Central Limit Theorem

تعرف من خلال هذا الفيديو

على واحدة من أهم المفاهيم الأساسية والعميقة في الإحصاء

أو ربما في الرياضيات ككل

إنها مبرهنة الحد المركزي

مبرهنة الحد المركزي

كما يبين لك ذلك أنه بإمكانك البدء

بأي توزيع لديه وسط حسابي مُعرَّف بشكل جيد

وتباين، وإذا كان لديه تباين معرَّف بشكل جيد

يكون لديه بالتالي انحراف معياري معرَّف جيدا

ويمكن أن يكون توزيعا مستمرا أو متقطِّعا / منفصلا

ارسم الآن واحدا منفصلا إذ أنه أسهل للتخيل

على الأقل فيما يخدم أغراض هذا الدرس

فلنقل أنه لديك دالة توزيع احتمالي متقطعة

ولكن انتبه جيدا

لعدم جعلها تبدو مشابهة للتوزيع الطبيعي

بما أنك تودُّ مشاهدة قوة مبرهنة أو نظرية الحد المركزي

افترض أنه لديك توزيع

يمكنه أخذ قيم محصورة ما بين 1 إلى 6

وهي القيم: 1,2,3,4,5,6

بإمكانك اعتباره كحجر النرد الطائش

فمن المحتمل جدا ظهور العدد واحد (1)

ولنقل أنه غير ممكن

لذلك حاول أن تجعله خطا مستقيما

لتصبح إمكانية ظهور العدد 1 كبيرة جدا

لنقل أيضا أنَّ ظهور العدد 2 غير ممكن أي أنَّ احتمال ظهوره 0

ولنقل أن احتمالية تحقيق العددين 3 أو 4 لا بأس بها

كذلك العدد 5 لنعتبر أنَّ الوصول إليه غير ممكن فاحتمال ظهوره 0

وبأنه يمكن جدا الوصول إلى العدد 6

هذه هي دالة التوزيع الاحتمالي

إن كان عليك الآن أن ترسم المتوسط، فيكون بشكل متماثل

فالمتوسط يكون على الأغلب مشابها لهذا

يكون المتوسط هو المنصِّف

فيكون هنا

كما يمكن أن يكون الانحراف المعياري

هكذا بهذا البُعد وبهذه المسافة

عن أعلى وأسفل المتوسط

وهذه هي دالة التوزيع الاحتمالي المنفصلة أو المتقطعة

والآن بدلا من أخذك لعينات

من هذا المتغير العشوائي

ما عليك فعله هو تمثيل دالة التوزيع الاحتمالي

لتقوم بأخذ عينات منها

مع تحديد متوسط هذه العينات

ثم مطالعتها واستنتاج

تكرار أو تواتر المتوسطات التي وجدتها

ويسمى المتوسط أو كذلك الوسط

عليك الآن تحديد شيء ما وهو

"حجم العينة"، ويكون ذلك اختياريا فيمكنك اختيار أي عدد تريد

وليكن العدد 4، إذن أنت اخترت عينة من المجموعة n ذات حجم يساوي 4

ومعنى ذلك ببساطة أنك تختار 4 عينات من المجموعة

إذن أولا قم بأخذ أربع عينات

بما أنَّ حجم العينة الذي اخترته هو 4، وليكن أول عدد هو 1

ثم حصلت مرة أخرى على العدد 1

ثم 3

ثم 6

وهذه هي أول عينة من العينة ذات الحجم 4

قد يبدو لك الاصطلاح مبهما أو غير مفهوم حتى الآن

ذلك أنَّ العينة ذات الحجم 4 هي أساسا متكونة من أربع عينات جزئية

أمَّا لاحقا فتتطرق إلى متوسط العينة وتوزيع المعاينة

لمتوسط العينة

الذي ستدرسه في الحصص القادمة أكثر فأكثر

تشير العينة عادة إلى مجموعة العينات

من التوزيع

أما حجم العينة فيبين لك كم أخذت حقا

من هذا التوزيع

يبدو التعبير عنها مبهما بعض الشيء

حيث أنه قد تبدو لك إحداها ببساطة كعينة واحدة

إلا أنك تستخدم في الحقيقة 4 عينات

فلديك عينة ذات الحجم 4

الآن عليك حساب متوسطات هذه العينات الأربع

متوسط أو وسط، ولكن يجب التمييز بين نوعين من المتوسطات إذ يمثل الأول مجموع الأعداد في مجموعة بيانات على عدد بنود البيانات

