How to Rationalize a Denominator

분모를 유리화하는 법에 대해 알아보겠습니다

분모가 무리수인 분수 중 가장 간단한 분수인

√2분의 1을 이용해서 설명하겠습니다

이 분모를 유리화하기 위해서

우리는 분모에 무리수가 없는 형태로 이 수를 바꿔 보겠습니다

아마 여러분들이 가장 먼저 할 질문은

왜 우리가 이것을 신경써야 하죠?

왜 반드시 분모를 유리화시켜야 하나요?

여러분들은 분모를 유리화시킬 필요가 없습니다

하지만 수학 시간에 선생님들이

숫자들을 자주 쓰이는 형태로 변형할 것을 요구하기 때문에

여러분들도 유리화를 해야 한다고 저는 생각합니다

또, 계산기가 만들어지기 전에 살았던 사람들이

분모에 유리수가 있는 것이 계산하기 편하다는 사실을

발견했기 때문일 수도 있습니다

제가 앞서 말한 것이 사실인지 아닌지는 잘 모르겠지만요

또 다른 이유는 아름다움을 위해서입니다

몇몇 사람들은 √2분의 1이라고

말하기 싫다고 얘기합니다

저는 잘 모르겠지만요

π(파이)가 얼마나 큰지 알기 위해

분모를 유리수로 바꾸고 싶어요

그렇게 하기 위해 어떻게 유리화하는지 배워 봅시다

만약 분모에 저렇게 단순한 무리수가 있다면

분모와 분자에 그 무리수 분의 무리수를

곱해 주면 됩니다

그러면 1이 되죠

어떤 수 분의 어떤 수, 또는 어떤 수 분의 같은 수는

1이 되니까요

우리는 아예 수 자체를 바꾼 것이 아닙니다

그 수를 나타내는 방식을 바꾼 것일 뿐이죠

그래서 이 수는 어떤 값이 나올까요?

분자는 1 곱하기 √2로 √2가 되고

분모는 √2 곱하기 √2로 √2의 제곱이 되죠

정의에 의하면 √2의 제곱은 2죠

분모에서 √2 자체를 두 번 곱했으니까

2가 됩니다

우리는 분모를 유리화했습니다

근호를 없애지 않았는데도

근호 안의 숫자로 분자로 보냈네요

분모는 유리수가 됐고요

그리고 2분의 √2라고 말할 수 있겠네요

숫자를 말하는 것도 더 쉬워졌으니까

아마도 유리화를 정당화시키는 또 다른 이유가 될 수 있겠네요

다른 예시들을 들어 볼게요

여기 √15분의 7이 있습니다

이 수의 분모에 있는 근호를 단순화시키고 싶어요

√15에서 15는 3 곱하기 5입니다

두 숫자 모두 완전제곱수가 아니네요

앞서 우리가 했듯이 √15분의 √15를 곱해 줍시다

분자는 두 수를 곱해주면 되니까 7√15가 되겠네요

√15 곱하기 √15는

15가 되죠

또 분모를 유리화했네요

따라서 이 수는 이제 유리수입니다

분자에 무리수가 있는 형태로 만들었으니까요

우리는 숫자 자체를 바꾼 것이 아니라

그 숫자를 나타내는 방법을 바꿨을 뿐입니다

이제 수준을 높여 보겠습니다

2-√5분의 12는 어떻게 유리화해야 할까요?

이 경우, 분모에 이항식이 보이죠

그리고 이 이항식에는 무리수가 포함되어 있네요

따라서 앞에서 사용했던 방법을 사용할 수 없습니다

만약 √5분의 √5를 곱해준다면

분모에는 무리수가 남아 있게 됩니다

앞에서 사용했던 방법을

쓸 수 없다는 것을 보여드리겠습니다

만약 √5분의 √5를 곱한다면

분자는 12√5가 됩니다

분모의 경우에는 √5를 분배해야 합니다

2√5에서 √5의 제곱을 빼는 것이므로

2√5-5가 됩니다

따라서 이 경우, 앞서 우리가 했던 방법으로는 분모를 유리화시킬 수 없습니다

왜냐하면 √5가 유리화되더라도

2가 2√5로 무리수가 되기 때문이죠

그래서 분모에 무리수가 있는 이항식이 있는 경우

이 방법을 사용할 수 없습니다

이 경우 제곱의 차를 이용해야 합니다

오래 전에 배운 적이 있을 텐데요

(2-√5)에 (2+√5)를 곱해 주면 어떤 값이 나올까요?

