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Dejenme dibujar una funcion que seria interesante
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de obtener unlimite.
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Y sólo voy a dibujar visualmente, por ahora, y vamos a hacer algunos
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ejemplos especificos dentro de un rato.
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Este es my eje Y y este otro my eje x
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y digamos que la funcion se ve algo como
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Voy a hacer una función bastante sencilla
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digamos que es una linea, la mayor parte
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digamos que parece una linea, excepto que tiene un
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agujero en algun punto.
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"x" es igual a "a", asi que esta indefinido allí.
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Dejenme oscurecer ese punto, asi podran ver
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que no esta definido allí.
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Y que el punto allí es "x" igual a "a".
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Este es el eje-x, este es el y igual a f del eje-x
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solo digamos que es el eje-y.
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Y digamos que esta es f de x, o esta es
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y es igual a f de x.
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Ahora, hemos hecho bastantes videos de limites.
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creo que pueden saber lo que voy a hacer.
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Si tuviera que decir cuál es el límite cuando "x" se aproxima a "a"
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y digamos que este punto aqui es L.
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Sabemos de videos anteriores que-- antes que nada
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lo puedo escribir --el limite cuando x se aproxima
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a "a" de f de x.
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Lo que esto significa intuitivamente es que a medida que nos aproximamos, de cualquier
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lado, a medida que nos aproximamos de ese lado, a que
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se aproxima f de x?
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Entonces cuando x esta aqui, f de x esta aqui
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cuando x esta aqui, f de x esta allí.
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Y vemos que se aproxima esta L de aqui.
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Y nos aproximamos de ese lado-- y hemos hecho
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limites donde se aproxima solo del lado izquierdo o derecho,
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pero realmente para tener un límite tiene que acercarse a la misma cosa
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desde la direccion positiva y la direccion negativa, pero mientras
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partas de alli, si escoges esta x, entonces esto es f de x.
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f de x esta allí.
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Si x llega aqui, entonces va aqui, y mientras mas nos acercamos
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a "a", f de x se aproxima a este punto L, o este valor.
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Entonces decimos que el limite de f de x cuando x se aproxima a "a"
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es igual a L
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Creo que tenemos esa intuición.
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Pero esto no era muy, en realidad no es para nada rigurosa
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en terminos de ser especifico, en terminos de lo que nos referimos
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como un limite.
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Todo lo que he dicho hasta ahora es que mientras nos acercamos, a que
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se aproxima f de x?
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Asi que en este video intentare explicar la definicion
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de un limite que tiene un poco mas, or en realidad mucho
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mas, rigor matematico mas que decir mientras x se aproxima
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a este valor, a que se aproxima f de x?
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Y la manera en que lo pienso, es a manera de un pequeño juego
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La definicion es, esta declaracion aqui significa que
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siempre puedo darles un rango acerca de este punto, y cuando
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hablo acerca de un rango, no estoy hablando acerca de todo
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el dominio, estoy hablando de un rango que sabes
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te puedo dar una distancia desde "a", siempre y cuando
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no este mas alla de eso, te puedo garantizar que f de x no
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estara mas alla que a cierta distancia de L
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y la manera que pienso en ello es, puede ser visto
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como un pequeño juego.
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digamos que dices, OK Sal, no te creo.
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Quiero ver, si f de x puede estar dentro de 0.5 de L.
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Asi que digamos, me das 0.5 y dices Sal, con esta
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definición, deberias ser capaz de darme un rango
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alrededor de "a" que me dará f de x dentro de 0.5 de L, correcto?
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asi que los valores de f de x siempre estaran correctos en
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este rango, justo allí.
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Y mientras este en ese rango alrededor de "a", mientras esté
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alrededor del rango que me diste, f de x siempre sera, por lo menos
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tan cerca de nuestro punto limite.
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Lo dibujare un poco mas grande, solo porque pienso
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que estoy reescribiendo el mismo esquema una y otra vez.
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Asi que digamos que esta es f de x, este es el punto agujero.
