Laplace Transform solves an equation 2

Bienvenido.

Estamos finalmente utilizando la transformada de Laplace para hacer

algo útil.

En la primera parte de este problema, solamente teníamos esto

ecuación diferencial bastante sencilla.

Y sé que ahora mismo, es un poco frustrante porque

eres igual, esto es tan fácil solucionar utilizando la

ecuación característica.

¿Por qué estamos haciendo de Laplace?

También quiero mostrar que incluso éstos pueden resolver

problemas. Pero más tarde allí van a ser las clases de

problemas que, francamente, nuestros métodos tradicionales no son como

bueno como la transformada de Laplace.

¿Pero de todos modos, cómo solucionamos esto?

Simplemente tomamos la transformada de Laplace de ambos lados del

Esta ecuación.

Tenemos todo este lío peluda.

Hemos utilizado la propiedad de la derivada de funciones, donde

tomar la transformada de Laplace, y terminamos,

Después de hacer un montón de álgebra esencialmente, tenemos esto.

Llegamos a la transformada de Laplace de y es igual a esta cosa.

Simplemente tomamos la transformada de Laplace de ambos lados y

manipular algebraicamente.

Ahora nuestra tarea en este video es averiguar qué y

¿Transformada de Laplace es esta cosa?

Y básicamente lo que estamos intentando hacer, es que tratamos de

tomar la transformada inversa de Laplace de ambos lados de

Esta ecuación.

Así que otra forma de decirlo, podríamos decir que y--si tomamos

la inversa de Laplace de ambos lados--podríamos decir

y es igual a la transformada inversa de Laplace

Transformación de esta cosa.

2S plus 13, sobre s squared plus 5s plus 6.

Ahora veremos finalmente Aprenda la definición formal de

la inversa de Laplace.

¿Cómo ir desde el dominio de s para el dominio de t?

O cómo ir desde la frecuencia

¿dominio para el dominio del tiempo?

No vamos a preocuparse de ahora mismo.

Lo que vamos hacer es que vamos a conseguirlo en un

forma que reconocemos y decir, oh,

Sé que esas funciones.

Es la transformada de Laplace de cualquiera que sea y cualquiera que sea.

Y entonces sabremos qué es.

Así que vamos a intentar hacer eso.

Así que lo que vamos a utilizar es algo que usted probablemente

no has utilizado desde álgebra dos, que es cuando creo

se enseña en, que sabes, octavo, noveno,

o décimo grado, según.

Y finalmente verlo ahora en ecuaciones diferenciales que

realmente tiene algún uso.

Permítaseme escribirlo.

Vamos a utilizar la expansión de fracciones.

Y voy a hacer el primer un poco en, en caso de que no

lo recuerda.

Así que de todos modos, vamos a sólo factor la parte inferior derecha aquí.

Y verá dónde voy con esto.

Así que si factor la parte inferior, recibo s plus 2 veces s plus 3.

Y lo que queremos hacer, es que queremos volver a escribir esta fracción

como la suma de 2--supongo que podrías

lo llaman fracciones parciales.

Yo creo que por eso se denomina expansión de fracciones.

Así que queremos escribir esto como una suma de un sobre s plus 2, plus b

sobre s plus 3.

Y si podemos hacerlo, entonces--y campanas ya podrían

zumbido en su cabeza--sabemos que estas cosas que parecen

como este son la transformada de Laplace de funciones que

nosotros ya hemos solucionado para.

Y voy a hacer una pequeña revisión en en un segundo.

Pero de todos modos, ¿cómo figura hacia afuera a y B?

Bueno si estábamos realmente Añadir A y B, si tuviéramos que--

vamos un poco a un lado derecho aquí--por lo que si nos dice que A--

así que si queríamos darles un denominador común, que es

Esto, s plus 2 veces s plus 3.

¿Luego lo convertiría A?

¿Tendríamos que multiplicar a veces s más 3, correcto?

Nos reuníamos como plus 3A.

Esto, como que he escrito ahora mismo, es lo mismo como a

sobre s plus 2.

Usted podría anular un s plus 3 en la parte superior e inferior.

Y ahora vamos a agregar la b a la misma.

Así plus--lo haré en un color diferente--además--bueno,

Si tenemos esto como el denominador, nosotros podríamos multiplicar

el numerador y el denominador

¿por s plus 2, correcto?

Para obtener b veces s plus 2B, y que va

para igualar esta cosa.

Y todo lo hice, se añadirá estas dos fracciones.

Nada más elegante que allí.

Fue álgebra dos.

En realidad, creo que debo hacer una real

Video sobre tan bien.

Pero eso de ir a esta cosa es igual.

2S plus 13, todo ello sobre s plus 2 veces s plus 3.

Aviso en todas las ecuaciones diferenciales, la parte hairiest

siempre el álgebra.

Así que ahora lo que hacemos es igualamos.

Decimos, bueno, vamos a agregar la s condiciones aquí.

Y podríamos decir que los numeradores tienen igualdad de cada uno

otros, porque los denominadores son iguales.

Así que nos tienen a plus Bs plus 3A plus 2B es igual a 2s plus B.

Así, el coeficiente de s, en el lado derecho, es 2.

El coeficiente del lado izquierdo es a y B, así

Sabemos que a y B, además es igual a 2.

