Toán thực tế liên quan đến ước chung lớn nhất (UCLN) và bội chung nhỏ nhất (BCNN)

Quang và Long đang ở hai lớp lý khác nhau

tại một trường trung học cơ sở.

Giáo viên của bạn Long thì luôn cho đề kiểm tra với 30 câu hỏi,

trong khi đó giáo viên của Quang thì cho kiểm tra thường xuyên hơn,

mà mỗi lần kiểm tra thì chỉ có 24 câu.

Bên cạnh đó thì giáo viên của Long còn giao cho lớp 3 dự án mỗi năm học.

Mặc dù cả hai lớp có số lượng bài kiểm tra khác nhua,

nhưng giáo viên của họ thì luôn nói với lớp

rằng cả hai lớp (mình sẽ gạch chân dưới đây)

sẽ có cùng số câu hỏi trong tổng tất cả các bài kiểm tra mỗi năm học.

Vậy đâu sẽ là tổng số câu hỏi ít nhất trong các bài kiểm tra

mà mỗi lớp sẽ phải làm trong một học?

Bây giờ mình thử suy nghĩ thêm nha.

Vậy là giáo viên của Long sẽ cho lớp làm

30 câu trong mỗi bài kiểm tra, vậy tức là sau bài kiểm tra đầu tiên,

Long đã phải làm 30 câu hỏi rồi.

Ở đây thì mình sẽ để là 0.

Như vậy là sau bài kiểm tra thứ 2 thì Long đã làm qua 60 câu hỏi.

Tương tự, sau bài kiểm tra thứ 3 thì Long đã làm được 90 câu.

Sau bài kiểm tra thứ 4 thì số câu hỏi sẽ là 120.

Sau bài kiểm tra thứ 5 thì

Long chắc hẳn đã làm được

tận 150 câu.

Và chúng ta có thể tiếp tục từ đây,

tức là chúng ta sẽ lại tiếp tục thấy các bội số của 30.

Đây có thể là một gợi ý để chúng ta làm được bài này,

tức là chúng ta đang xét các bội số khác nhau

và chúng ta đang muốn tìm ra bội chung nhỏ nhất của cả hai.

Vậy đây là của Long.

Vậy còn của Quang thì sao?

Theo đề bài ta có, sau bài kiểm tra đầu tiên thì lớp của Quang

chắc cũng đã làm qua 24 câu hỏi.

Và như vậy tổng số câu hỏi sẽ là 48 sau bài kiểm tra thứ 2

và 72 câu sau bài kiểm tra thứ 3.

Sau bài kiểm tra thứ 4 thì sẽ là 96.

Ở đây mình đang đi tìm các bội số của 24 nha.

Vậy sau bài kiểm thứ 4, tổng số câu hỏi sẽ là 96.

Và sau bài kiểm tra thứ 5 thì sẽ là 120 câu,

và nếu như có bài kiểm tra thứ 6 thì sẽ là 144 câu.

Và chúng ta có thể tiếp tục từ đây trở đi.

Nhưng bây giờ, đề hỏi mình

đâu là tổng số câu hỏi ít nhất trong bài kiểm tra

của mỗi lớp trong một năm học?

Vậy thì số nhỏ nhất ở đây sẽ chính là

thời điểm đầu tiên mà cả hai lớp có cùng tổng số câu hỏi kiểm tra

mặc dù rằng số lần kiểm tra của mỗi lớp

có thể sẽ khác nhau.

Và như bạn thấy ở đây, thời điểm mà cả hai lớp có cùng số câu hỏi

đó chính là 120 câu.

Con số 120 này cho biết rằng,

cả hai lớp cùng đã làm được 120 câu hỏi

mặc dù giáo viên của Long cho tận 30 câu trong một lần kiểm tra

còn giáo viên của Quang thì chỉ cho 24 câu thôi.

Vậy đáp số của chúng ta ở đây sẽ là 120 câu.

Và bạn để ý rằng ở đây, họ có số bài kiểm tra khác nhau.

