Her har vi et parallelogram. Vi vil bevise, at diagonalerne halverer hinanden. Det er ikke bare diagonaler. Det er linjer, der krydser parallelle linjer. Derfor kan vi også kalde dem transversaler. Vi kan se på DB her, at den krydser DC og AB. Vi ved, at det kaldes parallelogrammer. Vi ved, at de er parallelle. Det er et parallelogram. Tilsvarende indvendige vinkler er kongruente. Den her vinkel er altså lig med den her vinkel. . Vi kalder punktet i midten for E. Vinkel ABE er altså kongruent med vinkel CDE, for det er tilsvarende indvendige vinkler dannet af en transversal, der krydser parallelle linjer. . Diagonal AC, eller transversal AC, kan vi sige det samme om. Den krydser her og her. De her 2 linjer er parallelle. . . Vinkel DEC er altså kongruent med vinkel BAE på præcis samme måde. . Hvis vi ser på den øverste trekant og den nederste trekant, har vi et sæt tilsvarende vinkler, der er kongruente. Siden her imellem er kongruent. . Vi har tidligere bevist, at modstående sider i parallelogrammer både er parallelle og kongruente. Den her side er altså lig med den her side. . Vi har 2 set tilsvarende vinkler, der er kongruente. Vi har en side imellem, der er kongruent. Her har vi yderligere et sæt tilsvarende vinkler, der er kongruente. Den her trekant er altså kongruent med den her trekant på grund af vinkel-side-vinkelkongruens. . . Trekant ABE er altså kongruent med trekant CDE med vinkel-side-vinkelkongruens. Hvad fortæller det os? Hvis 2 trekanter er kongruente, er alle deres tilsvarende egenskaber og især tilsvarende sider kongruente. Side EC svarer til side EA. Vi kan også kalde dem side AE og side CE. De er tilsvarende sider i kongruente trekanter. De er altså lige lange. AE er lig med CE. Vi sætter 2 streger for at markere det. BE må være lig med CE. Igen er de tilsvarende sider i 2 kongruente trekanter. De må derfor være lige lange. . BE er lig med DE. Vi er nu færdige med beviset. Diagonal DB deler diagonal AC op i 2 dele, der er lige lange. De 2 dele er lige lange, og derfor halverer de hinanden. Lad os prøve at bevise det omvendt. Vi skal bevise, at hvis vi i en firkant har 2 diagonaler, der halverer hinanden, er det et parallelogram. . Vi går ud fra, at de 2 diagonaler halverer hinanden. Den her må altså være lig med den her, og den her må være lig med den her. . . Vi skal huske, at den her vinkel må være lig med den her vinkel. De er topvinkler. . Vinkel CED er lig med, det vil sige kongruent med, vinkel BEA. Det fortæller os, at de 2 trekanter er kongruente, fordi der er tilsvarende sider. . Trekant AEB må altså være side-vinkel-sidekongruent med trekant DEC. . . Når 2 trekanter er kongruente, ved vi, at alle tilsvarende sider og vinkler er kongruente. Eksempelvis ved vi, at vinkel CDE er kongruent med vinkel BAE. Det er tilsvarende vinkler i kongruente trekanter. Der er en slags transversal til de her 2 linjer, der er parallelle, hvis de tilsvarende indvendige vinkler er kongruente. Det kan vi se, at de er. Det er tilsvarende indvendige vinkler, og de er kongruente. AB må derfor være parallel med CD. Vi tegner en pil for at markere, at vinkel AB er parallel med vinkel CD. . . Vi kan bruge helt samme metode til at vise, at de her 2 sider er parallelle. . Vi behøver ikke nødvendigvis skrive det hele igen. Det er det samme, vi skal gøre. Den her vinkel er kongruent med den her vinkel. . Vi ved også, at vinkel AEC er kongruent med vinkel DEB. De er topvinkler. . . Vi ser derfor, at trekant AEC må være side-vinkel-sidekongruent med trekant DEB. . . Vi ved, at tilsvarende vinkler er kongruente. For eksempel er vinkel CAE kongruent med vinkel BDE, fordi de er tilsvarende vinkler i kongruente trekanter. . CAE må være kongruent med BDE. Her har vi så en transversal. De tilsvarende indvendige vinkler er kongruente. De 2 linjer, som transversalen krydser, må være parallelle. De her er altså parallelle. AC er parallel med BD. . Nu er vi færdige. . Når vi går ud fra, at diagonalerne halverer hinanden, ender vi med at sige, at de modstående sider i firkanten er parallelle, og derfor er firkanten et parallelogram.