Y luego a la derecha, vemos 3A plus debe 2B

ser igual a--oh, esto es un 13.

¿digo B?

Se trata de un 13.

Es un 13.

¿Ve igual a B, derecha?

Fue 2s plus 13.

De todos modos, así sucesivamente la derecha que llego, fue 3A plus 2B

es igual a 13.

Ahora tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas,

¿y lo que obtenemos?

Sé que esto es muy cansino, pero va a ser

satisfacer al final.

Porque realmente te resuelve algo

con la transformada de Laplace.

Así que vamos a multiplicar la ecuación superior por 2, o simplemente vamos a

decir menos 2.

Así obtenemos menos 2A menos 2B es igual a menos 4.

Y luego solamente--añadimos las dos ecuaciones--llegas a es igual

a--estas cancelar fuera--A es igual a 9.

Gran.

Si a es igual a 9, ¿qué es b igual a?

¿B es igual a 9 más de lo que es igual a 2?

O 2 menos 9 es menos 7.

Y hemos hecho algunos grave simplificación.

Porque ahora podemos volver a escribir esta expresión toda como el

Transformada de Laplace de y es igual a la a sobre s plus 2,

igual a 9 sobre s plus 2, menos 7 sobre s más 3.

U otra manera de escribirlo, lo podríamos escribir como igual a

1 9 veces sobre s plus 2, menos 7 veces 1 sobre s más 3.

¿Por qué lo hizo tomar la molestia de hacer esto?

Bueno esperemos que reconoces que esto fue realmente

de la segunda Laplace que hemos averiguados.

¿Qué fue eso?

Voy a escribir aquí justo abajo por lo que recuerdo.

Fue la transformada de Laplace de e a la a, era igual a 1

sobre s menos una.

Fue de la segunda Laplace hemos averiguados.

Esto es interesante.

¿Esta es la transformada de Laplace de qué?

Así que si tuviéramos que tomar la transformada inversa de Laplace transformar--

realmente me deja simplemente permanecer consistente.

Es así que significa que se trata de la transformada de Laplace de y,

¿igual a 9 veces la transformada de Laplace de qué?

Si acabamos pattern matching, si esto es s menos

entonces a es menos 2.

Hasta 9 veces la Laplace de e

al menos 2 t.

¿Tiene sentido?

Tome esto, pongo en este uno, que hemos averiguados, y usted

superar 1 s plus 2.

Y permítanme limpiar esto un poco, porque me estoy volviendo

a necesitar esa inmobiliaria.

Voy a escribir esto.

Dejaré hay, porque aún utilizaremos.

Y luego tenemos menos 7 veces--esto es la Laplace

¿Transformación de qué?

Esta es la transformada de Laplace de e a la menos 3 t.

Esta coincidencia, eres como, wow, si has visto esto,

iría a su mesa transformada de Laplace, si no

Recuerde, usted vería esto.

Eres como, wow, luce mucho como ese.

Sólo tengo que averiguar lo que una es.

Tengo s plus 3.

Tengo s menos una.

En este caso, una es igual a menos 3.

Así que si una es igual a menos 3, esto es la transformada de Laplace

e al menos 3 t.

Así que ahora podemos tomar la transformada inversa de Laplace--en realidad,

antes de que lo hacemos.

Lo sabemos porque la transformada de Laplace es lineal

operador--y realmente ahora podemos eliminar aquí--nos

Sabemos que la transformada de Laplace es lineal

operador, así podemos escribir esto.

Y normalmente no pasan a través de todos estos pasos.

Realmente quiero hacer comprender lo que estamos haciendo.

Así que podríamos decir que esto es lo mismo que el de Laplace

Transformación de 9e a la 2t negativo, menos 7e al menos 3 t.

Ahora tenemos algo interesante.

La transformada de Laplace de y es igual a la de Laplace

Transformación de este.

Bien si es el caso, a continuación, y debe ser igual a 9e a la

menos 2t, menos 7e al menos 3 t.

Y yo nunca le resultó, pero es la transformada de Laplace

realmente una transformación de 1:1.

Que si una función de transformada de Laplace, si tomo un

función contra la transformada de Laplace y, si fuera

tomar la inversa de Laplace, la única función

cuya transformada de Laplace que es

esa función original.

No es como dos diferentes funciones pueden tener el mismo

Transformada de Laplace.

De todas formas, un par de cosas que pensar aquí.

Aviso, tuvimos esa cosa que parecía el tipo de una

ecuación característica emerge aquí y allá.

Y todavía tenemos que resolver un sistema de dos ecuaciones con

dos incógnitas.

Son dos cosas que teníamos que hacer cuando solucionamos un

problema de valor inicial, cuando usamos sólo tradicionales, la

ecuación característica.

Pero aquí sucedió una sola vez.

Y francamente es un poco peludo porque tuvimos que

hacer toda esta expansión de fracciones.

Pero es bastante limpio.

La transformada de Laplace nos hizo algo útil.

En el siguiente vídeo realmente a hacer una no homogéneos

ecuación y mostrar que la transformada de Laplace se aplica

igualmente bien allí.

Por lo que es el tipo de una teoría más consistente de resolver

ecuaciones diferenciales, en lugar de adivinar

soluciones y problemas para los coeficientes y todo eso.

Nos vemos en el siguiente vídeo.