Dejenme dibujar una funcion que seria interesante
de obtener unlimite.
Y sólo voy a dibujar visualmente, por ahora, y vamos a hacer algunos
ejemplos especificos dentro de un rato.
Este es my eje Y y este otro my eje x
y digamos que la funcion se ve algo como
Voy a hacer una función bastante sencilla
digamos que es una linea, la mayor parte
digamos que parece una linea, excepto que tiene un
agujero en algun punto.
"x" es igual a "a", asi que esta indefinido allí.
Dejenme oscurecer ese punto, asi podran ver
que no esta definido allí.
Y que el punto allí es "x" igual a "a".
Este es el eje-x, este es el y igual a f del eje-x
solo digamos que es el eje-y.
Y digamos que esta es f de x, o esta es
y es igual a f de x.
Ahora, hemos hecho bastantes videos de limites.
creo que pueden saber lo que voy a hacer.
Si tuviera que decir cuál es el límite cuando "x" se aproxima a "a"
y digamos que este punto aqui es L.
Sabemos de videos anteriores que-- antes que nada
lo puedo escribir --el limite cuando x se aproxima
a "a" de f de x.
Lo que esto significa intuitivamente es que a medida que nos aproximamos, de cualquier
lado, a medida que nos aproximamos de ese lado, a que
se aproxima f de x?
Entonces cuando x esta aqui, f de x esta aqui
cuando x esta aqui, f de x esta allí.
Y vemos que se aproxima esta L de aqui.
Y nos aproximamos de ese lado-- y hemos hecho
limites donde se aproxima solo del lado izquierdo o derecho,
pero realmente para tener un límite tiene que acercarse a la misma cosa
desde la direccion positiva y la direccion negativa, pero mientras
partas de alli, si escoges esta x, entonces esto es f de x.
f de x esta allí.
Si x llega aqui, entonces va aqui, y mientras mas nos acercamos
a "a", f de x se aproxima a este punto L, o este valor.
Entonces decimos que el limite de f de x cuando x se aproxima a "a"
es igual a L
Creo que tenemos esa intuición.
Pero esto no era muy, en realidad no es para nada rigurosa
en terminos de ser especifico, en terminos de lo que nos referimos
como un limite.
Todo lo que he dicho hasta ahora es que mientras nos acercamos, a que
se aproxima f de x?
Asi que en este video intentare explicar la definicion
de un limite que tiene un poco mas, or en realidad mucho
mas, rigor matematico mas que decir mientras x se aproxima
a este valor, a que se aproxima f de x?
Y la manera en que lo pienso, es a manera de un pequeño juego
La definicion es, esta declaracion aqui significa que
siempre puedo darles un rango acerca de este punto, y cuando
hablo acerca de un rango, no estoy hablando acerca de todo
el dominio, estoy hablando de un rango que sabes
te puedo dar una distancia desde "a", siempre y cuando
no este mas alla de eso, te puedo garantizar que f de x no
estara mas alla que a cierta distancia de L
y la manera que pienso en ello es, puede ser visto
como un pequeño juego.
digamos que dices, OK Sal, no te creo.
Quiero ver, si f de x puede estar dentro de 0.5 de L.
Asi que digamos, me das 0.5 y dices Sal, con esta
definición, deberias ser capaz de darme un rango
alrededor de "a" que me dará f de x dentro de 0.5 de L, correcto?
asi que los valores de f de x siempre estaran correctos en
este rango, justo allí.
Y mientras este en ese rango alrededor de "a", mientras esté
alrededor del rango que me diste, f de x siempre sera, por lo menos
tan cerca de nuestro punto limite.
Lo dibujare un poco mas grande, solo porque pienso
que estoy reescribiendo el mismo esquema una y otra vez.
Asi que digamos que esta es f de x, este es el punto agujero.
