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Wir haben die Funktion f(x) = (-x² + ax + b) / (x² + cx + d),
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bei der a, b, c und d unbekannte Konstanten sind.
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Welcher der folgenden
ist ein möglicher Graph für y = f(x)?
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Die gestrichelten Linien stehen für Asymptoten.
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Das ist sehr interessant.
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Wir haben vier Antwortmöglichkeiten.
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Antwortmöglichkeit D ist etwas weiter rechts.
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Ich ermutige dich, das Video zu pausieren,
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und darüber nachzudenken, wie wir die Aufgabe lösen.
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Wir haben nämlich nicht sehr viele Informationen.
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Wir kennen die Koeffizienten und die Konstanten nicht.
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Okay, legen wir los.
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Zuerst denken wir über horizontale Asymptoten nach.
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Was passiert, wenn x gegen ±∞ strebt?
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Wenn x gegen +∞ oder -∞ strebt,
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was passiert dann mit f(x)?
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Wir schauen uns die Terme höchsten Grades an,
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da diese dominieren werden,
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wenn der Absolutbetrag von x sehr groß wird.
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f(x) wird also ungefähr -x² / x² sein,
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was dasselbe wie -1 ist.
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f(x) wird also gegen -1 streben.
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In jede Richtung, wenn x gegen +∞ oder gegen -∞ strebt.
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Wir haben also eine horizontale Asymptote bei y = -1.
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Antwortmöglichkeit A sieht so aus,
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als hätte sie hier eine horizontale Asymptote bei y = -1.
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Wir können das bestätigen,
da jeder Strich für 2 Einheiten steht.
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Wir haben hier 2, dann 0, dann -2 und -4,
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also sieht es so aus, als wäre das hier -1.
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Wenn wir nur die horizontale Asymptote betrachten,
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sieht Antwortmöglichkeit A gut aus.
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Bei Möglichkeit B haben wir eine
horizontale Asymptote bei y = 2.
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Wir können sie also ausschließen.
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Wir wissen, dass unsere horizontale Asymptote,
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wenn x gegen +∞ oder -∞ strebt,
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bei y = -1 ist.
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Hier ist die horizontale Asymptote bei y = 0.
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Der Graph strebt gegen die x-Achse
entweder von oben oder von unten.
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Die horizontale Asymptote ist also nicht y = -1.
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Also können wir diese Möglichkeit ausschließen.
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Und hier ist unsere horizontale
Asymptote ebenfalls nicht y = -1.
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Sie ist bei y = 0, also können wir sie ausschließen.
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Das ergibt Sinn, da wir nur genug Informationen hatten,
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um die horizontale Asymptote herauszufinden.
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Wir haben keine Informationen darüber,
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wie viele Nullstellen es gibt,
oder was im Intervall passiert,
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da wir die Koeffizienten oder
Konstanten der Gleichung nicht kennen.
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Wir wissen nur, dass,
wenn die x²-Werte dominieren,
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diese Funktion gegen -1 streben wird.
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Also wählen wir Antwortmöglichkeit A.
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