Differentiating power series | Series | AP Calculus BC | Khan Academy
-
0:00 - 0:02Đề bảo rằng,
-
0:02 - 0:04f(x) bằng với một chuỗi vô hạn,
-
0:04 - 0:05và ta cần tìm,
-
0:05 - 0:10đạo hàm bậc ba của f, tính tại x bằng 0.
-
0:10 - 0:12Như mọi khi, bạn hãy dừng video lại,
-
0:12 - 0:15và thử tự làm trước khi chúng ta cùng nhau giải.
-
0:15 - 0:17Có 2 cách để ta tiếp cận.
-
0:17 - 0:20Một là ta tính đạo hàm của biểu thức,
-
0:20 - 0:23khi nó vẫn nằm trong dấu sigma.
-
0:23 - 0:24Còn cách khác là ta
-
0:24 - 0:27khai triển f(x) ra và tính đạo hàm 3 lần,
-
0:27 - 0:30để xem thử là ta có thể có câu trả lời hợp lí không.
-
0:30 - 0:31Mình làm cách 2 trước.
-
0:31 - 0:33Giờ mình khai triển nó ra.
-
0:33 - 0:35f(x) bằng với, xem nào, khi n bằng 0,
-
0:35 - 0:38đây là -1 mũ 0, chính là 1,
-
0:38 - 0:42nhân x mũ 0 cộng với 3.
-
0:43 - 0:46là bằng x mũ 3,
-
0:46 - 0:50trên 2 nhân 0, bằng 0, cộng 1 giai thừa,
-
0:50 - 0:52là bằng 1.
-
0:52 - 0:55Số hạng kế tiếp, khi n bằng 1,
-
0:55 - 0:57giờ nó sẽ là -1 mũ 1,
-
0:57 - 1:00vậy giờ ta có dấu trừ ở đằng trước.
-
1:00 - 1:03Tiếp theo là 2 nhân 1 cộng 3,
-
1:03 - 1:07ở đây ta có x mũ 5,
-
1:08 - 1:12chia cho 2 nhân 1 cộng 1, vậy nó là
-
1:13 - 1:162 cộng 1 là 3 giai thừa.
-
1:16 - 1:18Vậy là x mũ 5 chia cho 6.
-
1:18 - 1:21Và khi n bằng 2,
-
1:21 - 1:23đây sẽ lại là số dương,
-
1:23 - 1:27và ta có x mũ 7,
-
1:28 - 1:30chia cho 5 giai thừa.
-
1:32 - 1:33Đúng không nhỉ? Đúng.
-
1:33 - 1:355 giai thừa, và 5 giai thừa...
-
1:35 - 1:37Để mình viết nó hẳn ra.
-
1:37 - 1:415 giai thừa sẽ bằng, bằng 120.
-
1:41 - 1:44Nó sẽ là 5 nhân 4 nhân 6, là bằng 120.
-
1:44 - 1:45Ta cứ xen kẽ tiếp trừ và cộng,
-
1:45 - 1:48và nó cứ tiếp tục như thế mãi.
-
1:48 - 1:50Được rồi, giờ ta tính đạo hàm.
-
1:50 - 1:53f phẩy x bằng với,
-
1:53 - 1:55ta áp dụng tiếp qui tắc lũy thừa,
-
1:55 - 1:57bằng 3x bình,
-
1:57 - 2:01trừ 5/6x mũ 4, cộng 7,
-
2:04 - 2:08chia cho 5 giai thừa x mũ 6.
-
2:08 - 2:09Mình áp dụng qui tắc lũy thừa,
-
2:09 - 2:13trừ cộng, ta cứ làm tiếp như thế mãi.
-
2:13 - 2:17Đạo hàm bặc 2, f phẩy phẩy x,
-
2:17 - 2:20sẽ bằng, dùng qui tắc lũy thừa tiếp.
-
2:20 - 2:24Nó sẽ bằng 6x mũ 1 trừ 4 nhân 5
-
2:24 - 2:29chia 6, mình sẽ viết là 20 chia 6 x mũ 3,
-
2:30 - 2:34cộng 6 nhân 7, là bằng 42 chia 5 giai thừa,
-
2:36 - 2:39x mũ 5, và ta cứ tiếp tục như thế.