Long thì có 1, 2, 3 và 4 bài kiểm tra.

Trong khi đó thì Quang có đến tận 1, 2, 3, 4,

5 bài kiểm tra lận.

Tuy nhiên, mỗi người đều đã làm qua 120 câu hỏi.

Bây giờ thì mình thử biểu diễn những gì mình vừa mới giải thích

dưới dạng các ký tự toán học, hay đúng hơn là bội chung nhỏ nhất,

mà chúng ta đã từng học, bởi vì đây thực chất chính là
bội chung nhỏ nhất, hay mình hay viết là BCNN, của 30

và 24.

Và như chúng ta đã làm ở trên, bội chung nhỏ nhất của hai số này chính là 120.

Tất nhiên sẽ có những cách khác mà bạn có thể dùng

để tìm ra bội chung nhỏ nhất thay vì mò

bằng cách liệt kê các bội số như thế này.

Đó là, bạn có thể thử phân tích ra thừa số nguyên tố.

Ví dụ, 30 sẽ bằng 2 nhân 15, mà 15 thì bằng 3 nhân 5.

Vậy chúng ta có thể nói 30 sẽ bằng 2 nhân 3 nhân 5.

Còn 24 thì (để mình đổi sang một màu khác với màu xanh), 24

thì bằng với lại 2 nhân 12,

mà 12 thì bằng 2 nhân 6,

trong khi 6 thì sẽ bằng 2 nhân 3.

Như vậy thì 24 sẽ bằng 2 nhân 2 nhân 2 nhân 3.

Một cách khác để chúng ta tìm ra bội chung nhỏ nhất,

nếu như chúng ta không làm như cách này ở trên đây,

đó là chúng ta sẽ tìm một con số mà vừa chia hết cho cả 30 và 24.

Nếu nó chia hết cho 30

thì tức là nó sẽ phải có 2 nhân 3 nhân 5

trong thừa số nguyên tố của nó.

Nếu chỉ có 2, 3 và 5 thì nó sẽ chỉ là 30.

Đây sẽ là cái giúp nó chia hết cho 30.

Bây giờ thì, để cho số này chia hết cho 24,

thì thừa số nguyên tố của nó sẽ phải bao gồm 3 số 2 và 1 số 3.

Chúng ta đã có sẵn 1 số 3 ở đây rồi,

và chúng ta cũng có 1 số 2 luôn rồi, như vậy là chúng ta chỉ cần thêm 2 số 2 nữa thôi.

Vậy ở đây sẽ là 2 nhân 2.

(Để mình kéo lên trên một chút)

Như vậy là cái này ở đây sẽ làm cho số của chúng ta chia hết cho 24.

Như vậy đây chính là thừa số nguyên tố

của bội chung nhỏ nhất của 30 và 24.

Nếu bạn lấy một trong các số này ra

thì chúng ta sẽ không còn có thể chia hết cho cả hai số này

đồng thời.

Ví dụ nếu bạn lấy bớt đi 1 số 2
thì số này sẽ không còn có thể chia hết cho 24

nữa.

Còn nếu như bạn lấy 1 số 3 ra...

1 số 3 hoặc 1 số 5 ra,

thì bạn sẽ không còn có thể chia hết cho 30 nữa.

Vậy là tích của chúng ta sẽ trở thành,

2 nhân 2 nhân 2 sẽ là 8, nhân 3 nữa là 24, nhân 5 nữa là 120.

Bây giờ mình cùng làm thêm một ví dụ nữa nha.

Bạn Tín vừa mới mua 1 bộ dụng cụ học tập gồm 21 quyển tập.

(Để mình viết nó xuống)

21 quyển tập.

Bạn ấy cũng mua 1 bộ 30 cây bút chì nữa.

Và bạn ấy muốn dùng tất cả số quyển tập và cây bút chì

để có thể đưa cho các bạn cùng lớp

các bộ dụng cụ học tập giống nhau.

Như vậy thì số bộ dụng cụ học tập nhiều nhất

mà bạn Tín có thể làm là bao nhiêu?

