)-7/(s+3)
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    换种方式来写 我们可以写成
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    即9・1/(s+2)-7・1/(s+3)
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    为什么我要自找麻烦这么做了？
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    我是希望你能认出这是
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    我们求出的第二个拉普拉斯变换
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    那是什么？
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    我把它写下来 你们就记得了
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    e^(at)的拉普拉斯变换
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    等于1/(s-a)
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    这是我们求出的第二个拉普拉斯变换
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    这就有趣了
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    这是什么的拉普拉斯变换
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    如果我们要作拉普拉斯逆变换
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    我还是接着用习惯的说法
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    这表示这是y的拉普拉斯变换
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    等于9倍的什么东西的拉普拉斯变换
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    我们来找找对应
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    如果这是s-a 那么a=-2
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    所以是9倍的
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    e^(-2t)的拉普拉斯变换
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    明白了不？
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    取这项代入这个 我们证过的
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    就得到1/(s + 2)
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    我清一下屏
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    我需要点地方
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    我写一下
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    我把这个留下来 因为我们还要用
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    然后我们有-7倍的。。。
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    这是什么东西的拉普拉斯变换
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    这是e^(-3t)的拉普拉斯变换
  • 8:20 - 8:25
    这就是对应比较 大家看了大概会想 哇
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    回去查查拉普拉斯变换表
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    如果你不记得的话 然后你看到这个
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    会想 哇 看起来长得好像
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    我只需要找出a是什么就行了
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    我有s+3
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    又有s-a
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    所以这次a=-3
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    如果a=-3
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    它就是e^(-3t)的拉普拉斯变换
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    现在我们可以作拉普拉斯逆... 实际上
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    我们在这样做之前
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    我们知道 因为拉普拉斯变换是线性算子
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    实际上现在我可以擦掉这个
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    我们知道拉普拉斯变换
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    是线性算子 所以我们可以这样写
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    通常你不需要做遍所有的步骤
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    我只是想让你们弄懂我们在干啥
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    我们可以说
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    这和9e^(-2t)-7e^(-3t) 的
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    拉普拉斯变换是一个东西
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    现在我们得出一些有趣的东西
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    y的拉普拉斯变换
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    等于这个的拉普拉斯变换
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    这样y就必须
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    等于9e^(-2t)-7e^(-3t)
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    我未曾证明
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    但拉普拉斯变换确是一一对应的变换
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    即如果一个函数的拉普拉斯变换
  • 9:43 - 9:45
    我取一个函数的拉普拉斯变换
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    再作拉普拉斯逆变换
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    得到的 以已知的这个为拉普拉斯变换的函数
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    只能是原函数
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    不会出现两个不同的函数
  • 9:53 - 9:56
    有相同的拉普拉斯变换
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    总之 这里有很多东西值得思考
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    注意 我们在求解过程中
  • 10:02 - 10:05
    类似特征方程的东西多次出现
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    我们还要解一个
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    含两个未知数的两个方程组成的方程组
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    这些是我们在用传统的特征方程法
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    解初值问题的时候
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    先后需要处理的东西
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    在这里 我们同时遇到了
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    坦白地说 这种方法还更艰巨一些
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    因为我们要做部分分式分解
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    不过结果很不错
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    拉普拉斯变换给我们带来一些有用的东西
  • 10:28 - 10:31
    下个视频里我会做一个非齐次方程
  • 10:31 - 10:33
    展示一下拉普拉斯变换
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    同样很好使
  • 10:35 - 10:37
    所以它可以说是 一种求解微分方程的
  • 10:37 - 10:39
    比较通用的理论
  • 10:39 - 10:40
    不需要猜解
  • 10:40 - 10:43
    求解系数什么的
  • 10:43 - 10:45
    下个视频见
Title:
Laplace Transform solves an equation 2
Description:
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Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
10:46

Chinese, Simplified subtitles

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