لدينا متوازي اضلاع هنا
وما نريد اثباته هو ان اقطاره تتقاطع مع بعضها البعض
واول شيئ يمكننا ان نفكر به؛ ان هذان ليسا اقطار وحسب
بل هما خطان يتقاطعان مع خطوط متوازية
اذاً يمكننا ايضاً ان نعتبرهم مستقيمات قاطعة
واذا ركزنا على DB هنا، سنرى انه يتقاطع مع DC
و AB ويقع هنا
وكما نعلم فإن هذه متوازيات اضلاع
ونعلم انها متوازية
هذا متوازي اضلاع
والزوايا الداخلية يجب ان تكون متساوية
اي ان هذه الزاوية يجب ان تكون مساوية لتلك الزاوية
دعوني اطلق اسماً عليها
دعوني اسمي نقطة المنتصف E
نحن نعلم بأن الزاوية ABE يجب ان تطابق الزاوية CDE
من خلال الزوايا الداخلية البديلة
المستقيم القاطع يتقاطع مع الخط المتوازي
هذه هي الزوايا الداخلية البديلة
اذا نظرنا الى القطر AC او يجب ان نسميه المستقيم القاطع AC
يمكننا ان نكون نفس الفكرة
فهو يتقاطع هنا وهنا
هذان الخطان متوازيان
اذاً الزوايا الداخلية البديلة يجب ان تتطابق
اي ان الزاوية DEC يجب ان --دعوني اكتب هذا--
الزاوية DEC يجب ان تطابق الزاوية BAE
لنفس السبب
الآن لدينا شيئ مثير للاهتمام
اذا نظرنا الى المثلث العلوي هذا والمثلث السفلي هذا
لدينا مجموعة واحدة من الزوايا المتساوية
لدينا ضلع في المنتصف سيكون مطابقاً
في الواقع، دعوني اكتب هذا بوضوح
نحن نعلم واثبتنا هذا في العرض السابق
ان متوازيات الاضلاع ليس فقط ان كل ضلعين متقابلين متوازين
بل ايضاً متطابقين
نحن نعلم من العرض السابق ان هذا الضلع يسايو
ذلك الضلع
اذاً دعوني اعود لما كنت اقوله
لدينا مجموعتان من الزوايا المتماثلة والمتطابقة
لدينا ضلع مطابق بينهما
ومن ثم لدينا مجموعة اخرى من الزوايا المتماثلة
والمتطابقة
ونحن نعلم ان هذا المثلث مطابقاً لذلك المثلث
من خلال زاوية ضلع زاوية
نحن نعلم ان ذلك المثلث --سأنتقل من الازرق
الى البرتقالي الى الاخير--
المثلث ABE يطابق المثلث الازرق، البرتقالي
والاخير، CDE من خلال تطابق زاوية ضلع زاوية
الآن ماذا فعل هذا لنا
ما نعلمه اذا كان لدينا مثلثان متطابقان، ن جميع
تماثلاته وبشكل خاص
الاضلاع المتماثلة تكون متطابقة
فنعلم ان الضلع EC يتماثل مع EA
او يمكنني ان اقول الضلع AE، يمكن ان نقول ان الضلع AE
يتماثل مع الضلع CE
كلاهما ضلعين متماثلين لزاوية مطابقة
اذاً قياساتهما او اطوالهما يجب ان تكون متساوية
اي ان AE يجب ان يساوي CE
دعوني اضع خطان مزدوجان هنا بما انني قد استخمت خط منفرد هنا
دعوني اركز على هذا --نحن نعلم ان BE يجب ان يكون مساوياً لـ DE
ومرة اخرى هما اضلاع متماثلة لمثلثين متطابقين
بالتالي يجب ان يكون لهما الطول نفسه
اذاً هذه الاضلاع متماثلة لمثلثات متطابقة
اذاً BE = DE.
