LCM and GCF greatest common factor) word problems

小吴和小刘

在思睿学校不同的班级上物理课。

小刘的老师总是在每次考试时出30道题，

而小吴的老师考试更加频繁，

但每次考试出24道题。

小刘的老师每年还要布置3个专题项目。

尽管这两个班考试的次数不一样，

他们的老师告诉他们，

两个班级--让我们画上重点线，--

两个班每年考试题目的总数量必须相同。

那么，小吴和小刘这两个班

每年考试题目总数的最小值应该是多少？

现在我们来看，这道题是什么意思。

小刘的老师每次

出30道题，所以第一次考试之后，

他就做了30题。

这里是0，

第二次考试之后，他就做过60道题。

第三次考试之后，他就做过90道题。

第四次考试之后，他就做过120道题。

第五次考试之后，如果有的话，

他就做过--如果真是考了这么多次--

他就做过150道题。

我们可以这样一直继续下去，

来寻求所有30的倍数。

这或许是我们考虑问题的一个线索。

我们在寻找这个数的倍数。

我们要寻找最小的倍数。

这是小刘的情况。

现在，我们再来看小吴是什么情况？

小吴的老师，在第一次考试之后，

让他们做了24道题，

然后，第二次考试后，他们就会做48道题，

第三次考试之后，他们就会做72道题。

然后，他们会做96道题，

我只看24的倍数。

在第四次考试后，他们会做96道题。

在第五次考试之后，他们就会做过120道题。

如果有第六次考试，他们就会做过144道题。

这样，我们可以一直继续下去。

但是，我们来看，题目怎么问的，

小吴和小刘在一年里

做过的相同的题目数里面，最小的那个是什么？

好， 最小的数就是这个点。

在这里，我们得到了相同的考试题目数。

尽管每次考试的题目数

是不同的，

你们可以看到，在这里，他们做了相同的题目数。

它是120.

在120 这一点，

他俩都做了120道题。

尽管小刘的老师每次考试出30题，

而小吴的老师每次出24题。

所以，答案就是120.

注意，他们考试的次数不一样，

小刘考了1，2，3，4次，

而小吴考了1，2，3，4，

5次。

但他们做题的总数都是120道题。

现在，我们用数学方式来理解。

或者用我们以前学过的最小公倍数的定义来考虑这个问题。

这个题实际上是要我们求

30和24的最小公倍数。

它们的最小公倍数是120。

除了刚才讲的寻求倍数的方法，

还有另外一种方法

来求最小公倍数。

我们可以对它进行素因数分解。

30等于2乘15，而15等于3乘5.

因此，我们可以说，30等于2乘3乘5。

再看24，我们用不同的颜色，用蓝色吧，

24等于2乘12，

12等于2乘6，

6等于2乘3，

所以24等于2乘2乘2乘3

这是另一种求最小公倍数的方法，

就算我们没有做上面的这个练习题，也可以用这种方法。

这个公倍数必须能被30和24这两个数整除。

要使它被30整除，

它必须有2乘3乘5.

这是它的素因数分解里面的素数。

这个乘积就是30.

它可以被30整除。

然后，要使它被24整除，

它的素因数需要3个2和1个3.

这里，我们已经有1个3了，

并且，我们也已经有1个2了，我们只需要另外2个2。

所以，2乘2。

这样就可以--让我往上移一下--

这样，我们就可以让它被24整除。

这其实就是30和24的

最小公倍数的素因数分解。

如果你去掉这些数的任何一个，

它就不能被这两个数中的一个

整除了。

如果你去掉一个2，它就

不能被24整除了

如果你去掉1个2或者去掉1个3，

如果你去掉1个3或者1个5，

它就不能被30整除了。

如果我们把所有的这些数乘起来，

这就是2乘2乘2等于8，再乘3等于24，再乘5等于120。

现在我们再看一道题。

小马刚买了21个一包的文件夹，

我们把这个数字写下来。

21个文件夹。

她还买了30支一包的铅笔。

她想用这些文件夹和铅笔

分成相同的办公用品组合包

送给她的同班同学。

请问，小马要想把这些办公用品都用上，

她最多可以分成多少包呢？

说到最大，

这是一个线索，

我们或许要求最大公约数。

也是要考虑把这些东西分开，

我们想把这两样东西分到

完全相同的办公用品组合包里。

我们可以用一些不同的方法来做。

我们先来考虑什么是

两个数的最大公约数。

我们也可以叫它最大公因数，

21和30的最大公约数。

最大的能够整除这两个数的数是什么？

我们可以求它们的素因数。

我们可以列出它们所有的共同的因数

然后找到最大的一个。

或者，我们可以进行素因数分解。

让我们采用素因数分解的方法。

21就是3乘7，

3和7都是素数。

30，看看，

我可以把它写在这里，它是2乘15。

我们刚才做过的，

15是3乘5。

那么，在两个素因数分解中，最大的

共同素数是什么？

你们只有这个3。

这个3不能乘以任何其他的数了。

所以，答案应该是3

这实质上是说，

我们可以用3去除这两个数字。

这样就可以得到

最大的相同文具组合包的个数。

我们应该很明确我们做了什么。

我们的答案是3.

但是为了有个直观的理解，

让我们实际画出21个文件夹。

这21个文件夹，1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,

11, 12, 13, 14, 15,
16, 17, 18, 19, 20, 21.

然后30支铅笔，我用绿色画。

1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9, 10.

让我直接拷贝它们，

免得过于繁琐，

拷贝，粘贴，

这是20，再粘贴，就是30.

我们看到，3就是可以

平均分配这两种文具的最大的数。

现在我可以把这两种文具都分成3组。

对于文件夹，我们可以把它分成每组7个的3个组，

然后，对于铅笔，

我们可以把它分成每组10支的三个组。

如果有3个人

进入这个教室，

可以给他们每人7个文件夹和10支铅笔。

但是这是小马可以做到的

具有相同文具数量的组合包的最大数量。

我们可以分成3个文具组合包。

每个组合包有7个文件夹和10支铅笔。

问题的实质就是，

我们要找到一个最大的数，它能够平均分配两种文具的数量。

或者说，能够平均分配这两种文具的

最大的数是什么。