No tiene que haber todo un agujero allí, el limite podria igualar
realmente un valor de la función, pero el limite es mas
interesante cuando la función no esta definida allí
pero el limite si.
Asi que este punto justo aqui-- ese es, dibujare los ejes nuevamente.
este es el eje-x, eje-y.. x.. y.. este es el punto limite
L, este es el punto "a".
La definición del limite, volveré a esto en
un segundo porque ahora que esta agrandado quiero explicarlo otra vez.
dice: esto significa.. y esto es la definición epsilon delta
de limites, y veremos epsilon y delta en un momento
es que te puedo garantizar que f de x, si me das cualquier
distancia que quieras desde L.
Y vamos a llamar a eso epsilon.
Y vamos a golpear justo en la definición derecha
desde el ir.
Así que digo que no quiero estar mas lejos de epsilon a L.
Y Épsilon sólo puede ser cualquier número mayor, cualquier real
número mayor que 0.
Por lo que sería esta distancia correcta aquí es epsilon.
Esta distancia es epsilon.
Y para cualquier Épsilon darme, cualquier número real--así este
Esto sería l plus Épsilon aquí, esto es
ser l menos Épsilon derecho aquí--la definición de delta epsilon
Este dice que no importa qué Épsilon uno me da, me
siempre se puede especificar una distancia alrededor de un.
Y te pido delta.
Siempre puedo especificar una distancia alrededor de un.
Así que vamos a decir esto es delta inferior a una y esto
es delta más de una.
Este es el delta de la Carta.
Donde siempre que elija una x que está dentro de un delta plus y
un signo delta, como la x es de aquí, puedo garantizar
que va la f de x, la f correspondiente de x
para estar dentro de su rango.
¿Si pensáis esto tiene sentido y razón?
Está diciendo esencialmente, puedo conseguirlo más cerca que desee
Este límite punto sólo por--y cuando digo como cerrar como
desea, que defina lo que desea por darme un Épsilon; en
es un poco más de un juego--y lo puedo conseguir usted tan cerca como
desea ese punto límite al darle un rango alrededor de la
el punto que se aproxima x.
Y como puede elegir un valor de x que es dentro de este rango
alrededor, mucho como elegir un valor x alrededor de allí, pueden
garantizar que f x será dentro del rango
Especifique.
Hacer esto un poco más concretos, vamos a decir que
quiero decir, que f x dentro de 0,5--vamos a sólo saben, hacer
todo números de hormigón.
Digamos que este es el número 2 y vamos a decir esto es el número 1.
Por lo que estamos diciendo que el límite de x enfoques 1 f de x--
no ha definido f de x, pero se ve como una línea con el agujero
derecho, es igual a 2.
Esto significa que usted me puede dar cualquier número.
Supongamos que desea probarlo durante un par de ejemplos.
Digamos que decir quiero f de x dentro de punto--permítanme hacer
un color diferente--quiero f de x dentro de 0,5 de 2.
Quiero f de x entre 2.5 y 1.5.
Entonces podría decir, OK, como usted elija una x dentro--
no sé, podría ser arbitrariamente estrecha pero siempre
puede elegir una x que ha--vamos a decir que trabaja para esta función
eso es entre, no sé, 0.9 y 1.1.
Así que en este caso el delta desde nuestro punto de límite es sólo 0.1.
Como puede elegir una x que está dentro de 0.1 de este punto, o 1,
Puedo garantizarle que su f de x va a
se encuentran en ese rango.
Así que esperemos que obtendrá un poco más de un sentido de.
Permítanme definir con el delta epsilon reales y esto
es lo que realmente verá en tu libro de mate y entonces
haremos un par de ejemplos.
Y para ser claros, fue sólo un ejemplo concreto.
Me diste una Épsilon y le dí un delta que trabajó.
Pero por definición si esto es cierto, o si alguien escribe
Esto, dicen que simplemente no funciona para uno específico
instancia, funciona para cualquier número que me da.
