Central Limit Theorem

.

I denne video skal vi snakke om en af de

mest fundamentale og dybgående koncepter i statistik og

måske også i hele matematikkens Verden.

Og det er netop den "centrale grænseværdi sætning".

.

og den viser os, at vi kan starte med en hvilken som helst

fordeling, som har et vel-defineret gennemsnit og varians.

Og hvis den har en vel-defineret varians, så har den også en vel-defineret

standard afvigelse.

Det kan være en kontinuert fordeling eller en diskret fordeling.

vi tegner en diskret en, fordi det er nemmere at

forestille sig - i det mindste for denne videos formål.

Lad os sige, at vi har en diskret sandsynligheds

fordelings funktion.

og vi skal sikre os, at den ikke kommer til at ligne

en normal fordeling, fordi vi vil vise

styrken ved den centrale grænseværdi sætning.

Lad os sige, at vi en fordeling.

Lad os sige, vi bruger værdierne 1 til 6

1, 2, 3, 4, 5, 6.

det er en slags skør terning

lad os sige, at det er meget sandsynligt at slå 1

lad os lige lave en lige linie - der er en meget store sandsynlighed

for at slå en 1'er, lad os sige det er umuligt at slå 2, lad os

sige at der er OK stor sandsynlighed for at slå en 3'er og en 4'er,

Lad os sige det er umuligt at slå 5.

og lad os sige at det er meget sandsynligt at slå 6.

Det er så vores sandsynligheds fordelings funktion.

Hvis vi skulle vise gennemsnittet - denne er symetrisk, så måske ville gennemsnittet

se nogenlunde sådan her ud.

Så ville gennemsnittet være halvvejs.

Det ville altså være gennemsnittet lige her.

Standard afvigelsen, ville måske - den ville

være så langt over og så langt under gennemsnittet.

Men det er altså vores diskrete sandsynligheds

fordelings funktion.

Det vi så gør nu, i stedet for bare at udvælge stikprøver

af denne tilfældige variabel som er beskrevet af denne sandsynligheds

fordelings funktion. Vi tager en stikprøve..

men vi laver et gennemsnit af stikprøverne og ser så på

stikprøverne og den frekvens som gennemsnittene giver.

og når jeg siger "average", så mener jeg gennemsnittet.

Lad os sige - og lad os lige definere en ting - lad os sige at vores

stikprøve størrelsen, og her kunne vi skrive et hvilket som helst tal, med lad os

først prøve en stikprøve størrelse af n = 4.

og det betyder altså, at vi tager 4

stikprøver fra denne.

Lad os sige vi tager 4 stikprøver.

Så vores stikprøve-størrelse er 4.

Lad os antage, at vi en 1'er, og en til 1'er, lad os sige

vi får en 3'er og en 6'er.

Så det er altså min første stikprøve med prøve-størrelsen 4.

Terminologien kan være lidt forvirrende fordi dette er

en stikprøve der består af 4 stikprøver.

Men når vi snakker om stikprøvens gennemsnit og den fordeling

som prøvetagningen antager, af stikprøve-gennemsnittet, som vi kommer til at tale mere

og mere omkring i de næste par videoer. Normalt vil prøvetagningen

referere til stikprøverne fra vores fordeling.

Og stikprøvestørrelsen fortæller os hvor mange vi rent faktisk tog

fra vores fordeling.

Men igen kan terminologien være meget forvirrende fordi vi kan

let komme til at se en af disse som en stikprøve.

Men vi tager altså 4 stikprøver her.

Vi har en stikprøve-størrelse på 4.

Og det vi gør nu, er at vi tager gennemsnittet af dem.

Så lad os tage gennemsnittet

Gennemsnittet af den første stikprøve på 4 er hvad?

1 + 1 er 2

2 + 3 er 5.

5 + 6 er 11.

11 divideret med 4 er 2,75.

Det er gennemsnitet af første stikprøve på 4.

Lad os tage en til.

Min anden stikprøve er på 4.

Lad os sige, at vi har en 3'er, en 4'er, og en til 3'er,

og lad os sige vi får en 1'er.

Denne gang fik vi ikke en 6'er.

og bemærk, at vi ikke kan få 2 og 5.

Det er umuligt for denne fordeling.

Chancen for at få en 2'er eller en 5'er er 0.

Vi kan ikke slå nogle 2'ere og 5'ere.

Så for denne anden stikprøve på 4, vores prøve gennemsnit

vil være 3 + 4 er 7.

7 + 3 er 10, plus 1 er 11.

11 divideret med 4, er atter en gang 2,75.

Lad os tage en til for at gøre det helt klart

hvad vi har gang i.

Vi tager en til - rent faktisk tager vi mange

flere, men lad os tage en til

Lad os sige vores tredje stikprøve på 4

Vi laver 4 stikprøver.

Vores stikprøve består af 4 prøver fra denne originale

skøre fordeling.

lad os sige vi får en 1'er, en 1'er, en 6'er og en 6'er.

Og så bliver vores tredje stikprøve gennemsnit 1 + 1 er 2.

2 plus 6 er 8.

8 plus 6 er 14.

14 divideret med 4 er 3,5.

.

Så for hvert af vores

stikprøver, af prøve-størrelse 4, finder vi vores gennemsnit

og som vi beregner hvert af dem, plotter vi dem ind i denne frekvens fordeling.

Og dette vil sikkert overraske jer om lidt.

Vi plotter dette ind i en frekvens fordeling.

