-
Her har vi et parallelogram.
-
Vi vil bevise, at diagonalerne halverer hinanden.
-
Det er ikke bare diagonaler.
-
Det er linjer, der krydser parallelle linjer.
-
Derfor kan vi også kalde dem transversaler.
-
Vi kan se på DB her,
-
at den krydser DC og AB.
-
Vi ved, at det kaldes parallelogrammer.
-
Vi ved, at de er parallelle.
-
Det er et parallelogram.
-
Tilsvarende indvendige vinkler er kongruente.
-
Den her vinkel er altså lig med den her vinkel.
-
.
-
Vi kalder punktet i midten for E.
-
Vinkel ABE er altså kongruent med vinkel CDE,
-
for det er tilsvarende indvendige vinkler
-
dannet af en transversal, der krydser parallelle linjer.
-
.
-
Diagonal AC, eller transversal AC,
-
kan vi sige det samme om.
-
Den krydser her og her.
-
De her 2 linjer er parallelle.
-
.
-
.
-
Vinkel DEC er altså kongruent med vinkel BAE
-
på præcis samme måde.
-
.
-
Hvis vi ser på den øverste trekant og den nederste trekant,
-
har vi et sæt tilsvarende vinkler, der er kongruente.
-
Siden her imellem er kongruent.
-
.
-
Vi har tidligere bevist,
-
at modstående sider i parallelogrammer både er
-
parallelle og kongruente.
-
Den her side er altså
-
lig med den her side.
-
.
-
Vi har 2 set tilsvarende vinkler, der er kongruente.
-
Vi har en side imellem, der er kongruent.
-
Her har vi yderligere et sæt tilsvarende vinkler,
-
der er kongruente.
-
Den her trekant er altså kongruent med den her trekant
-
på grund af vinkel-side-vinkelkongruens.
-
.
-
.
-
Trekant ABE er altså kongruent med
-
trekant CDE med vinkel-side-vinkelkongruens.
-
Hvad fortæller det os?
-
Hvis 2 trekanter er kongruente,
-
er alle deres tilsvarende egenskaber og især
-
tilsvarende sider kongruente.
-
Side EC svarer til side EA.
-
Vi kan også kalde dem side AE
-
og side CE.
-
De er tilsvarende sider i kongruente trekanter.
-
De er altså lige lange.
-
AE er lig med CE.
-
Vi sætter 2 streger for at markere det.
-
BE må være lig med CE.
-
Igen er de tilsvarende sider i 2 kongruente trekanter.
-
De må derfor være lige lange.
-
.
-
BE er lig med DE.
-
Vi er nu færdige med beviset.
-
Diagonal DB deler diagonal AC op i 2 dele,
-
der er lige lange.
-
De 2 dele er lige lange,
-
og derfor halverer de hinanden.
-
Lad os prøve at bevise det omvendt.
-
Vi skal bevise, at hvis vi i en firkant har 2 diagonaler,
-
der halverer hinanden,
-
er det et parallelogram.
-
.
-
Vi går ud fra,
-
at de 2 diagonaler halverer hinanden.
-
Den her må altså være lig med den her,
-
og den her må være lig med den her.
-
.
-
.
-
Vi skal huske, at den her vinkel
-
må være lig med den her vinkel.
-
De er topvinkler.
-
.
-
Vinkel CED er lig med,
-
det vil sige kongruent med, vinkel BEA.
-
Det fortæller os,
-
at de 2 trekanter er kongruente, fordi der er tilsvarende sider.
-
.
-
Trekant AEB må altså være
-
side-vinkel-sidekongruent med trekant DEC.
-
.
-
.
-
Når 2 trekanter er kongruente, ved vi,
-
at alle tilsvarende sider og vinkler er kongruente.
-
Eksempelvis ved vi,
-
at vinkel CDE er kongruent med vinkel BAE.
-
Det er tilsvarende vinkler i kongruente trekanter.
-
Der er en slags transversal til de her 2 linjer,
-
der er parallelle, hvis de tilsvarende indvendige vinkler er kongruente.
-
Det kan vi se, at de er.
-
Det er tilsvarende indvendige vinkler,
-
og de er kongruente.
-
AB må derfor være parallel med CD.
-
Vi tegner en pil for at markere,
-
at vinkel AB er parallel med vinkel CD.
-
.
-
.
-
Vi kan bruge helt samme metode til at vise,
-
at de her 2 sider er parallelle.
-
.
-
Vi behøver ikke nødvendigvis skrive det hele igen.
-
Det er det samme, vi skal gøre.
-
Den her vinkel er kongruent med den her vinkel.
-
.
-
Vi ved også,
-
at vinkel AEC er kongruent med vinkel DEB.
-
De er topvinkler.
-
.
-
.
-
Vi ser derfor, at trekant AEC må være
-
side-vinkel-sidekongruent med trekant DEB.
-
.
-
.
-
Vi ved, at tilsvarende vinkler er kongruente.
-
For eksempel er vinkel CAE
-
kongruent med vinkel BDE,
-
fordi de er tilsvarende vinkler i kongruente trekanter.
-
.
-
CAE må være kongruent med BDE.
-
Her har vi så en transversal.
-
De tilsvarende indvendige vinkler er kongruente.
-
De 2 linjer, som transversalen krydser,
-
må være parallelle.
-
De her er altså parallelle.
-
AC er parallel med BD.
-
.
-
Nu er vi færdige.
-
.
-
Når vi går ud fra, at diagonalerne halverer hinanden,
-
ender vi med at sige, at de modstående sider i firkanten er parallelle,
-
og derfor er firkanten et parallelogram.
