Differentiating power series | Series | AP Calculus BC | Khan Academy

Đề bảo rằng,

f(x) bằng với một chuỗi vô hạn,

và ta cần tìm,

đạo hàm bậc ba của f, tính tại x bằng 0.

Như mọi khi, bạn hãy dừng video lại,

và thử tự làm trước khi chúng ta cùng nhau giải.

Có 2 cách để ta tiếp cận.

Một là ta tính đạo hàm của biểu thức,

khi nó vẫn nằm trong dấu sigma.

Còn cách khác là ta

khai triển f(x) ra và tính đạo hàm 3 lần,

để xem thử là ta có thể có câu trả lời hợp lí không.

Mình làm cách 2 trước.

Giờ mình khai triển nó ra.

f(x) bằng với, xem nào, khi n bằng 0,

đây là -1 mũ 0, chính là 1,

nhân x mũ 0 cộng với 3.

là bằng x mũ 3,

trên 2 nhân 0, bằng 0, cộng 1 giai thừa,

là bằng 1.

Số hạng kế tiếp, khi n bằng 1,

giờ nó sẽ là -1 mũ 1,

vậy giờ ta có dấu trừ ở đằng trước.

Tiếp theo là 2 nhân 1 cộng 3,

ở đây ta có x mũ 5,

chia cho 2 nhân 1 cộng 1, vậy nó là

2 cộng 1 là 3 giai thừa.

Vậy là x mũ 5 chia cho 6.

Và khi n bằng 2,

đây sẽ lại là số dương,

và ta có x mũ 7,

chia cho 5 giai thừa.

Đúng không nhỉ? Đúng.

5 giai thừa, và 5 giai thừa...

Để mình viết nó hẳn ra.

5 giai thừa sẽ bằng, bằng 120.

Nó sẽ là 5 nhân 4 nhân 6, là bằng 120.

Ta cứ xen kẽ tiếp trừ và cộng,

và nó cứ tiếp tục như thế mãi.

Được rồi, giờ ta tính đạo hàm.

f phẩy x bằng với,

ta áp dụng tiếp qui tắc lũy thừa,

bằng 3x bình,

trừ 5/6x mũ 4, cộng 7,

chia cho 5 giai thừa x mũ 6.

Mình áp dụng qui tắc lũy thừa,

trừ cộng, ta cứ làm tiếp như thế mãi.

Đạo hàm bặc 2, f phẩy phẩy x,

sẽ bằng, dùng qui tắc lũy thừa tiếp.

Nó sẽ bằng 6x mũ 1 trừ 4 nhân 5

chia 6, mình sẽ viết là 20 chia 6 x mũ 3,

cộng 6 nhân 7, là bằng 42 chia 5 giai thừa,

x mũ 5, và ta cứ tiếp tục như thế.

trừ cộng, cứ như thế, xen kẽ giữa trừ số nào đó,

rồi cộng số nào đó, và cứ như thế mãi.

Giờ ta tính đạo hàm bậc 3.

Đạo hàm bậc 3 bằng,

xem nào, đạo hàm của 6x là 6,

còn trừ 20 nhân 3 là 60 chia 6,

là bằng 10, x bình,

cộng 5 nhân 42 là bằng, 210 chia cho 5 giai thừa

nhân x mũ 4, trừ rồi cộng,

cứ đi tiếp như thế mãi,

ta đã tính xong tại x bằng 0.

f phẩy phẩy phẩy không, khi x bằng 0,

tất cả số hạng chứa x sẽ tiến tới 0,

và bạn sẽ còn lại 6 ở đây.

Vậy f phẩy phẩy phẩy, đạo hàm bậc 3,

tính tại 0 sẽ là 6.

Giờ một cách khác để ta giải,

là cứ giữ nguyên dấu sigma.

Ta có thể nói f phẩy x bằng với,

tổng vô hạn, để mình viết lại cho ngang hàng.