-
2:39 - 2:42trừ cộng, cứ như thế, xen kẽ giữa trừ số nào đó,
-
2:42 - 2:45rồi cộng số nào đó, và cứ như thế mãi.
-
2:45 - 2:46Giờ ta tính đạo hàm bậc 3.
-
2:46 - 2:49Đạo hàm bậc 3 bằng,
-
2:49 - 2:51xem nào, đạo hàm của 6x là 6,
-
2:51 - 2:56còn trừ 20 nhân 3 là 60 chia 6,
-
2:56 - 2:59là bằng 10, x bình,
-
2:59 - 3:03cộng 5 nhân 42 là bằng, 210 chia cho 5 giai thừa
-
3:04 - 3:07nhân x mũ 4, trừ rồi cộng,
-
3:07 - 3:09cứ đi tiếp như thế mãi,
-
3:09 - 3:11ta đã tính xong tại x bằng 0.
-
3:11 - 3:15f phẩy phẩy phẩy không, khi x bằng 0,
-
3:15 - 3:18tất cả số hạng chứa x sẽ tiến tới 0,
-
3:18 - 3:21và bạn sẽ còn lại 6 ở đây.
-
3:21 - 3:23Vậy f phẩy phẩy phẩy, đạo hàm bậc 3,
-
3:23 - 3:25tính tại 0 sẽ là 6.
-
3:25 - 3:28Giờ một cách khác để ta giải,
-
3:28 - 3:30là cứ giữ nguyên dấu sigma.
-
3:30 - 3:34Ta có thể nói f phẩy x bằng với,
-
3:34 - 3:39tổng vô hạn, để mình viết lại cho ngang hàng.
-
3:40 - 3:43Ngang với hàng f phẩy x mình khai triển lúc nãy,
-
3:43 - 3:47ta có thể nói f phẩy x bằng với tổng
-
3:48 - 3:51từ n bằng 0 cho tới vô cực,
-
3:53 - 3:54và bạn lấy đạo hàm ở đây,
-
3:54 - 3:56bạn sẽ nhận được, tính đạo hàm này nhé,
-
3:56 - 3:58với biến x, nghĩa là bạn cho rằng,
-
3:58 - 4:00tất cả những thứ khác,
-
4:00 - 4:03n sẽ chỉ là,
-
4:03 - 4:05chỉ là cho ta biết sự thay đổi của số hạng,
-
4:05 - 4:09nên nếu ta lấy đạo hàm với biến x ở đây,
-
4:09 - 4:11dùng qui tắc lũy thừa, đem 2n cộng 3 ra ngoài,
-
4:11 - 4:14ta sẽ có -1 mũ n,
-
4:14 - 4:18nhân 2n cộng 3, nhân x,
-
4:18 - 4:21mũ 2n cộng 2,
-
4:22 - 4:24chia cho n cộng 1 giai thừa.
-
4:26 - 4:28Và nếu bạn muốn tính đạo hàm bậc 2,
-
4:28 - 4:30bạn cứ làm như phía trên ta vừa làm.
-
4:30 - 4:33Tính đạo hàm bậc 2, f phẩy phẩy x,
-
4:33 - 4:36bây giờ ta đang tính tổng từ 0,
-
4:36 - 4:40tới vô cực, của -1 mũ n.
-
4:40 - 4:42Để mình dời qua phải một tí.
-
4:42 - 4:44Cho có chút chỗ trống.
-
4:44 - 4:47Giờ, ta lấy mũ này ra ngoài,
-
4:47 - 4:50vậy ta có 2n cộng 3,
-
4:50 - 4:54nhân 2n cộng 2, tất cả đem chia cho,
-
4:54 - 4:592n cộng 1 giai thừa, rồi nhân với,
-
5:00 - 5:03x mũ 2n cộng 1.
