Laplace Transform solves an equation 2

Tere tulemast tagasi.

Me lõpuks kasutame Laplace'i teisendust, et teha

midagi kasulikku.

Esimeses osas selle probleemi puhul, meil lihtsalt oli

üsna sirgjooneline differentsiaalvõrrand.

Ja ma tean, et see on natukene vihastav praegu, sest

sa oled nagu, seda on lihtne lahendada kasutades

karakteristliku võrrandit.

Miks me teeme Laplace'i teisendusi?

Ma tahan lihtsalt näidata sulle, et nad saavad lahendada isegi neid

probleeme. Kuid hiljem tulevad probleemide

klassid, mis asualt öeldes, ei ole traditsiooniliste meetoditega nii

head kui Laplace'i teisendusega.

Kuid igatahes, kuidas me seda lahendasime?

Me lihtsalt võtsime Laplace'i teisenduse mõlemast poolest

sellest võrrandist.

Meil oli hirmuäratav segadus.

Me kasutasime omadusi tuletiste funktsioonidest, kus

sa võtsid Laplace'i teisendi ja me lõpetasime,

pärast palju algebraga tegelemist, me saime selle.

Me saime Laplace'i teisendus y-st on võrde selle asjaga.

Me võtsime Laplace'i teisenduse mõlemast poolest ja

manipuleerisime algebraliselt.

Nüüd on meie ülesanne selles videos arvutada välja, mis y-d

Laplace'i teisenduses on see asi?

Ja põhiliselt, mida me üritame teha on, me üritame

võtta vastupidise Laplace'i teisenduse mõlemast poolest

sellest võrrandist.

Veel üks viis kuidas seda öelda on, et me saame öelda, et y--kui me võtame

vastupidise Laplace'i teisendi mõlemast poolest--we võime öelda,

et y on võrdne vastupidise Laplace'i

teisendusega sellest asjast.

2s pluss 13, jagatud s ruudus pluss 5s pluss 6.

Nüüd me lõpuks tegelikult õpime formaalset definitsiooni

vastupidisest Laplace'i teisendist.

Kuidas sa lähed s domeenist t domeeni?

Või kuidas sa lähed sageduse

domeenist aja domeeni?

Me ei hakka selle pärast praegu muretsema.

Mida me teeme, me teeme sellest kuju,

mille me tunneme ära ja ütleme, ohh,

ma tean neid funktsioone.

See on Laplace'i teisendus ükskõik millest ja ükskõik millest.

Ja siis me teame, mis y on.

Proovime seda teha.

Mida me hakkame kasutama on midagi, mida sa tõenäoliselt

pole kasutanud ajast Algebra kaks, mis ma arvan oli

õpetatud kaheksandas, üheksandas,

või 10. klassis, oleneb.

Ja sa lõpuks näed seda nüüd differentsiaalvõrrandites, kus

sellest on mõningat kasu.

Las ma kirjutan selle.

Me kasutame osalist murru laienemist.

Ja ma teen natukene eelmisele sellele, juhul kui sa seda

ei mäleta.

Seega igatahes, tegurdame alumise osa siin.

Ja sa näed kuhu ma sellega jõuda tahan.

Kui ma tegurdan alumise, ma saan spluss 2 korda s pluss 3.

Ja mida me tahame teha on, me tahame ümber kirjutada selle murru

kahe summana--ma arvan sa võid

kutsuda seda osaliseks murruks

Ma arvan sellepärast seda kutsutakse osaliseks murru laiendamiseks.

Me tahame kirjutada selle summana A jagatud s pluss2, pluss B

jagatud s pluss 3

Ja kui me saame seda teha, siis--ja kella võivad juba

heliseda sinu peas--mea teame, et need asjad, mis näevad

välja nagu see on Laplace'i teisendus funktsioonidest, mida

me oleme juba lahendanud.

Ja ma teen sellest väikese ülevaate natukese aja pärast.

Kuid igatahes, kuidas me arvutame A ja B?

