Laplace Transform solves an equation 2

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Bem-vindo de volta.

Estamos finalmente usando a Transformação de Laplace para fazer

algo útil.

Na primeira parte desse problema, nós só tinhamos essa

razoavelmente reta equação diferencial.

E eu sei que é um pouco frustante no momento, porque

você está pensando: essa é uma tão fácil de solucionar usando a

equação característica.

Por quê estamos usando Transformações de Laplace?

Bem, eu só quero mostrar a vocês que é possível solucionar até esses

problemas. Mas depois haverão aulas de

problemas que, francamente, nossos métodos tradicionais não serão tão

bons quanto a Transformação de Laplace.

Mas de qualquer jeito, como solucionamos isso?

Nós apenas pegamos a Transformação de Laplace dos dois lados de

essa equação

Nós temos tudo dessa grande bagunça.

Nós usamos a propriedade de derivação das funções, onde

você pega a Transformação de Laplace, e nós acabamos,

depois de fazer muita essencialidade álgebra, nós conseguimos isso.

Nós temos que a Transformação de Laplace de y é igual a isso aqui.

Nós apenas pegamos a Transformação de Laplace dos dois lados e

manipulamos algebricamente.

Então agora nossa tarefa nesse vídeo é descobrir quais y's

dessa Transformação de Laplace resulta nisso?

E essencialmente o que nós estamos tentando fazer, é nós estamos tentando

pegar o inverso da Transformação de Laplace dos dois lados

dessa equação.

Então, outro modo de dizer isso, nós podemos afirmar que y - se nós pegarmos

o inverso da Transformação de Laplace dos dois lados - nós podemos afirmar

que y é igual ao inverso da Transformação

de Laplace disso.

2s mais 13, sobre s ao quadrado mais 5s mais 6.

Agora nós vamos acabar realmente descobrindo a definição formal de

o inverso da Transformação de Laplace

Como você vai do domínio de s para o domínio de t?

Ou como você vai do do domínio de

frequência para o domínio de tempo?

Nós não vamos nos preocupar com isso agora.

O quê nós vamos fazer é, vamos pegar isso dentro de

uma forma que reconhecemos e dizer, oh,

Eu conheço essas funções.

Essa é a transformação de Laplace de qualquer coisa.

E então descobriremos o que o y é.

Então vamos tentar fazer isso.

Então o que nós vamos fazer é algo que você provavelmente

nunca usou desde Algebra dois, o qual eu acho que

é ensinado na oitava, nona,

ou décima série, dependendo.

E você finalmente vê agora em equações diferenciais que isso

realmente tem algum uso.

Deixe-me escrever isso.

Nós vamos usar expansão parcial de frações.

E eu irei fazer uma pequena cartilha naquilo, caso você não

se lembre.

Então de qualquer jeito, vamos apenas fatorar a parte de baixo aqui.

E você verá onde eu estou indo com isso.

Então, se eu fatorar a parte de baixo, eu consigo s mais 2 vezes s mais 3

E o que nós queremos fazer é reescrever essa fração

como a soma de 2 - Eu acho que você poderia

chamar isso de frações parciais.

Eu acho que é por isso que são chamadas de expansão de frações parciais.

Então nós queremos escrever isso como a soma de A sobre s mais 2, mais B

sobre s mais 3

E se nós conseguirmos fazer isso, então - e sinos já devem estar

soando em sua mente - nós saberemos que essas coisas que parecem

isso aqui são as funções da Transformação de Laplace que

nós já resolvemos.

E eu vo fazer uma pequena revisão disso em um segundo.

Mas de qualquer jeito, como nós descobrimos A e B?

Bom, se nós realmente adicionamos A e B, se nós -

vamos fazer algo a parte aqui - se nós falássemos que A-

então se nós fizéssemos um denominador comum, o qual é

esse, s mais 2 vezes s mais 3

Então o que A se tornaria?

Nós teríamos que multiplicar A vezes s mais 3, certo?

Então nós teríamos As mais 3A

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Isso, como eu escrevi agora, é igual a A

sobre s mais 2.

Você pode cancelar o s mais 3 de cima com o de baixo

E agora nós vamos adicionar B a isso.

Então mais - Eu vou fazer isso em uma cor diferente - mais - bom,

se nós temos isso como denominador, nós poderíamos multiplicar

o numerador e o denominador

por s mais 2, certo?

Para obtermos B mais s, mais 2B, e isso irá

igualar isso aqui.

E tudo o que eu fiz foi adicionar essas duas frações.

Nada mais complicado do que isso.

Isso foi Algebra dois.

Na verdade, eu acho que eu deveria fazer um

vídeo sobre isso também.

Mas isso irá igualar isso aqui.

2s mais 13, tudo isso sobre s mais 2 vezes s mais 3

Note que em todas essas equações diferenciais, a parte mais difícil

sempre é a álgebra.

E agora o que nós fazemos é igualar.

Nós dizemos, bom, vamos adicionar os termos s aqui.

E nós podemos dizer que os numeradores tem que se igualar

uma com o outro, porque os denominadores são iguais.

Então nós temos A mais Bs mais 3A mais 2B igual a 2s mais B.

Então o coeficiente em s, no lado direito, é 2.

O coeficiente no lado esquerdo é A mais B, então

nós sabemos que A mais B é igual a 2.

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E então no lado direito, nós vemos 3A mais 2B deve

ser igual a - oh, isso é um 13.

