Proof - Diagonals of a Parallelogram Bisect Each Other

Proving that a quadrilateral is a parallelogram if and only if its diagonals bisect each other

لدينا متوازي اضلاع هنا

وما نريد اثباته هو ان اقطاره تتقاطع مع بعضها البعض

واول شيئ يمكننا ان نفكر به؛ ان هذان ليسا اقطار وحسب

بل هما خطان يتقاطعان مع خطوط متوازية

اذاً يمكننا ايضاً ان نعتبرهم مستقيمات قاطعة

واذا ركزنا على DB هنا، سنرى انه يتقاطع مع DC

و AB ويقع هنا

وكما نعلم فإن هذه متوازيات اضلاع

ونعلم انها متوازية

هذا متوازي اضلاع

والزوايا الداخلية يجب ان تكون متساوية

اي ان هذه الزاوية يجب ان تكون مساوية لتلك الزاوية

دعوني اطلق اسماً عليها

دعوني اسمي نقطة المنتصف E

نحن نعلم بأن الزاوية ABE يجب ان تطابق الزاوية CDE

من خلال الزوايا الداخلية البديلة

المستقيم القاطع يتقاطع مع الخط المتوازي

هذه هي الزوايا الداخلية البديلة

اذا نظرنا الى القطر AC او يجب ان نسميه المستقيم القاطع AC

يمكننا ان نكون نفس الفكرة

فهو يتقاطع هنا وهنا

هذان الخطان متوازيان

اذاً الزوايا الداخلية البديلة يجب ان تتطابق

اي ان الزاوية DEC يجب ان --دعوني اكتب هذا--

الزاوية DEC يجب ان تطابق الزاوية BAE

لنفس السبب

الآن لدينا شيئ مثير للاهتمام

اذا نظرنا الى المثلث العلوي هذا والمثلث السفلي هذا

لدينا مجموعة واحدة من الزوايا المتساوية

لدينا ضلع في المنتصف سيكون مطابقاً

في الواقع، دعوني اكتب هذا بوضوح

نحن نعلم واثبتنا هذا في العرض السابق

ان متوازيات الاضلاع ليس فقط ان كل ضلعين متقابلين متوازين

بل ايضاً متطابقين

نحن نعلم من العرض السابق ان هذا الضلع يسايو

ذلك الضلع

اذاً دعوني اعود لما كنت اقوله

لدينا مجموعتان من الزوايا المتماثلة والمتطابقة

لدينا ضلع مطابق بينهما

ومن ثم لدينا مجموعة اخرى من الزوايا المتماثلة

والمتطابقة

ونحن نعلم ان هذا المثلث مطابقاً لذلك المثلث

من خلال زاوية ضلع زاوية

نحن نعلم ان ذلك المثلث --سأنتقل من الازرق

الى البرتقالي الى الاخير--

المثلث ABE يطابق المثلث الازرق، البرتقالي

والاخير، CDE من خلال تطابق زاوية ضلع زاوية

الآن ماذا فعل هذا لنا

ما نعلمه اذا كان لدينا مثلثان متطابقان، ن جميع

تماثلاته وبشكل خاص

الاضلاع المتماثلة تكون متطابقة

فنعلم ان الضلع EC يتماثل مع EA

او يمكنني ان اقول الضلع AE، يمكن ان نقول ان الضلع AE

يتماثل مع الضلع CE

كلاهما ضلعين متماثلين لزاوية مطابقة

اذاً قياساتهما او اطوالهما يجب ان تكون متساوية

اي ان AE يجب ان يساوي CE

دعوني اضع خطان مزدوجان هنا بما انني قد استخمت خط منفرد هنا

دعوني اركز على هذا --نحن نعلم ان BE يجب ان يكون مساوياً لـ DE

ومرة اخرى هما اضلاع متماثلة لمثلثين متطابقين

بالتالي يجب ان يكون لهما الطول نفسه

اذاً هذه الاضلاع متماثلة لمثلثات متطابقة

اذاً BE = DE.