ويمثل الثاني مجموع البيانات على عدد الحدود في المجموعة ويكون عادة منَصِّفا

إذن ما هو متوسط العينة ذات الحجم 4؟ ونقصد به المعنى الثاني

1+1=2

2+3=5

5+6= 11

11 ÷ 4= 2,75

إذن 2,75 هو أول متوسط لأول عينة ذات الحجم 4

أوجد الآن المتوسط الثاني

ولتكن العينة الثانية من العينة ذات الحجم 4 هي كالتالي: 3 و 4

و3

و 1

وهذه المرة لم تحصل على الاحتمال 6

تذكَّر فقط أنه لا يمكن ظهور احتمال العددين 2 و5

فهو غير ممكن في هذا التوزيع كما سبق وذكرت

لأن احتمال ظهور العددين 2 و 5 هو 0

لذا في هذه الحالة لا يمكن ظهور 2 أو 5 في أية عينة

أكمل الآن حساب متوسط العينة الثانية من العينة ذات الحجم 4

لديك 7 =4+3

7+3 = 10
10+1= 11

2,75 = 4 ÷ 11
وهو متوسط العينة الثانية من العينة ذات الحجم 4

أحسب الآن المتوسط الثالث أي متوسط العينة الثالثة

حتى تتضح المسألة لك بشكل أحسن

وبهذه الطريقة يمكنك حتى الحصول على عدد كبير من المتوسطات

أما الآن عليك حساب المتوسط الثالث

للعينة ذات الحجم 4

أي أنه عليك أخذ 4 عينات

بما أنَّ العينة متكونة من 4 عينات جزئية

قمت بأخذها من هذا التوزيع العجيب

ولتكن العينة الثالثة كالتالي: 1, 1, 6, 6

ومنه حساب المتوسط يكون على النحو:
2 =1+1

2+6= 8

8+6= 14

14 ÷ 4= 3,5

وهكذا تكون قد وجدت متوسطات هذه العينات الثلاث

المكونة للعينة ذات الحجم 4

وبعد أن وجدت كل واحد من هذه المتوسطات الثلاث

قم بتمثيلها على توزيع تكراري أو توزيع متواتر

سيدهشك الأمر حقا

وأنت تقوم بتمثيلها على توزيع تكراري

ابدأ بالعينة الأولى

متوسط هذه العينة هو 2,75

ما تقوم به إذن هو تحديد التكرار الحقيقي لمتوسطات العينة ذات الحجم 4

وهي المتوسطات التي قمت بحسابها لكل عينة جزئية

لديك المتوسط الأول 2,75

والذي تمثله بقطعة صغيرة هنا

ها هنا

ثم المتوسط الثاني 2,75

ها هنا

فقد حصلت على هذا المتوسط مرتان

وعليه يكون تمثيل هذا التكرار هنا هكذا

ثم لديك المتوسط الثالث 3,5

ومنه جميع القيم الممكنة لديك

يمكنك أخذ القيمة 3 أو 3,25 أو 3,5

المتوسط الثالث يساوي 3,5 ويمكنك تمثيله هنا هكذا

ما تقوم به الآن هو أنك

تواصل أخذ عينات

يمكنك أن تأخذ إلى 10000 عينة من هذا التوزيع

وبالتالي أنت بصدد أخذ المزيد من العينات

على هذا النحو حتى العينة رقم 10000

فأنت لم تأخذ سوى مجموعة صغيرة منها

لتبدو بعد ذلك بهذا الشكل

اجعلها على شكل نقطة

حيث أنك تقوم بتصغيرها

لذا إذا كنت ستنظر إليها على هذا الشكل

فإنها مع الوقت تأخذ جميع القيم الممكنة

2,75 يمكن أن تكون هنا

وهذه هي أول نقطة تظهر لديك

فهذه النقطة تكون هنا

وتكون النقطة الثانية 2,75 هنا

والنقطة التي تمثل القيمة 3,5 تكون هنا

ويفترض أن تقوم بهذا 10000 مرة

نحو الحصول على 10000 نقطة

ومثلما قمت بذلك، ماعليك سوى مواصلة تمثيل

باقي التكرارات أو التواترات

وأن تقوم برسمها وتعيينها

مرات ومرات

وبالتالي بعد أخذك المزيد من العينات ذات حجم يساوي 4

تلاحظ

أنك على وشك الحصول على تمثيل

يقترب لأن يكون مماثلا للتوزيع العادي

ومنه فكل واحدة من هذه النقط تمثل وقوع أو إسقاط متوسط العينة

وهكذا مع زيادة النقط في هذا العمود الذي بدأ يظهر شكله هنا