Kui me lisaksime A ja B, kui me oleksime--

teeme natuke siia kõrvale--kui me ütlesime, et A--

kui me annaksime neile ühise nimetaja, mis on

see, s pluss 2 korda s pluss 3.

Siis milleks saab A?

Me peaksime korrutama A korda s pluss 3.

Me saaksime As pluss 3A.

See, mille ma selle just kirjutasin, on sama asi nagu A

jagatud s pluss 2-ga.

Sa saaksid taandada s pluss 3-e ülevalt ja alt.

Ja nüüd me lisame B sellele.

Seega pluss--Ma teen selle teist värvi--pluss--hästi,

kui meil on see nimetajana, me saaksime korrutada

lugeja ja nimetaja

s plus 2-ga.

Et saada B korda s, pluss 2B ja see on

võrdne selle asjaga.

Ja kõik, mis ma tegin, ma lisasin need kaks murdu.

Mitte midagi rohkemat kui seal.

See oli Algebra kaks.

Tegelikult, ma arvan ma peaksin tegema

sellest samuti video.

Kuid see võrdub selle asjaga.

2s pluss 13, kõik see jagatud s pluss 2 korda s pluss 3.

Pane tähele, kõigist diferentsiaalvõrranditest, kõige hirmuäratavam osa

on alati algebra.

Nüüd me paaritame.

Me ütleme, lisame s-i tingimused siia.

Ja me saame öelda, et lugejad peavad võrduma üks-

teisega, sest nimetajad on võrdsed.

Meil on A pluss Bs pluss 3A pluss 2B on võrdne 2s pluss B-ga.

Seega kordaja on s, paremal pool, on 2.

Vasakspoolne kordaja on A plus B, seega

me teame, et A pluss B on võrdne 2-ga.

Ja siis paremal pool, me näeme, et 3A pluss 2B peavad

olema võrdsed--oh see on 13.

Kas ma ütlesin B?

See on 13.

See on 13.

See näeb täpselt välja nagu 13, nõus?

see oli 2s pluss 13.

Igatahes, paremal pool saan ma, see oli 3A pluss 2B

on võrdne 13-ga.

Nüüd meil on 2 võrrandit kahe tundmatuga,

ja mida me saame?

Ma tean, et see on väga väsitav, kuid see on

lõpuks rahuldav.

Sest sa tegelikult lahendad midagi

Laplace'i teisendusega.

Korrutame ülemise võrrandi 2-ga, või lihtsalt

ütleme miinus 2.

Me saame miinus 2A miinus 2B võrdub miinus 4-ga.

Ja siis me saame--lisame kaks võrrandit--sa saad A on võrdne

--need taanduvad--A on võrdne 9-ga.

Suurepärane.

Kui A on võrdne 9-ga, millega B on võrdne?

B on võrdne 9 pluss mis on võrdne 2-ga?

Või 2 miinus 9 on miinus 7.

Ja me oleme teinud tõsist lihtsustamist.

Sest nüüd me saame ümber kirjutada terve selle väljendi kui

Laplace'i teisend y-st on võrdne A jagatud s-ga pluss 2, on

võrdne 9 jagatud s pluss 2-ga, miinus 7 jagatud s-ga, pluss 3.

Või teine viis kuidas seda kirjutada, me võime kirjutada seda kui võrdust

9 korda 1 jagatud s pluss 2-ga, miinus 7 korda 1 jagatud s pluss 3-ga.

Miks ma nägin vaeva, et seda teha?

Loodetavasti sa tunned ära, see oli tegelikult

teine Laplace'i teisend, mis me arvutasime.

Mis see oli?

Ma kirjutan selle siia, et see sulle meelde jääks.

See oli Laplace'i teisendus e astmes at, oli võrdne 1

jagatud s miinus a-ga.

See oli teine Laplace'i teisend, mida me arvutasime.

See on huvitav.

See on Laplace'i teisend millest?