وبهذا نكون قد انتهينا من اثباتنا
لقد اوضحنا ان القطر DB يقسم AC الى
قطعتان مستقيمتان لهما نفس الطول
و AC يقسم DB الى قطعتان مستقيمتان متساويتان في الطول
انهما يقطعان بعضهما البعض
الآن، دعونا ننتقل للاتجاه الآخر
دعونا نثبت انه اذ كان لدينا قطران
لشكل رباعي الاضلاع ويقطعان بعضهما البعض، بهذه الحالة نحن
نتعامل مع متواي الاضلاع
دعوني ارى
سنفترض ان القطران
يقطعان بعضهما
ونفترض ان هذا مساوياً لذاك
وان هذا مساوياً لذاك
وبهذه المعطيات نريد ان نثبت ان هذا متوازي اضلاع
ولكي نفعل هذا علينا ان نتذكر
علينا ان نتذكر ان هذه الزاوية
ستكون مساوية لتلك الزاوية
وواحدة من اولى الاشياء التي تعلمناها هي لأنهما زوايا متقابلة بالرأس
دعوني اكتب هذا اذاً
C --سأسمي هذه النقطة-- الزاوية CED تكون مساوية
او مطابقة للزاوية --كما اسميتها منذ البداية BEA-- للزاوية BEA
وهذا، ما هذا، حسناً، هذا يوضح لنا ان هذان
المثلثان متطابقان لأن لدينا اضلاع متماثلة
في التطابق والزاوية التي تقع بينهما وفي الضلع الآخر
اذاً نحن نعلم ان المثلث --سأبقي على اللون الاصفر--
المثلث AEB يطابق المثلث DEC من خلال ضلع زاوية ضلع
اي من خلال المثلثات المتطابقة SAS
هذا كافي
الآن، اذا كنا نعلم ان في المثلثين المتطابقين تكون جميع
الاضلاع متماثلة والزوايا متطابقة
على سبيل المثال، نحن نعلم ان الزاوية CDE ستكون مطابقة
للزاوية BAE
وهذا تماثل زوايا في تطابق المثلثات
والآن لدينا هذا المستقيم القاطع لهذان الخطان اللذان
يمكن ان يكونا متوازيين اذا كانت الزوايا الداخلية البديلة متطابقة
ونرى انهما كذلك
هاتان زاويتان داخليتان بديلتان
متطابقتان
ما يعني ان AB يجب ان يوازي CD
اذاً، AB --دعوني ارسم سهم-- AB يجب ان يوازي CD
من خلال الزوايا الداخلية البديلة لتطابق الخطوط المتوازية
انني اكتب باختصار، فسامحوني
على ما بدر مني
ولذلك يمكننا فعل نفس --بينما كنت اوضح
ان هذان الضلعان متوازيان-- يمكن اتباع نفس
المنطق لأوضح ان هذان الضلعان متوازيان
ولا حاجة لأكتب كل شيئ
انه نفس الاثبات حتى اوضح لكم ان هذان
اولاً، نحن نعلم ان هذه الزاوية تطابق تلك الزاوية
الموجودة هناك
ومن ثم نعلم --في الواقع دعوني اكتب هذا- نعلم
ان الزاوية AEC مطابقة للزاوية DEBـ يجب علي ان اقول
انها زوايا متقابلة بالرأس
وهذا هو السبب
زوايا متقابلة بالرأس
ومن ثم نرى ان المثلث AEC يجب ان يكون مطابقاً
للمثلث DEB عن طريق ضلع زاوية ضلع
ثم لدينا المثلث AEC والذي يجب ان يطابق المثلث
DEB من خلال تطابق SAS
الآن، نحن نعلم ان الزوايا المتماثلة يجب ان تكون متطابقة
حيث نعلم ان الزاوية، على سبيل المثال الزاوية CAE
يجب ان تطابق الزاوية BDE وهذا هو تماثل
الزوايا للمثلثات المتطابقة
اذاً CAE --دعوني استخدم لون جديد--
CAE يجب ان تطابق BDE
ولدينا الآن مستقيم قاطع
ان الزوايا الداخلية البديلة متطاقة
اذاً الخطان اللذان تقطعهما المستقيمات القاطعة
يجب ان يكونوا متوازيين
اذاً هذا يجب ان يوازي ذلك
ثم لدينا AC الذي يجب ان يوازي BD
من خلال الزوايا الداخلية البديلة
وانتهينا
لقد قمنا باثبات انه اذا تقاطع القطران
كما بدأنا بما هو معطى لنا والى حيث انتهينا
"الاضلاع المتقابلة في هذا الشكل الرباعي يجب ان تكون متوازية
او ان ABCD عبارة عن متوازي اضلاع"