-
.
-
أهلا
-
أخيرا نستخدم تحول لابلاس لكي
-
نعمل شيء مفيد
-
في الجزء الأول من هذه المسألة، كان عندنا فقط هذه
-
المعادلة التفاضلية البسيطة.
-
وأعلم انها محبطة نوعاً ما في الوقت الحالي، لأنها
-
تبدو سهلة بالنسبة لكم لحلها باستخدام
-
المعادلة المميزة.
-
لماذا إذاً نستخدم تحويل لابلاس؟
-
أريد أن أثبت لكم أنه بإمكانها ان تحل حتى هذه
-
المسائل. لكن لاحقاً ستكون هناك درجات
-
للمسائل حيث أن طريقتنا التقليدية ليست
-
جيدة كطريقة استخدام تحويل لابلاس.
-
لكن على أي حال ، كيف نحل هذه؟
-
نوجد تحويل لابلاس لكلا الطرفين
-
في هذه المعادلة.
-
وسينتج لنا كل هذا التشعب.
-
استخدمنا خاصية مشتقة الدالة، حيث
-
تأخذ تحويل لابلاس ، وانتهينا ،
-
بعد أن قمنا بالكثير من العمليات الجبرية الضرورية، حصلنا على هذا.
-
حصلنا على تحويل لابلاس لـ y وتساوي هذا.
-
أخذنا تحويل لابلاس لكلا الطرفين و
-
تلاعبنا بها جبرياً.
-
الآن مهمتنا في هذا الفيديو هي إيجاد تحويل
-
لابلاس للـ y في هذا الشيء.
-
وفي الأساس ما نحاول القيام به هو أننا نحاول
-
إيجاد معكوس تحويل لابلاس لكلا الطرفين
-
في هذه المعادلة.
-
طريقة أخرى لقول ذلك ، بإمكاننا القول أن y -- إذا أوجدنا
-
معطوس تحويل لابلاس لكلا الطرفين -- بإمكاننا القول
-
أن y تساوي معكوس تحويل
-
لابلاس لهذا الشيء.
-
2s زائد 13 ، على s مربعة زائد 5s زائد 6.
-
والآن حقيقة وأخيراً عرفنا التعريف الرسمي
-
لمعكوس تحويل لابلاس.
-
كيف تنتقل من مجال s إلى مجال t؟
-
أو كيف يمكن أن تنتقل من مجال
-
التردد إلى مجال الوقت؟
-
لن نهتم بذلك في الوقت الحالي.
-
سنقوم بإدخال هذه في
-
نموذج نعرفه ، بحيث يمكننا القول
-
بأننا نعرف هذه الدوال.
-
حيث تحويل لابلاس لأي كان.
-
وسنعلم حينها قيمة y.
-
لنحاول القيام بذلك.
-
ما سنقوم باستخدامه هو شيء ربما
-
لم تستخدموه منذ علم الجبر 2 ، الأمر الذي أعتقد
-
أنكم تعلمتموه ، تعرفون ، الدرجة الثامنة و التاسعة او
-
العاشرة ، الأمر يعتمد على الدرجة.
-
وأخيراً ترونه في المعادلات التفاضلية
-
وترون بأن له استخدامات في الحقيقة.
-
دعوني أكتب ذلك.
-
سنستخدم الكسر الجزئي الموسع.
-
وسأقدم ذلك ، في حالة إذا
-
كنتم لا تتذكرونها.
-
على أي حال، لنستخرج العامل المشترك في الجزء السفلي هنا.
-
وسترون إلى أين أنا ذاهب بهذا.
-
إذا أستخرجت العامل المشترك في الجزء السفلي ، أحصل على s زائد 2 مضروبة في s زائد 3.
-
وما نريد القيام به هو إعادة كتابة الكسر
-
كمجموع لـ 2 -- أعتقد أنه باستطاعتكم
-
أن تسموه كسر جزئي.
-
أعتقد لهذا السبب تمت تسميته كسر جزئي موسع.
-
نريد أن نكتب هذه كمجموع لـ A على s زائد 2، زائد B
-
على s زائد 3.
-
وإذا كان باستطاعتنا القيام بهذا ، بالتالي -- قد تكون الأجراس
-
قد قرعت في رأسكم -- نعلم بأن هذا الشيء يشبه
-
تحويل لابلاس للدوال
-
التي حليناها.
-
وسأراجع ذلك في ثانية.
-
لكن على أي حال ، كيف نوجد قيمة A و B؟
-
حسناً في الحقيقة إذا كنا سنضيف A و B إذا كنّا --
-
لنستخدم الهامش هنا قليلاً -- إذا قلنا أن A--
-
إذا كنا سنعطيهم مقام مشترك ، وهو
-
هذا ، s زائد 2 مضروبة في s زائد 3.