Eu disse B?

Isso é um 13.

Aquilo é um 13.

Parece com um B, certo?

Isso era 2s mais 13.

De qualquer jeito, então do lado direito eu tenho, isso era um A mais 2B

igual a 13

Agora nós temos duas equações com 2 desconhecidos,

e o quê eu tenho?

Eu sei que isso é bem cansativo, mas irá ser

satisfatório no final.

Porque você irá de fato solucionar algo

com a Transformação de Laplace.

Então vamos multiplicar a equação de cima por 2, ou então vamos

apenas falar menos 2.

Então nós temos menos 2A menos 2B igual a menos 4.

E então nós temos - adicionando as duas equações- você descobre que A é igual

a- esses se cancelam - A é igual a 9.

Ótimo.

Se a é igual a 9, B é igual a o quê?

B é igual a 9 mais o quê é igual a 2?

Ou 2 menos 9 é menos 7

E nós fizemos uma grande simplificação.

Porque agora nós conseguimos reescrever essa expressão toda como a

Transformação de Laplace de y é igual a A sobre s mais 2, é

igual a 9 sobre 2, menos 7 sobre s mais 3.

Ou outro jeito de escrever isso, nós podemos escrever isso como igual a

9 vezes 1 sobre s mais 2, menos 7 vezes 1 sobre s mais 3

Por que eu tive o trabalho de fazer isso?

Bom, espero que você reconheça que isso era na verdade

a segunda Transformação de Laplace que nós descobrimos.

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O que era aquilo?

Eu vou escrever isso aqui para que você possa se lembrar.

Era a Transformação de Laplace de e para o at, era igual a 1

sobre s menos a

Essa foi a segunda Transformação de Laplace que nós descobrimos.

Então isso é interessante.

Isso é a Transformação de Laplace do quê?

Se nós pegássemos o inverso da Transformação de Laplace

na verdade, deixe-me deixar isso mais consistente.

Então isso significa que isso é a Transformação de Laplace de y, é

igual a 9 vezes a Transformação de Laplace do quê?

Se nós igualássemos o padrão, se isso é s menos

a, então a é menos 2.

Então 9 vezes a Transformação de Laplace de e

para menos 2t.

Isso faz sentido?

Pegue isso, coloque-o nesse, que nós descobrimos, e você

consegue 1 sobre s mais 2.

E deixe-me limpar isso um pouco, porque eu vou

precisar daquela propriedade real.

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Eu vou escrever isso aqui.

Eu vou deixou aquilo ali porque nós ainda vamos usar aquilo.

E então nós temos menos 7 vezes - isso é a Transformação

de Laplace do quê?

Isso é a Transformação de Laplace de e para o menos 3t.

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Isso é a igualação do padrão, você deve estar, nossa, se você visse isso,

você iria para a sua mesa de Transformação de Laplace , se você não

se lembrasse, você veria isso.

Você está tipo, nossa, isso se parece muito com aquilo.

Eu só preciso descobrir o que a é.

Eu tenho s mais 3.

Eu tenho 2 menos a.

Então nesse caso, a é igual a menos 3.

Então se a é igual a menos 3, isso é a Transformação de Laplace

de e para o menos 3t.

Então agora nós podemos pegar o inverso de Laplace - na verdade,

antes de fazer isso.

Nós sabemos que por causa da Transformação de Laplace ser um operador

linear - e de fato eu posso deletar isso aqui em baixo - nós

sabemos que a Transformação de Laplace é um operador

linear, então nós podemos escrever isso.

E você normalmente não iria através de todos esses passos.

Eu só realmente quero lhe fazer entender o que nós estamos fazendo.

Então nós podemos dizer que isso é a mesma coisa que a Transformação

de Laplace de 9e para o menos 2t, menos 7e para o menos 3t.

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Agora nós temos algo interessante.

A Transformação de Laplace de y é igual á Transformação de

Laplace disso.

Bom, se esse é o caso, então y deve ser igual a 9e para o

menos 2t, menos 7e para o menos 3t.

Eu nunca privei para você, mas a Transformação de Laplace é

na verdade uma transformação 1:1

Isso se a função da Transformação de Laplace, se eu pegar a

função contra a Transformação de Laplace, e então se eu fosse

pegar o inverso da Transformação de Laplace, a única função

cuja Transformação de Laplace que é isso, é

a função original.

Não é como se duas funções diferentes pudessem ter a mesma

Transformação de Laplace.

De qualquer modo, algumas coisas a pensar sobre isso.

Note, nós tínhamos aquela coisa que parecia uma

equação característica que surgia aqui e ali.

E nós ainda temos que solucionar um sistema de duas equações com

duas incógnitas.

Essas são duas coisas que nós tínhamos que fazer quando resolvemos um

problema com valor inicial, quando nós usamos apenas o tradicional, a

equação característica.

Mas aqui tudo ocorreu ao mesmo tempo.

E francamente, foi um pouco mais complicado porque nós tínhamos que

fazer todas essas expansões de frações parciais

Mas está bem claro.

A Transformação de Laplace nos levou a algo útil.

No próximo vídeo, eu vou fazer uma equação não-homogênea,

e mostrar a você que a Transformação de Laplace se aplica

igualmente bem lá.

Então é meio que uma teoria mais consistente para se resolver

equações diferenciais, ao invés de meio que ficar chutando

soluções, e solucionando por coeficientes e tudo mais.

Vejo vocês no próximo vídeo.

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