-
5:05 - 5:08Nhìn có vẻ rất phức tạp,
-
5:08 - 5:10nhưng mình chỉ đang lấy mũ ra ngoài,
-
5:10 - 5:12nhân nó bên ngoài, và rồi giảm nó đi.
-
5:12 - 5:15Vậy 2n cộng 2 trừ 1 là 2n cộng 1.
-
5:15 - 5:18Tiếp theo mình tính đạo hàm bậc 3.
-
5:18 - 5:22Đạo hàm bậc 3 bằng với tổng khi n bằng 0,
-
5:22 - 5:25tới vô cực, của -1 mũ n.
-
5:25 - 5:28Ta lấy cái này, nhân nó với,
-
5:28 - 5:312n cộng 3,
-
5:31 - 5:35nhân 2n cộng 2, nhân 2n cộng 1,
-
5:36 - 5:40tất cả chia cho 2n cộng 1 giai thừa,
-
5:43 - 5:46rồi nhân nó với,
-
5:50 - 5:52x mũ 2n.
-
5:54 - 5:59Giờ ta hãy tính biểu thức này khi x bằng 0.
-
5:59 - 6:03f phẩy phẩy phẩy 0 là tổng từ n bằng 0,
-
6:06 - 6:10tới vô cực của -1 mũ n.
-
6:10 - 6:12Thú vị đây.
-
6:12 - 6:13Đoạn sau khá phức tạp,
-
6:13 - 6:162n cộng 3 nhân 2n cộng 2,
-
6:17 - 6:20nhân 2n cộng 1, tât cả
-
6:20 - 6:23chia cho 2n cộng 1 giai thừa,
-
6:25 - 6:27nhân 0 mũ 2n.
-
6:30 - 6:31Bạn có thể thấy,
-
6:31 - 6:34nếu 0 mũ gì đó,
-
6:34 - 6:36thì tất cả sẽ bằng 0.
-
6:36 - 6:38Nhưng hãy nhớ, bắt đầu từ n bằng 0,
-
6:38 - 6:41nên với n khác 0,
-
6:41 - 6:43thì 0 mũ số đó sẽ bằng 0,
-
6:43 - 6:45và số hạng đó sẽ là 0.
-
6:45 - 6:47Giống như những gì ta thấy khi khai triển nó ra.
-
6:47 - 6:48Vậy số hạng duy nhất ta quan tâm,
-
6:48 - 6:51trong bài này là khi n bằng 0.
-
6:51 - 6:54Lúc đó biểu thức sẽ bằng,
-
6:54 - 6:56vì khi n bằng 1, 2, 3, 4, 5,
-
6:56 - 6:59cho tới vô cực, thì ta chỉ cần quan tâm cái này,
-
6:59 - 7:00Biểu thức sẽ bằng 0.
-
7:00 - 7:02Tất cả sẽ bằng 0.
-
7:02 - 7:04Vậy ta chỉ còn số hạng đầu tiên,
-
7:04 - 7:07khi n bằng 0, khi nó là 0,
-
7:07 - 7:09biểu thức bằng -1 mũ 0,
-
7:09 - 7:12là bằng 1.
-
7:12 - 7:15Mình viết nó thành 1.
-
7:15 - 7:18nhân, 3 nhân 2 nhân 1,
-
7:21 - 7:25chia cho 1 giai thừa, và nhân với 0 mũ 0,
-
7:28 - 7:30chính là 1.
-
7:30 - 7:33Cái này bằng 1, còn ở đây bằng 6.
-
7:33 - 7:35Kết luận, mình nghĩ cách đầu tiên mà ta làm,
-
7:35 - 7:38thì khá là rõ ràng,
-
7:38 - 7:41nó dựa vào cảm tính một chút, gần gũi với những gì,
-
7:41 - 7:43mà bạn đã học,
-
7:43 - 7:45nhưng hãy nhớ rằng ở cả 2 cách phương pháp làm giống nhau.
-
7:45 - 7:47Cách bên phải thì ta giữ dấu sigma,
-
7:47 - 7:48rồi tính đạo hàm.