وبهذا نكون قد انتهينا من اثباتنا

لقد اوضحنا ان القطر DB يقسم AC الى

قطعتان مستقيمتان لهما نفس الطول

و AC يقسم DB الى قطعتان مستقيمتان متساويتان في الطول

انهما يقطعان بعضهما البعض

الآن، دعونا ننتقل للاتجاه الآخر

دعونا نثبت انه اذ كان لدينا قطران

لشكل رباعي الاضلاع ويقطعان بعضهما البعض، بهذه الحالة نحن

نتعامل مع متواي الاضلاع

دعوني ارى

سنفترض ان القطران

يقطعان بعضهما

ونفترض ان هذا مساوياً لذاك

وان هذا مساوياً لذاك

وبهذه المعطيات نريد ان نثبت ان هذا متوازي اضلاع

ولكي نفعل هذا علينا ان نتذكر

علينا ان نتذكر ان هذه الزاوية

ستكون مساوية لتلك الزاوية

وواحدة من اولى الاشياء التي تعلمناها هي لأنهما زوايا متقابلة بالرأس

دعوني اكتب هذا اذاً

C --سأسمي هذه النقطة-- الزاوية CED تكون مساوية

او مطابقة للزاوية --كما اسميتها منذ البداية BEA-- للزاوية BEA

وهذا، ما هذا، حسناً، هذا يوضح لنا ان هذان

المثلثان متطابقان لأن لدينا اضلاع متماثلة

في التطابق والزاوية التي تقع بينهما وفي الضلع الآخر

اذاً نحن نعلم ان المثلث --سأبقي على اللون الاصفر--

المثلث AEB يطابق المثلث DEC من خلال ضلع زاوية ضلع

اي من خلال المثلثات المتطابقة SAS

هذا كافي

الآن، اذا كنا نعلم ان في المثلثين المتطابقين تكون جميع

الاضلاع متماثلة والزوايا متطابقة

على سبيل المثال، نحن نعلم ان الزاوية CDE ستكون مطابقة

للزاوية BAE

وهذا تماثل زوايا في تطابق المثلثات

والآن لدينا هذا المستقيم القاطع لهذان الخطان اللذان

يمكن ان يكونا متوازيين اذا كانت الزوايا الداخلية البديلة متطابقة

ونرى انهما كذلك

هاتان زاويتان داخليتان بديلتان

متطابقتان

ما يعني ان AB يجب ان يوازي CD

اذاً، AB --دعوني ارسم سهم-- AB يجب ان يوازي CD

من خلال الزوايا الداخلية البديلة لتطابق الخطوط المتوازية

انني اكتب باختصار، فسامحوني

على ما بدر مني

ولذلك يمكننا فعل نفس --بينما كنت اوضح

ان هذان الضلعان متوازيان-- يمكن اتباع نفس

المنطق لأوضح ان هذان الضلعان متوازيان

ولا حاجة لأكتب كل شيئ

انه نفس الاثبات حتى اوضح لكم ان هذان

اولاً، نحن نعلم ان هذه الزاوية تطابق تلك الزاوية

الموجودة هناك

ومن ثم نعلم --في الواقع دعوني اكتب هذا- نعلم

ان الزاوية AEC مطابقة للزاوية DEBـ يجب علي ان اقول

انها زوايا متقابلة بالرأس

وهذا هو السبب

زوايا متقابلة بالرأس

ومن ثم نرى ان المثلث AEC يجب ان يكون مطابقاً

للمثلث DEB عن طريق ضلع زاوية ضلع

ثم لدينا المثلث AEC والذي يجب ان يطابق المثلث

DEB من خلال تطابق SAS

الآن، نحن نعلم ان الزوايا المتماثلة يجب ان تكون متطابقة

حيث نعلم ان الزاوية، على سبيل المثال الزاوية CAE

يجب ان تطابق الزاوية BDE وهذا هو تماثل

الزوايا للمثلثات المتطابقة

اذاً CAE --دعوني استخدم لون جديد--

CAE يجب ان تطابق BDE

ولدينا الآن مستقيم قاطع

ان الزوايا الداخلية البديلة متطاقة

اذاً الخطان اللذان تقطعهما المستقيمات القاطعة

يجب ان يكونوا متوازيين

اذاً هذا يجب ان يوازي ذلك

ثم لدينا AC الذي يجب ان يوازي BD

من خلال الزوايا الداخلية البديلة

وانتهينا

لقد قمنا باثبات انه اذا تقاطع القطران

كما بدأنا بما هو معطى لنا والى حيث انتهينا

"الاضلاع المتقابلة في هذا الشكل الرباعي يجب ان تكون متوازية

او ان ABCD عبارة عن متوازي اضلاع"