Kui me võtaksime vastupidise Laplace'i teisendi--

Tegelikult las ma jään järjekindlaks.

See tähendab, et see on Laplace teisend y-st, on

võrdne 8 korda Laplace'i teisend millest?

Kui me teeksime mustri sobitamist, kui see on s miinus

a, siis a on miinus 2.

Seega 9 korda Laplace teisend e

astmes miinus 2t.

Kas see on arusaadav?

Võta see, pane sisse see, mis me arvutasime välja ja sa

saad 1 jagatud s pluss w-ga.

Ja las ma teen selle puhtamaks, sest mul läheb

vaja seda pinda.

Ma kirjutan selle.

Ma jätan selle sinna, sest me kasutasme seda endiselt.

Ja siis meil on miinus 7 korda--see on Laplace'i

teisend millest?

See on Laplace'i teisend e astmes 3t.

See mustrite sobitamine, kui sa oled nagu, wow, kui sa nägid seda,

siis sa läheksid oma Laplace'i teisenduse tabelisse, kui sa ei

teaks seda, siis sa näeksid seda.

Sa oleksid nagu, wow, See näeb väga selle moodi.

Ma pean lihtsalt arvutama palju a on.

Mul on s pluss 3.

Mul on s miinus a.

Sellel juhul a on võrdne miinus 3-ga.

Kui a on võrdne miinus 3-ga, siis see on Laplace'i teisend

e astmes miinus 3t-st

Nüüd me saame võtta tagurpidi Laplace'i--tegelikult,

enne kui me teeme seda.

Me teame seda, sest Laplace'i teisend on lineaarne

operaator--ja tegelikult nüüd ma saan kustutada selle siit alt--me

teame, et Laplace'i teisend on lineaarne

operaator, seega me saame kirjutada seda.

Ja tavaliselt sa ei teeks läbi kõiki neid samme.

Ma lihtsalt tahan, et sa saaksid aru, mis me teeme.

Me võime öelda, et see on sama asi nagu Laplace'i

teisend 9e astmes miinus 2t, miinus 7e astmes miinus 3t.

Nüüd on meil midagi huvitavat.

Laplace'i teisend y-st on võrdne Laplace'i

teisend sellest.

Kui see on juhtum, siis y peab olema võrdne 9e astmes

miinus 2t, miinus 7e astmes miinus 3t.

Kuid ma kunagi ei tõestanud sulle, kuid Laplace'i teisend on

tegelikult 1:1 teisend.

Seda kui funktsiooni Laplace'i teisend, kui ma võtan

funktsiooni Laplace'i teisendi vastu ja siis ma

võtaksin vastupidise Laplace'i teisendi, ainus funktsioon

mille Laplace teisend see on, on

esialgne funktsioon.

See ei ole nagu, et kaks erinevat funktsiooni saavad omada sama

Laplace'i teisendit.

Igatahes, paar asja mille üle mõelda siin.

Pane tähele, meil oli see asi, mis nägi välja nagu

karakteristlik võrrand, mis tuli esile siin ja seal.

Ja me endiselt peame lahendama süsteemi kahest võrrandist

kahe tundmatuga.

Need olid mõlemad asjad, mida me pidime tegema kui me lahendasime

esialgse väärtuse probleemi, kui me kasutame lihtsat tavalist,

karakteristliku funktsiooni.

Kuid siin see juhtus kõik korraga.

Ja ausalt see oli natukene õudustekitavama, sest me pidime

tegema kõik need osalised murru laiendamised.

Kuid see on üsna kena.

Laplace'i teisend andis meile midagi kasulikku.

Järgmises videos ma teen mitte-homogeense

võrrandi ja näitan sulle, et Laplace'i teisend rakendub

võrdselt hästi seal.

Seega see on rohkem nagu järjepidev teooria diferentsiaalvõrrandite

lahendamisest, selle asemel, et arvata

lahendusi ja lahendada kordajatega ja kõike seda.

Näeme järgmises videos.