فهذا يعني أنك ما تزال تحصل على متوسط عينة يساوي 2,75

طوال الوقت

وشيئا فشيئا يتضح لك أنك على وشك الحصول على تمثيل

يقترب من التوزيع الطبيعي

وهذا هو الشيء الجيد في نظرية الحد المركزي

فالشكل الظاهر باللون البرتقالي هو في حالة n = 4

كانت تلك عينة ذات الحجم 4

ولو أنك قمت بالشيء نفسه مع عينة ذات الحجم 20 مثلا

ففي هذه الحالة بدلا من تأخذ 4 عينات فقط

من توزيعك العجيب، فمن أجل كل عينة ذات الحجم 20

تأخذ 20 عينة أو نموذج من المتغير العشوائي

وتقوم بحساب متوسطاتها

ثم تقوم بتمثيل متوسط العينة هنا

وفي هذه الحالة، أنت على وشك الحصول

على توزيع مماثل لهذا الشكل

والذي ستتطرق إلى مناقشته في الحصص القادمة

ويتضح أنه لو قمت بتمثيل 10000 من متوسطات العينة هنا

سينتج لك شكل

يقترب بشكل أكبر

من التوزيع الطبيعي

وسترى من خلال الحصص القادمة

أنه سيكون أصغر

بمعنى

له نفس المتوسط

أي هذا هو المتوسط

سيكون له نفس المتوسط

وبالتالي يكون انحرافه المعياري أصغر

يمكنك رسمه بدءاً من الأسفل

مرة تحصل على 1، ثم عدد آخر فآخر

فيقترب ذلك أكثر فأكثر

من التوزيع الطبيعي

وهذا هو الأمر المميَّز في نظرية الحد المركزي

كلما زاد حجم العينة

أو بالأحرى كلما اقتربت من اللانهاية

مع أنه ليس من الضروري أن تكون قريبة من اللانهاية

حتى تقترب حقا من التوزيع الطبيعي

فحتى لو كانت لديك عينة ذات الحجم 10 أو 20

تكون بذلك قد اقتربت كثيرا من التوزيع الطبيعي

وهي في الواقع مقاربة جميلة جدا

لحياتنا اليومية

إنما المدهش فيها هو إمكانية البدء بتوزيع عجيب

ولا علاقة لهذا بالتوزيع الطبيعي

ففي هذه الحالة لديك n = 4

أمَّا لو أخذت عينة ذات الحجم n = 10 أو n = 20

وكان عليك أخذ 100 نموذج منها بدلا من 4

وبالتالي يستلزم ذلك حساب متوسطاتها وتمثيلها

وتحديد تكرارها، ثم تأخذ 100 أخرى، وتجد متوسطاتها

فتعين المتوسطات وهكذا...

فلو قمت بذلك لعدة مرات

أو بالأحرى لما لانهاية من المرات

ستجد أنه

لو كانت لديك عينة ذات حجم غير منتهي خاصة

فإنك ستحصل على التوزيع الطبيعي المثالي

وهذا هو الأمر الرائع

ولا يتم تطبيق ذلك لمجرد أخذ متوسط العينة

فأنت هنا تقوم بأخذ متوسط العينة في كل مرة

ولكن يمكنك كذلك أن تحصل على مجموع العينات

فنظرية الحد المركزي تبقى سارية المفعول

وهذا هو الجانب المفيد جدا في هذه النظرية

لأنه في الحياة اليومية، لديك كل أصناف هذه العمليات

فتجد البروتينات تتصادم وتتداخل بعضها ببعض

ويفعل الناس أشياء عجيبة فيتصرفون بطرق غريبة

وأنت لا تعرف دوال التوزيع الاحتمالي

لأي من هذه الأمور

ولكن ما تدلك عليه نظرية الحد المركزي

هو أنك لو أضفت مجموعة أو حزمة من هذه العمليات معا

فرضا أنها تملك جميعها التوزيع نفسه

أو كان عليك إيجاد متوسطات جميع هذه العمليات معا

ومن ثمة تمثيل تكراراتها

ستحصل على توزيع طبيعي

وهذا هو سبب ظهور التوزيع الطبيعي

بشكل كبير في ميدان الإحصاء

وكونه يُعتبر مقاربة جيدة لمجموع متوسطات

عمليات عديدة

التوزيع الطبيعي

وفي الحصص القادمة سترى كيف أنه

كلما ازداد حجم العينة

كلما ازداد n

وكلما أخذت أكبر عدد من متوسطات العينة

ستحصل على تمثيل تكراري يشبه لحد كبير

التوزيع الطبيعي