Se puede decir que quiero ser dentro de un millón de, ustedes saben, o
diez centésimo poder negativo de 2, sabes, super
cerca de 2, y siempre te puedo dar un rango alrededor de este
punto donde como recoger una x en ese intervalo, f de x va
siempre estar dentro de este rango que especifique, dentro de ese
fueron ustedes saben, un trillonésimo de una unidad de
el punto límite.
Y por supuesto, único lo que no puedo garantizar es que
ocurre cuando x es igual a una.
Sólo estoy diciendo siempre que elija una x que está dentro de mi
gama pero no en una, TI a trabajar.
Se mostrará su f de x a estar dentro del intervalo especificado.
Y sólo para aclarar las matemáticas--porque he sido
hablando sólo en palabras hasta ahora--y esto es lo que vemos el
libro: dice mira, darme cualquier Épsilon
mayor que 0.
¿De todos modos, esta es una definición correcta?
Si alguien escribe esto significan que usted les puede dar ninguna
Épsilon mayor que 0, y, a continuación, voy a dar un delta--
Recuerde que su Épsilon es lo cerca que desee f de x que
¿a su punto límite, correcto?
Es un rango alrededor de f de x--voy a dar un delta
¿que es un rango de alrededor, derecho?
Me permito escribir esto.
Limitar así como enfoques una f de x es igual a l.
Así que voy a dar un delta donde siempre que x no es más
que delta--así que la distancia entre x y, por lo que si nos elija
una x aquí--permítanme hacer otro color--si recoger una x aquí,
la distancia entre ese valor y, tanto como uno, que
mayor que 0 para que x no se muestra en la parte superior de una,
porque su función podría ser definida en ese momento.
Pero tanto tiempo como la distancia entre x y una mayor
a 0 y menos de este intervalo de x que le dieron,
es menor que delta.
Así como tener un x, saber si ampliar la
eje derecho aquí--es una y así esta distancia derecho aquí
sería delta y esta distancia correcta sería aquí
Delta--siempre y cuando se selecciona un valor de x que cae aquí--así como
durante mucho tiempo como recoger ese valor x o este valor x o esta x
--como usted elija uno de los x valores, garantizo
se que la distancia entre su función y el límite
punto, por lo que la distancia entre ustedes saben, cuando tome uno de
Estos valores y evaluación f de x en ese momento, que la
es la distancia entre f de x y el punto límite
va a ser menor que el número que les dio.
Y si pensamos, parece muy complicado, y tengo
sentimientos encontrados acerca de donde esto se incluye en la mayoría
currículos de cálculo.
Ha incluido en como, ustedes saben, la tercera semana antes
incluso aprender derivados y su tipo de este muy mathy
y lo riguroso que pensar y sabes, tiende
hacer descarrilar un montón de estudiantes y un montón de gente que no creo
obtener un lote de la intuición detrás de él, pero es
matemáticamente rigurosa.
Y creo que es muy valioso, una vez que estudia saber más
avanzada de cálculo o convertirse en un importante de matemáticas.
Pero dicho esto, esto hace mucho sentido
¿Intuitivamente, correcto?
Porque antes de que estábamos hablando, mira sabes, puedo
lo más cerca cuando x aproxima este valor f de x va
a este valor.
Y la forma matemáticamente definimos lo es, que decir Sal,
Quiero ser súper estrecha.
Quiero la distancia f de x [UNINTELLIGIBLE].
Y quiero que sea 0.000000001 y, a continuación, siempre que pueda
darle una distancia alrededor de x donde será cierto.
Y yo soy todo de tiempo en este video.
En el siguiente video a hacer algunos ejemplos donde lo pruebo la
límites, donde lo pruebo algunos limitan declaraciones utilizando
Esta definición.
Y esperemos que sabes, cuando usamos algunos números tangibles, esto
definición hará un poco más de sentido.
Nos vemos en el siguiente video.