-
7:48 - 7:51Phương pháp này hiệu quả vì bạn sẽ gặp nó khá nhiều trong toán,
-
7:51 - 7:53khi bạn cần phải giải một cách tổng quát,
-
7:53 - 7:56nên luyện tập như thế này,
-
7:56 - 7:58luyện tính đạo hàm khi còn dấu sigma
-
7:58 - 8:00sẽ giúp ích cho bạn.
- Title:
- Differentiating power series | Series | AP Calculus BC | Khan Academy
- Description:
-
Trong phạm vi khoảng hội tụ, đạo hàm của chuỗi lũy thừa là tổng của đạo hàm của các số hạng riêng lẻ: [_f(x)]'=_f'(x). Hãy xem cách áp dụng tính chất này để tính đạo hàm của một chuỗi lũy thừa.
Tự luyện tập bài học này trên KhanAcademy.org ngay bây giờ:
https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-series/bc-power-series-intro/e/integration-and-differentiation-of-power-series?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=APCalculusBCXem bài học tiếp theo: https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-series/bc-power-series-intro/v/interval-of-convergence-for-derivative-and-integral?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=APCalculusBC
Bỏ lỡ bài học trước? https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-series/bc-power-series-intro/v/integrating-power-series?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=APCalculusBC
AP Giải tích BC trên Khan Academy: Học AP Giải tích BC - mọi thứ từ AP Giải tích AB và thêm vài thứ hay ho nữa, ví dụ như dãy Taylor, để bạn sẵn sàng cho kì thi AP.
Về Khan Academy: Khan Academy là một tổ chức phi lợi nhuận có nhiệm vụ cung cấp giáo dục miễn phí, đẳng cấp thế giới cho bất kỳ ai, bất cứ nơi nào. Chúng tôi tin rằng mọi người bất kể lứa tuổi nên có quyền truy cập không giới hạn vào nội dung giáo dục miễn phí và học theo tốc độ riêng của mình. Sử dụng phần mềm thông minh, phân tích dữ liệu sâu và giao diện người dùng trực quan, Khan Academy tự hào mang đến cho người dùng những bài luyện tập, các video hướng dẫn, và một bảng quá trình học tập cho hơn 50 môn học, có gồm Toán học, Khoa học, Lập trình máy tính, Lịch sử, Lịch sử nghệ thuật, Kinh tế và hơn thế nữa. Chúng tôi đang cùng đồng hành với các viện nghiên cứu như NASA, Bảo tàng Nghệ thuật Hiện đại (The Museum of Modern Art), Viện Khoa Học California (The California Academy of Sciences), và những học viện uy tín như MIT để mang đến các nội dung mang tính chuyên ngành. Hiện giờ, Khan Academy đã được dịch sang hàng chục ngôn ngữ, và đã có hơn 100 triệu người trên toàn thế giới sử dụng nền tảng của chúng tôi mỗi năm. Để biết thêm thông tin, hãy truy cập www.khanacademy.org, tham gia Facebook của chúng tôi hoặc theo dõi chúng tôi trên twitter tại @khanacademy.
Miễn phí. Cho tất cả mọi người. Mãi mãi. #YouCanLearnAnything
Theo dõi kênh Khan Academy về AP Giải tích BC:
https://www.youtube.com/channel/UC5A2DBjjUVNz8axD-90jdfQ?sub_confirmation=1
Theo dõi kênh Khan Academy: https://www.youtube.com/subscription_center?add_user=khanacademy - Video Language:
- English
- Team:
Khan Academy
- Duration:
- 08:02
![]() |
dungnguyen412 edited Vietnamese subtitles for Differentiating power series | Series | AP Calculus BC | Khan Academy | |
![]() |
dungnguyen412 edited Vietnamese subtitles for Differentiating power series | Series | AP Calculus BC | Khan Academy | |
![]() |
dungnguyen412 edited Vietnamese subtitles for Differentiating power series | Series | AP Calculus BC | Khan Academy | |
![]() |
dungnguyen412 edited Vietnamese subtitles for Differentiating power series | Series | AP Calculus BC | Khan Academy |