Ngang với hàng f phẩy x mình khai triển lúc nãy,

ta có thể nói f phẩy x bằng với tổng

từ n bằng 0 cho tới vô cực,

và bạn lấy đạo hàm ở đây,

bạn sẽ nhận được, tính đạo hàm này nhé,

với biến x, nghĩa là bạn cho rằng,

tất cả những thứ khác,

n sẽ chỉ là,

chỉ là cho ta biết sự thay đổi của số hạng,

nên nếu ta lấy đạo hàm với biến x ở đây,

dùng qui tắc lũy thừa, đem 2n cộng 3 ra ngoài,

ta sẽ có -1 mũ n,

nhân 2n cộng 3, nhân x,

mũ 2n cộng 2,

chia cho n cộng 1 giai thừa.

Và nếu bạn muốn tính đạo hàm bậc 2,

bạn cứ làm như phía trên ta vừa làm.

Tính đạo hàm bậc 2, f phẩy phẩy x,

bây giờ ta đang tính tổng từ 0,

tới vô cực, của -1 mũ n.

Để mình dời qua phải một tí.

Cho có chút chỗ trống.

Giờ, ta lấy mũ này ra ngoài,

vậy ta có 2n cộng 3,

nhân 2n cộng 2, tất cả đem chia cho,

2n cộng 1 giai thừa, rồi nhân với,

x mũ 2n cộng 1.

Nhìn có vẻ rất phức tạp,

nhưng mình chỉ đang lấy mũ ra ngoài,

nhân nó bên ngoài, và rồi giảm nó đi.

Vậy 2n cộng 2 trừ 1 là 2n cộng 1.

Tiếp theo mình tính đạo hàm bậc 3.

Đạo hàm bậc 3 bằng với tổng khi n bằng 0,

tới vô cực, của -1 mũ n.

Ta lấy cái này, nhân nó với,

2n cộng 3,

nhân 2n cộng 2, nhân 2n cộng 1,

tất cả chia cho 2n cộng 1 giai thừa,

rồi nhân nó với,

x mũ 2n.

Giờ ta hãy tính biểu thức này khi x bằng 0.

f phẩy phẩy phẩy 0 là tổng từ n bằng 0,

tới vô cực của -1 mũ n.

Thú vị đây.

Đoạn sau khá phức tạp,

2n cộng 3 nhân 2n cộng 2,

nhân 2n cộng 1, tât cả

chia cho 2n cộng 1 giai thừa,

nhân 0 mũ 2n.

Bạn có thể thấy,

nếu 0 mũ gì đó,

thì tất cả sẽ bằng 0.

Nhưng hãy nhớ, bắt đầu từ n bằng 0,

nên với n khác 0,

thì 0 mũ số đó sẽ bằng 0,

và số hạng đó sẽ là 0.

Giống như những gì ta thấy khi khai triển nó ra.

Vậy số hạng duy nhất ta quan tâm,

trong bài này là khi n bằng 0.

Lúc đó biểu thức sẽ bằng,

vì khi n bằng 1, 2, 3, 4, 5,

cho tới vô cực, thì ta chỉ cần quan tâm cái này,

Biểu thức sẽ bằng 0.

Tất cả sẽ bằng 0.

Vậy ta chỉ còn số hạng đầu tiên,

khi n bằng 0, khi nó là 0,

biểu thức bằng -1 mũ 0,

là bằng 1.

Mình viết nó thành 1.

nhân, 3 nhân 2 nhân 1,

chia cho 1 giai thừa, và nhân với 0 mũ 0,

chính là 1.

Cái này bằng 1, còn ở đây bằng 6.

Kết luận, mình nghĩ cách đầu tiên mà ta làm,

thì khá là rõ ràng,

nó dựa vào cảm tính một chút, gần gũi với những gì,

mà bạn đã học,

nhưng hãy nhớ rằng ở cả 2 cách phương pháp làm giống nhau.

Cách bên phải thì ta giữ dấu sigma,

rồi tính đạo hàm.

Phương pháp này hiệu quả vì bạn sẽ gặp nó khá nhiều trong toán,

khi bạn cần phải giải một cách tổng quát,

nên luyện tập như thế này,

luyện tính đạo hàm khi còn dấu sigma

sẽ giúp ích cho bạn.