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No tiene que haber todo un agujero allí, el limite podria igualar
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realmente un valor de la función, pero el limite es mas
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interesante cuando la función no esta definida allí
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pero el limite si.
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Asi que este punto justo aqui-- ese es, dibujare los ejes nuevamente.
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este es el eje-x, eje-y.. x.. y.. este es el punto limite
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L, este es el punto "a".
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La definición del limite, volveré a esto en
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un segundo porque ahora que esta agrandado quiero explicarlo otra vez.
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dice: esto significa.. y esto es la definición epsilon delta
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de limites, y veremos epsilon y delta en un momento
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es que te puedo garantizar que f de x, si me das cualquier
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distancia que quieras desde L.
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Y vamos a llamar a eso epsilon.
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Y vamos a golpear justo en la definición derecha
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desde el ir.
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Así que digo que no quiero estar mas lejos de epsilon a L.
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Y Épsilon sólo puede ser cualquier número mayor, cualquier real
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número mayor que 0.
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Por lo que sería esta distancia correcta aquí es epsilon.
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Esta distancia es epsilon.
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Y para cualquier Épsilon darme, cualquier número real--así este
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Esto sería l plus Épsilon aquí, esto es
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ser l menos Épsilon derecho aquí--la definición de delta epsilon
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Este dice que no importa qué Épsilon uno me da, me
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siempre se puede especificar una distancia alrededor de un.
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Y te pido delta.
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Siempre puedo especificar una distancia alrededor de un.
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Así que vamos a decir esto es delta inferior a una y esto
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es delta más de una.
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Este es el delta de la Carta.
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Donde siempre que elija una x que está dentro de un delta plus y
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un signo delta, como la x es de aquí, puedo garantizar
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que va la f de x, la f correspondiente de x
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para estar dentro de su rango.
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¿Si pensáis esto tiene sentido y razón?
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Está diciendo esencialmente, puedo conseguirlo más cerca que desee
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Este límite punto sólo por--y cuando digo como cerrar como
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desea, que defina lo que desea por darme un Épsilon; en
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es un poco más de un juego--y lo puedo conseguir usted tan cerca como
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desea ese punto límite al darle un rango alrededor de la
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el punto que se aproxima x.
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Y como puede elegir un valor de x que es dentro de este rango
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alrededor, mucho como elegir un valor x alrededor de allí, pueden
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garantizar que f x será dentro del rango
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Especifique.
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Hacer esto un poco más concretos, vamos a decir que
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quiero decir, que f x dentro de 0,5--vamos a sólo saben, hacer
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todo números de hormigón.
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Digamos que este es el número 2 y vamos a decir esto es el número 1.
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Por lo que estamos diciendo que el límite de x enfoques 1 f de x--
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no ha definido f de x, pero se ve como una línea con el agujero
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derecho, es igual a 2.
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Esto significa que usted me puede dar cualquier número.
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Supongamos que desea probarlo durante un par de ejemplos.
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Digamos que decir quiero f de x dentro de punto--permítanme hacer
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un color diferente--quiero f de x dentro de 0,5 de 2.
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Quiero f de x entre 2.5 y 1.5.
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Entonces podría decir, OK, como usted elija una x dentro--
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no sé, podría ser arbitrariamente estrecha pero siempre
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puede elegir una x que ha--vamos a decir que trabaja para esta función
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eso es entre, no sé, 0.9 y 1.1.
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Así que en este caso el delta desde nuestro punto de límite es sólo 0.1.
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Como puede elegir una x que está dentro de 0.1 de este punto, o 1,
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Puedo garantizarle que su f de x va a
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se encuentran en ese rango.
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Así que esperemos que obtendrá un poco más de un sentido de.
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Permítanme definir con el delta epsilon reales y esto
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es lo que realmente verá en tu libro de mate y entonces
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haremos un par de ejemplos.
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Y para ser claros, fue sólo un ejemplo concreto.
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Me diste una Épsilon y le dí un delta que trabajó.
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Pero por definición si esto es cierto, o si alguien escribe
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Esto, dicen que simplemente no funciona para uno específico
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instancia, funciona para cualquier número que me da.