바로 생각이 나지 않는다면

전의 비디오에서 보았듯이

(a+b)에 (a-b)를 곱하면

a제곱 빼기 b제곱이 나오는 것과 같은 경우인 것을 이용하세요

a와 a를 곱하면 a제곱이 나오고

a와 b를 곱하면 ab가 나오네요

-b곱하기 a는 -ab가 나오고

-b와 b를 곱하면 -b제곱이 나옵니다

ab와 -ab를 없애 주면

a제곱 빼기 b제곱만 남겠네요

따라서 (2-√5)(2+√5)는 2의 제곱에서 √5의 제곱

즉 4에서 5를 뺀 것이므로 -1이 됩니다

제곱근의 차의 성질을 이용해서

여러분은 이 분수의 분모를 유리화시킬 수 있습니다

자, 함께 해 봅시다

이 경우, (2+√5)분의 (2+√5)를 곱해 줍니다

다시 한 번 말하지만, 저는 이 분수에 숫자 1을 곱하고 있습니다

수 자체를 바꾸는 것이 아니라는 뜻이죠

단순히 숫자를 표현하는 방법을 바꾸고 있을 뿐입니다

분자는 24 더하기 12√5가 되겠네요

다시 한 번 말하지만, 분모는 제곱의 차를 이용해서 계산합니다

2의 제곱이므로 4가 되니까

4 빼기 5가 됩니다

2의 제곱 빼기 √5의 제곱과도 같죠

그래서 4 빼기 5입니다

분모에 -1이라고 써 줄 수도 있겠네요

아니면 분모에는 1만 써 주고 마이너스를 앞으로 빼도 됩니다

분모의 1을 생략하고 -24-12√5라고 써도 됩니다

그래서 이 경우도 단순화시켰다고 말할 수 있겠네요

유리화를 위해서가 아니라 보기 쉽게 만들어 준 것이죠

그리고 이것은 좋은 것입니다

만약 여러분과 제가 로켓을 만들려고 하는데

여러분은 2-√5분의 12를 답이라 하고 저는 24-12√5를 답이라 한다면

두 수는 같은 수임에도 불구하고

적어도 저는 정확하게 이해할 수 없겠죠

하지만 만약 우리가 항상 수를 유리화하기로 약속한다면

우리는 같은 수를 답이라 말하겠죠

이제 우리는 화성에 로켓을 쏘아올릴 수 있겠네요!

다른 수를 유리화 해 봅시다

변수가 들어간 경우를 해 보겠습니다

2√y-5분의 5y를 봅시다

같은 과정을 통해 해 봅시다

무리수가 포함된 이항식이 분모에 있네요

아마도 무리수겠지요

우리는 y가 무엇인지 모르니까요

하지만 y는 어떤 수든지 다 될 수 있으므로

무리수가 된다고 생각하고 해 봅시다

우리는 무리수가 분모에 있는 걸 원치 않습니다

따라서 2√y+5분의 2√y+5를 곱해 줍시다

이 수는 1입니다

우리는 수를 바꾸는 것이 아니라 1을 곱해 주었을 뿐입니다

분모부터 계산해 보겠습니다

어떤 값이 나올까요?

제곱의 차를 이용하는 것입니다

2√y의 제곱 빼기 5의 제곱이 되겠네요

이것은 (2√y+5)(2√y-5)와 같습니다

이것이 제곱의 차입니다

분자는 5y곱하기 2√y인데요

따라서 10y√y가 됩니다

마지막으로 5y곱하기 5는 25y입니다

나중에 이것을 더 단순화시키겠습니다

분모는 어떤 값이 나올까요?

2의 제곱인 4가 나올 것이고

√y의 제곱인 y가 나올 것입니다

따라서 4y죠

그리고 -25가 나옵니다

다음으로 분모를 봅시다

여기에 적혀 있는 그대로 놔 둘 수 있지만

일단 10을 적어 줍니다

그 후, 이 y는 y의 1제곱이고

이 y는 y의 2분의 1 제곱이므로

원한다면 y의 2분의 3 제곱이라고 적어줄 수 있습니다

아니면 y의 1과 2분의 1제곱이라고 적어 줄 수도 있고요

혹은 10y√y라고 적어 줄 수도 있습니다

모두 같은 수를 나타내니까요

그 후에 25y를 더해 줍니다

어쨌든 여러분이 분모를 유리화하는 것을

재미있는 것으로 생각해 주면 좋겠네요