Bản thân chúng ta đang nói về việc tìm số "nhiều nhất", hay "lớn nhất"

đã là một dấu hiệu cho thấy có lẽ chúng ta sẽ phải tìm

ước chúng lớn nhất rồi.

Tức là mình cũng sẽ phải xử lý rất nhiều phép chia.

Đó là bởi vì chúng ta muốn chia cả 2 số này để tìm ra

số bộ dụng cụ học tập nhiều nhất.

Và có một vài cách để chúng ta suy nghĩ về bài này.

Đầu tiên, chúng ta hãy thử suy nghĩ thế nào là ước chung lớn nhất

của hai số này là gì.

Hay mình hay viết tắt là UCLN.

Ước chung lớn nhất của 21 và 30,

tức đang ám chỉ đâu là số lớn nhất mà cả 2 số này có thể chia hết cho.

Vậy nên ở đây chúng ta có thể thử

liệt kê tất cả các số thừa số của chúng

và xem đâu là số lớn nhất.

Hoặc chúng ta có thể phân tích thành thừa số nguyên tố.

Bây giờ mình cứ thử phân tích thành thừa số nguyên tố trước đi.

Vậy 21 thì sẽ bằng 3 nhân 7.

Cả hai số này sẽ đều là số nguyên tố.

30 thì, để mình xem nào,

30 thì sẽ bằng với lại 2 nhân 15.

Hình như chúng ta vừa mới làm ở trên rồi đúng không?

Và 15 thì sẽ bằng 3 nhân 5.

Vậy đâu là số tạo bởi tích số nguyên tố chung

của cả hai số?

Thật ra, bạn chỉ có đúng số 3 ở đây thôi.

Ngoài ra thì 2 số này không còn bất kỳ số nào giống nhau nữa.

Vậy đáp án của chúng ta sẽ là 3 thôi.

Và con số 3 này cho chúng ta biết rằng,

chúng ta có thể chia cả 2 số này cho 3

để chúng ta được số bộ dụng cụ học tập

lớn nhất, nhưng vẫn giống nhau.

Và để cho thấy rõ hơn những gì chúng ta đã làm

bên cạnh việc tìm ra đáp số là 3,

thì mình sẽ thử hình dung câu hỏi này

bằng cách vẽ ra 21 quyển tập.

Ví dụ như đây sẽ là 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,

11, 12, 13, 14, 15,
16, 17, 18, 19, 20, 21.

Và 30 cây bút chì, và để phân biệt rõ ràng hơn thì mình sẽ vẽ bằng màu xanh lá cây.

Vậy tức là ta có 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Để mình chép và dán nó đi

chứ mình thấy cái này hơi mệt rồi á.

(Chép và dán)

Vậy đây sẽ là 20, và giờ thì sẽ là 30.

Và, như chúng ta đã tìm ra, 3 là con số lớn nhất

mà cả hai số này có thể chia cho.

Vậy tức là mỗi bộ như thế này, mình có thể chia ra thành 3 bộ nhỏ hơn.

Ví dụ như tập thì mình có thể chia thành 3 bộ, mỗi bộ 7 quyển.

Còn đối với bút chì, thì mình có thể

chia ra thành 3 bộ, mỗi bộ 10 cây.

Như vậy nếu có Tín có 3 người bạn cùng lớp

muốn được nhận bộ dụng cụ học tập này thì

bạn ấy có thể cho mỗi bạn 7 quyển tập và 10 cây bút chì.

Nhưng 3 sẽ là số bộ dụng cụ học tập nhiều nhất

mà Tín có thể làm.

Tức là mình sẽ có 3 bộ,

mỗi bộ sẽ bao gồm 7 quyển tập và 10 cây bút chì.

Như vậy là nãy giờ, chúng ta đã tìm ra được

đây là số bộ mà chúng ta có thể chia đều chồng quyển tập và bộ bút chì này ra,

hay nói đúng hơn là số lớn nhất để mình có thể

chia đều cả hai bộ này ra.