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Se puede decir que quiero ser dentro de un millón de, ustedes saben, o
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diez centésimo poder negativo de 2, sabes, super
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cerca de 2, y siempre te puedo dar un rango alrededor de este
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punto donde como recoger una x en ese intervalo, f de x va
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siempre estar dentro de este rango que especifique, dentro de ese
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fueron ustedes saben, un trillonésimo de una unidad de
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el punto límite.
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Y por supuesto, único lo que no puedo garantizar es que
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ocurre cuando x es igual a una.
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Sólo estoy diciendo siempre que elija una x que está dentro de mi
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gama pero no en una, TI a trabajar.
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Se mostrará su f de x a estar dentro del intervalo especificado.
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Y sólo para aclarar las matemáticas--porque he sido
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hablando sólo en palabras hasta ahora--y esto es lo que vemos el
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libro: dice mira, darme cualquier Épsilon
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mayor que 0.
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¿De todos modos, esta es una definición correcta?
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Si alguien escribe esto significan que usted les puede dar ninguna
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Épsilon mayor que 0, y, a continuación, voy a dar un delta--
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Recuerde que su Épsilon es lo cerca que desee f de x que
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¿a su punto límite, correcto?
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Es un rango alrededor de f de x--voy a dar un delta
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¿que es un rango de alrededor, derecho?
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Me permito escribir esto.
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Limitar así como enfoques una f de x es igual a l.
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Así que voy a dar un delta donde siempre que x no es más
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que delta--así que la distancia entre x y, por lo que si nos elija
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una x aquí--permítanme hacer otro color--si recoger una x aquí,
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la distancia entre ese valor y, tanto como uno, que
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mayor que 0 para que x no se muestra en la parte superior de una,
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porque su función podría ser definida en ese momento.
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Pero tanto tiempo como la distancia entre x y una mayor
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a 0 y menos de este intervalo de x que le dieron,
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es menor que delta.
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Así como tener un x, saber si ampliar la
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eje derecho aquí--es una y así esta distancia derecho aquí
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sería delta y esta distancia correcta sería aquí
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Delta--siempre y cuando se selecciona un valor de x que cae aquí--así como
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durante mucho tiempo como recoger ese valor x o este valor x o esta x
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--como usted elija uno de los x valores, garantizo
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se que la distancia entre su función y el límite
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punto, por lo que la distancia entre ustedes saben, cuando tome uno de
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Estos valores y evaluación f de x en ese momento, que la
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es la distancia entre f de x y el punto límite
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va a ser menor que el número que les dio.
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Y si pensamos, parece muy complicado, y tengo
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sentimientos encontrados acerca de donde esto se incluye en la mayoría
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currículos de cálculo.
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Ha incluido en como, ustedes saben, la tercera semana antes
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incluso aprender derivados y su tipo de este muy mathy
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y lo riguroso que pensar y sabes, tiende
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hacer descarrilar un montón de estudiantes y un montón de gente que no creo
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obtener un lote de la intuición detrás de él, pero es
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matemáticamente rigurosa.
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Y creo que es muy valioso, una vez que estudia saber más
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avanzada de cálculo o convertirse en un importante de matemáticas.
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Pero dicho esto, esto hace mucho sentido
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¿Intuitivamente, correcto?
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Porque antes de que estábamos hablando, mira sabes, puedo
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lo más cerca cuando x aproxima este valor f de x va
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a este valor.
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Y la forma matemáticamente definimos lo es, que decir Sal,
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Quiero ser súper estrecha.
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Quiero la distancia f de x [UNINTELLIGIBLE].
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Y quiero que sea 0.000000001 y, a continuación, siempre que pueda
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darle una distancia alrededor de x donde será cierto.
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Y yo soy todo de tiempo en este video.
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En el siguiente video a hacer algunos ejemplos donde lo pruebo la
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límites, donde lo pruebo algunos limitan declaraciones utilizando
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Esta definición.
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Y esperemos que sabes, cuando usamos algunos números tangibles, esto
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definición hará un poco más de sentido.
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Nos vemos en el siguiente video.