-
ماذا ستصبح A حينها ؟
-
سيتوجب علينا ضرب A بـ s زائد 3 ، صحيح؟
-
وسنحصل على As زائد 3A.
-
.
-
هذا ، كما أكتبه الآن ، هو نفس A
-
على s زائد 2.
-
بإمكانك إلغاء s زائد 3 في الأعلى والأسفل.
-
والآن سنضيف B إليها.
-
إذاً زائد -- سأقوم بذلك بلون مختلف -- زائد-- حسناً ،
-
إذا كان لدينا هذا كمقام ، فبإمكاننا ضرب
-
البسط والمقام
-
بـ s زائد 2، صحيح؟
-
للحصول على B مضروبة في s ، زائد 2B ، وهذا سيكون
-
مساوياً لهذا.
-
وكل ما قمت به هو أنني أضفت هذين الكسرين لبعضهما.
-
لا شيء أروع من ذلك.
-
هذا كان من علم الجبر 2..
-
في الحقيقة، أعتقد أنه يجب علي أن أقوم بعمل فيديو
-
حقيقي عن ذلك كذلك.
-
لكن هذا سيساوي هذا الشيء.
-
2s زائد 13، مل ذلك على s زائد 2 مضروبة في س زائد 3.
-
لاحظ في كل المعادلات التفاضلية، الجزء الأكثر تشعباً
-
هو جبري.
-
الآن علينا أن نقارن.
-
قلنا ، حسناً ، لنضيف الحد s هنا.
-
ويمكننا القول أن أي بسط يجب أن يساوي
-
الآخر ، لأن المقامات متساوية.
-
لدينا A زائد Bs زائد 3A زائد 2B تساوي 2s زائد B.
-
المعامل الخاص بـ s ، في الطرف الأيمن ، هو 2.
-
المعامل في الطرف الأيسر هو A زائد B،
-
نعلم أن A زائد B تساوي 2.
-
.
-
بالتالي الطرف الأيمن ، نرى 3A زائد 2B يجب
-
أن تساوي -- أوه ، هذه a 13.
-
هل قلت B؟
-
هذه a13.
-
إنها a13.
-
تشبه كثيراً الـ a B ، صحيح؟
-
هذه كانت 2s زائد 13.
-
على أي حال ، في الطرف الأيمن لدي ، كانت 3A زائد 2B
-
تساوي 13.
-
الآن لدينا معادلتين فيها مجهولين اثنين،
-
على ماذا حصلنا؟
-
أعلم أن هذا متعب ، لكن ستكون
-
مرضية في النهاية.
-
لأنك ستحل شيئاً ما في الحقيقة
-
باستخدام تحويل لابلاس.
-
لنضرب المعادلة العلوية بـ 2 ، أو
-
لنقل سالب 2.
-
سينتج لدينا سالب 2A ناقص 2B تساوي سالب 4.
-
وبعدها نحصل على -- أجمع المعادلتين -- تحصل على A تساوي
-
-- هذه تلغي بعضها -- A تساوي 9.
-
عظيم.
-
إذا كانت A تساوي 9 فماذا تساوي B؟
-
B تساوي 9 زائد مالذي يجعلها تساوي 2؟
-
أو 2 ناقص 9 وتساوي سالب 7.
-
قمنا بعملية تبسيط كبيرة.
-
لأنه الآن باستطاعتنا إعادة كتابة الكسر كـ
-
تحويل لابلاس بالنسبة لـ y وتساوي A على s زائد 2 ،
-
يساوي 9 على s زائد 2 ، ناقص 7 على s زائد 3.
-
أو طريقة أخرى لكتابتها ، حيث بإمكاننا كتابتها تساوي
-
9 ضرب 1 على s زائد 2 ، ناقص 7 مضروبة في 1على s زائد 3.
-
لماذا أخذت عناء حل هذه المسألة؟
-
آمل بأنكم ستتعرفون ان هذه في الحقيقة
-
هي تحويل لابلاس الثاني هو ما استنتجناه.
-
.
-
ماذا كان ذلك؟
-
سأكتبه هنا لتتذكروه.
-
لقد كان تحويل لابلاس للـ e بالنسبة لـ at، كان يساوي 1
-
على s ناقص a.
-
هذا كان تحويل لابلاس الثاني هو ما استنتجناه.
-
هذا مشوّق.
-
هذا تحويل لابلاس لأي شيء؟
-
إذا كنا سنأخذ معطوس تحويل لابلاس --
-
في الحقيقة دعوني أبقى ثابت على مبدأ.
