Důkaz - Úhlopříčky rovnoběžníku se navzájem půlí.

Máme tady rovnoběžník.

Chtěli bychom dokázat,
že jeho úhlopříčky se navzájem půlí.

První věc, co nás napadne, je,
že nejsou jenom úhlopříčkami,

ale že zároveň každá protíná dvojici
rovnoběžek.

Takže je můžeme pokládat
za příčky (transverzály).

Pokud se zaměříme tady na DB,
vidíme, že protíná DC a AB

a leží zde.

O těchto víme,
že jsou rovnoběžníky,

tyto strany jsou rovnoběžné,

je to rovnoběžník.

Střídavé úhly musejí být shodné,

takže tento úhel je shodný s tímto.

Označím si to

a nazvu bod uprostřed E.

Takže víme, že ABE musí být shodný s CDE,

protože jsou to úhly střídavé

na rovnoběžkách.

Střídavé úhly.

Když se podíváme na úhlopříčku AC,

můžeme argumentovat úplně stejně.

Protíná strany tady a tady

a tyto úsečky jsou rovnoběžné.

A protože střídavé úhly jsou shodné,

úhel DEC (napíšu to),

úhel DEC musí být shodný s BAE

ze stejného důvodu.

Teď tu máme něco zajímavého:

když se podíváme na tento spodní
a tento horní trojúhelník,

máme v nich dvojici
odpovídajících si shodných úhlů.

Mezi nimi máme stranu,
která taky musí být shodná.

Radši to zapíšu.

Dokázali jsme si v minulém videu,

že nejenže jsou v rovnoběžníku
protilehlé strany rovnoběžné,

nýbrž i shodné.

Víme proto, že tato strana je shodná

s touto.

Ještě to zopakuju.

Měli jsme dvě dvojice
odpovídajících si shodných úhlů

a mezi nimi máme shodnou stranu.

Pak máme druhou dvojici
odpovídajících si úhlů,

které jsou shodné.

Takže víme, že tyto dva trojúhelníky
jsou shodné

podle věty ÚSÚ (úhel - strana - úhel).

Takže víme, že trojúhelník...
Půjdu od modré

přes oranžovou k poslední straně.

Trojúhelník ABE je shodný s trojúhelníkem
modrá, oranžová

a poslední, CDE, podle věty ÚSÚ.

Co to pro nás znamená?

Víme, že shodnost dvou trojúhelníků

zaručuje shodnost všech ostatních znaků
a zvláště,

že jejich strany jsou shodné.

Víme, že strana EC odpovídá EA.

Nebo můžu říct, že AE

odpovídá CE.

Jsou odpovídajícími stranami
shodných trojúhelníků,

takže jejich délky musejí být shodné.

Délka AE je proto stejná jako délka CE.

Napíšu tady dvě svislice,
jednu už jsem použil tady.

Zaměřme se na toto:
Víme, že BE musí být rovno DE.

Opět se jedná o odpovídající strany
shodných trojúhelníků,

takže musejí mít stejnou délku.

Takže toto jsou odpovídající strany
shodných trojúhelníků.

BE je shodné s DE.

A už jsme to dokázali.

Ukázali jsme, že úhlopříčka DB půlí AC

a naopak.

AC půlí DB

a naopak.

Teď to zkusme z druhé strany.

Dokažme si, že pokud máme
dvě úhlopříčky čtyřúhelníku,

které se půlí,

pak se musí jednat o rovnoběžník.

Podívejme se na to.

Budeme předpokládat, že ty úhlopříčky

se půlí.

Předpokládáme, že toto je rovno tomuto

a toto je zase rovno tomuto.

Chceme-li dokázat,
že se jedná o rovnoběžník,

musíme si připomenout,

že tento úhel

bude rovný tomuto.

To je jasné,
protože jsou to úhly u vrcholu.

Zapíšu si to.

C (označím si tento bod),
úhel CED bude roven

úhlu BEA.

No a to nám ukazuje,

že tyto dva trojúhelníky jsou shodné,
protože máme shodné strany

a úhel mezi nimi a na opačné straně.

Teď víme, že tento trojúhelník
(nechám ho žlutě),

trojúhelník AEB je shodný s DEC
podle věty SÚS (strana - úhel - strana),

podle věty SÚS.

Tak dobře.

Když víme,
že dva trojúhelníky jsou shodné,

i odpovídající strany a úhly
musejí být shodné.

Tak například víme,
že úhel CDE bude shodný

s úhlem BAE.

To jsou prostě odpovídající úhly
shodných trojúhelníků.

A teď tu máme tuto příčku těchto dvou přímek,

které mohou být rovnoběžné,
pokud jsou tyto střídavé úhly shodné.

Vlastně říkáme,

že jsou to jakoby kandidáti na střídavé úhly,
které ale opravdu

jsou shodné.

Proto opravdu musí být AB rovnoběžné s CD.

Takže AB (nakreslím šipkou)
musí být rovnoběžné s CD

podle věty o střídavých úhlech.

Píšu to rychle, omluvte tu zkratkovitost,

ale všechno to říkám úplně.

Můžeme pak udělat to samé

(jako když jsme dokázali,
že tyto dvě jsou rovnoběžné)

a dokázat,
že i tyto strany musejí být rovnoběžné.

Nebudu to všechno vypisovat.

Je to přesně ten samý důkaz jako
pro předešlou dvojici.

Předně víme, že tyto úhly jsou shodné

přesně tady.

Dále víme, což zase zapíšu,

že úhel AEC je shodný s úhlem DEB,

jsou to protilehlé úhly.

To je vlastně hlavní důvod i tady ...

protilehlé úhly.

Pak vidíme,
že trojúhelník AEC musí být shodný

s trojúhelníkem DEB podle věty SÚS.

Podle věty SÚS.

S trojúhelníkem DEB podle věty SÚS.

Víme, že odpovídající úhly musejí být shodné,

takže například CAE

je shodné s BDE, protože si právě

odpovídají ve shodných trojúhelnících.

Proto CAE
(použiju na to jinou barvu)

CAE je shodné s BDE.

Dále pak máme tuhle příčku

a shodné střídavé úhly.

Takže ty dvě přímky

musejí být rovnoběžné.

Proto tahle musí být rovnoběžná s touto.

Pak máme AC rovnoběžnou s BD

podle věty o střídavých úhlech.

A jsme hotovi!

Právě jsme dokázali,
že pokud se úhlopříčky navzájem půlí,

pokud to předpokládáme,
můžeme nakonec říct:

"Protilehlé strany tohohle
čtyřúhelníku musejí být rovnoběžné,

takže ABCD je rovnoběžník!"