I vores første strikprøve er

vores gennemsnit 2,75.

Vi plotter frekvenserne af stikprøve gennemsnittene ind

for hver af vores stikprøver.

2,75 - har vi allerede.

Så vi sætter en lille markering her.

Det er fra den lige her.

Den anden er også 2,75.

Det er 2,75 der.

Det fik vi så to gange.

vi markere frekvensen lige her.

Så har vi 3,5.

Altså alle vores mulige værdier. Vi kunne have 3, og

3,25, vi kunne have 3,5

Så vi markere 3,5 her.

Og vi bliver ved med at

tage disse stikprøver.

Måske tager vi 10.000 stikprøver.

Vi bliver altså ved med at tage stikprøver.

Så vi kommer helt op til 10.000.

Vi tager lige nogle flere.

Over tid vil vi markere en prik for hver af disse

vi zoomer lige lidt ud

Når vi ser på det, på denne måde - over tid - vil den stadig have

alle de værdier som den kan antage.

Vi ved, at 2,75 må være her.

Så den første prik, bliver altså den lige her,

som vi placerer der, og den anden sætter vi lige

der, og den der placerer vi ved 3,5, lige der.

Men vi skal gøre det 10.000 gange, så

vi har 10.000.

Og imens vi beregner dem, så

plotter vi dem ind.

Vi markerer bare frekvenserne

igen og igen

og igen og igen.

Og det vi vil se, som vi tager mange mange

stikprøver á 4

får vi noget der begynder at

ligne en normal fordeling.

hver af disse prikker indikere altså et gennemsnit af en stikprøve.

Som vi bliver ved med at tillægge den kolonne her, betyder

det at vi blev ved med at gå gennemsnittet 2,75.

Så over tid, får vi altså noget der begynder

at ligne en normal fordeling.

Og det er det der gør central grænse sætningen speciel.

Så central grænsen - vi skriver det i

orange - er tilfældet for n = 4.

Dette var for prøvestørrelse 4.

Hvis vi så gjorde det samme med en prøvestørrelse på 20.

I dette tilfælde, i stedet for bare at tage 4 prøver fra vores

originale skøre fordeling, tager vi 20

tilfælde af vores tilfældige variable og regner gennemsnittet af disse 20 og

vi markerer prøve gennemsnittet her.

I det tilfælde, får vi en fordeling

som ser sådan her ud.

Og det vil vi diskuterer mere i andre videoer.

Men det viser sig, at hvis vi plottede 10.000 gennemsnit ind

her, får vi noget der - to ting:

-kommer mere til at ligne en normal

fordeling.

Og vi vil kunne se i senere videoer, at den

vil have en mindre - eller lad os være specifikke - den vil

have det samme gennemsnit.

Så det er altså gennemsnittet.

Den vil have det samme gennemsnit.

Den vil have en mindre standard afvigelse.

Så vi plotter disse fra bunden, fordi

vi, nærmest stabler dem.

man får flere og flere tilfælde.

Og dette vil mere end nærme sig

en normal fordeling.

Så det er altså - og det er det som er så fedt ved

central grænse sætningen - som vores stikprøve størrelse bliver større,

eller vi kan sige som den nærmer sig uendeligt

eller så tæt behøver vi heller ikke at komme på uendeligt,

så kommer vi tættere på en normal fordeling.

Selv hvis vi har en stikprøve størrelse på 10 eller 20, vil vi

komme tæt på en normal fordeling.

Ja rent faktisk så tæt på som vi vil se det

i vores hverdag.

Men det lækre er, at vi kan starte med en tilfældig

fordeling.

Dette har ikke noget at gøre med en normal fordeling

Men hvis vi sætter stikprøvestørrelsen til - her var den 4 - men hvis vi

sætter den til 10 eller 100 og vi skulle

tage 100 af disse i stedet for 4 here og finde gennemsnittet af dem

og så plotte gennemsnittene, frekvensen af dem.

Og vi tager 100 igen, gennemsnitter dem,

og plotter det igen.

Og hvis vi gjorde det et par gange, ja faktisk hvis vi

gjorde det uendeligt mange gange, ville vi se -

især hvis vi havde uendeligt mange - vi

ville se en perfekt normal fordeling.

Det er det skøre ved det.

Og det virker ikke ved bare at tage gennemsnittet af stikprøven.

Her tog vi gennemsnittet, men vi kunne også have

taget summen.

Central grænse sætningen ville stadig have virket.

Og det er det som gør den så brugbar.

Fordi i det virkelige liv, er der alle mulige processer der ude,

proteiner der slår mod hinanden, folk der gør skøre

ting, mennesker agerer på mærkelige måder.

Og vi kender ikke sandsynligheds fordelings

funktionen for nogle af disse ting.

Men det som central grænse sætningen fortæller os, er hvis vi

lagde en masse af de funktioner sammen, og antog at de

alle havde den samme fordeling, eller hvis vi tog gennemsnittet

af alle de funktioner og hvis vi plottede

frekvensen af de gennemsnit ind, ville vi få en normal

fordeling.

Og det derfor normal fordelingen ses så

ofte i statistik, og også derfor det er er en meget god

tilnærmelse for summen af gennemsnittene for en masse

processer.

Normal fordelingen.

Det vi skal se på i den næste video er

at dette er virkeligheden.

At som vi øger vores stikprøvestørrelse, som vi gør

n større, og som vi tager en masse gennemsnit, vil vi

have et frekvens plot, der vil afspejle en

normal fordeling.

.