-
هذا يعني أن تحويل لابلاس لـ y،
-
يساوي 9 مضروبة في تحويل لابلاس لأي شيء؟
-
إذا قمنا بمقارنة النماذج ، إذا كانت هذه s ناقص
-
a ، عندئذ a تكون سالب 2.
-
إذاً 9 مضروبة في تحويل لابلاس للـ e
-
إلى سالب 2t.
-
هل هذا منطقي؟
-
خذ هذا ، وضعه في هذا ، الذي استنتجناه، وستحصل
-
على 1 على s زائد 2.
-
اسمحوا لي بتنظيف هذا قليلاً لأنني سوف
-
هذه المنطقة.
-
.
-
سأكتب هذا.
-
سأترك هذا هنا، لأننا سنستخدمه.
-
وبعد ذلك لدينا سالب 7 مضروبة -- هذا تحويل لابلاس
-
لأي شيء؟
-
هذا تحويل لابلاس لـ e بالنسبة لـ سالب 3t.
-
.
-
هذا النموذج يشابه ، ستتفاجأ إذا رأيت هذا،
-
ستذهب إلى جدول تحويلات لابلاس ، إذا لم
-
تتذكرها ، سترى هذا.
-
وستقول بأن هذا يشابه هذا كثيراً .
-
سيتوجب علي معرفة ما هي a فقط.
-
لدي s زائد 3.
-
ولدي s ناقص a.
-
في هذه الحالة ، a تساوي سالب 3.
-
إذا كانت a تساوي سالب 3 ، هذا هو تحويل لابلاس
-
لـ e بالنسبة لـ سالب 3t.
-
الآن يمكننا أخذ معكوس تحويل -- في الحقيقة،
-
قبل أن نقوم بذلك.
-
نعلم أنه بسبب أن تحويل لابلاس هو معامل
-
خطي -- وفي الحقيقة الآن بإمكاني مسح هذا --
-
نعلم أن تحويل لابلاس هو معامل
-
خطي ، فبإمكاننا كتابة هذا.
-
وبطبيعة الحال لن تمر خلال كل هذه الخطوات.
-
أريد فقط أن أفهمكم مالذي نقوم به.
-
بإمكاننا القول أن هذا هو نفس تحويل
-
لابلاس لـ 9e بالنسبة لـ سالب 2t ، ناقص 7e بالنسبة لـ سالب 3t.
-
.
-
الآن لدينا شيء مثير للاهتمام.
-
تحويل لابلاس لـ y يساوي تحويل
-
لابلاس لهذا.
-
إذا كانت هذه هي الحالة ، عندئذٍ y يجب أن تساوي 9e بالنسبة لـ
-
سالب 2t ، ناقص 7e بالنسبة لـ سالب 3t.
-
لم أثبت لكم أبداً ، لكن تحويل لابلاس
-
في الحقيقة هو عبارة عن تحويل بنسبة 1:1.
-
بحيث أنه إذا كانت تحويل لابلاس لدالة ما ، إذا أخذت
-
دالة ضد تحويل لابلاس ، وعندها إذا كنت
-
قد أخذت معكوس تحويل لابلاس ، الدالة الوحيدة
-
التي تحويل لابلاس الخاص بها هو
-
الدالة الأصلية.
-
ليس الأمر وكأنه دالتين مختلفتين من الممكن أن يكون لهما
-
نفس تحويل لابلاس.
-
على أي حال ، هناك القليل من الأشياء للتفكير بها قليلاً هنا.
-
لاحظوا ، لدينا هذا الشيء الذي يشبه
-
معادلة مميزة ظهر هنا وهناك.
-
وتوجب علينا الحل بنظام معادلتين
-
بمجهولين.
-
هذين شيئين علينا القيام بهما عند حل
-
مسألة ذات قيمة ابتدائية ، عندما نستخدم الطريقة التقليدلة ،
-
المعادلة المميزة.
-
لكن هنا حدث كل شيء في حالة واحدة.
-
وبصراحة كانت أكثر تشعباً قليلاً لأنه
-
توجب علينا حل الكسر الجزئي الموسع.
-
ولكنها جميلة.
-
أفادنا تحويل لابلاس.
-
في الفيديو القادم ، سأحل معادلة
-
غير متجانسة ، وسأريكم أن تحويل لابلاس من الممكن استخدامه
-
كما هو الحال هنا تماماً هناك.
-
إنها نظرية ذات مبدأ أكثر من كونها
-
لحل معادلة تفاضلية ، عوضاً عن التخمين
-
للحلول ، والحل للمعاملات وكل ذلك.
-
أراكم في الفيديو القادم.
-
.
Khan Academy
