Linear Algebra: Eigenvectors and Eigenspaces for a 3x3 matrix

저번 동영상에서는

이 3x3 행렬 A의 고유값을 구했습니다

그리고 고유값이란

어떤 값 λ 중에서 0이 아닌 어떤 벡터 v에 대해

이러한 식을 만족하는 값이라고 하였습니다

어떤 λ 중에서 영벡터가 아닌 v에 대해

이러한 식을 만족하는 값 말입니다

이를 구하기 위해 위쪽에서

벡터 대수학이라고 부를 무언가를 진행했습니다

원한다면 지난 동영상을 복습할 수 있습니다

이를 통해

v가 0이 아닌 해를 갖기 위해서는 이 행렬이

자명하지 않은 영공간을
지녀야 한다는 것을 알 수 있었습니다

그리고 가역성을 지니지 않는 행렬만이

자명하지 않은 영공간을 지닙니다

내지는 행렬식이 0인 행렬만이

자명하지 않은 영공간을 지닙니다

행렬식을 구하면 고유다항식을 얻게 되고

이를 풀 수 있었습니다

그러고는 고유값을 얻었는데, λ=3이거나

λ=-3이었습니다

이제는, 더욱 흥미로운 내용인

고유벡터나 고유공간을

실제로 구해보도록 하겠습니다

다시 이 방정식으로 돌아갑니다

모든 고유값에 대해 성립하는 식입니다

이 식도 성립하지만 이 식이 더 다루기 쉽습니다

그래서 여기 이 행렬과 고유벡터의 곱은

주어진 고유값에 대해 0이 되어야 합니다

여기 이 행렬은

위에서 가지고 온 행렬입니다

사루스 법칙 때문에 표시한 선들을 무시하면

어떤 λ에 대한 행렬이 됩니다

λ와 단위행렬의 곱에서 A를 뺀 값은

이렇게 나왔습니다

이 행렬에 각 λ를 대입하여

고유벡터나 고유공간을 구해 보겠습니다

우선 λ=3의 경우를 진행하겠습니다

만약 λ=3이라면, 이 행렬은 λ+1이

4이고, λ-2는 1이고, λ-2는 1입니다

나머지 항들은 그대로 있습니다

-2, -2, -2, 1, -2, 1입니다.

그리고 이 값과 벡터 v, 혹은 고유벡터 v를

곱하면 0이 됩니다

고유값 3에 대한 고유공간이

이 행렬의 영공간이라고 할 수 있습니다

이 위의 행렬이 아닙니다

이 행렬은 λ를 단위행렬과 곱하고 A를 뺀 행렬입니다

그래서 이 행렬의 영공간이 고유공간이 됩니다

이 v를 만족하는 모든 값은

λ=3의 고유공간에 대한 고유벡터가 됩니다

한번 풀어 보겠습니다

이 행렬의 영공간은

기약행사다리꼴 형태로 나타낼 수 있는데

이 행렬의 영공간은

이 행렬의 기약행사다리꼴 형태의 영공간과 같습니다

이를 기약행사다리꼴 형태로 나타내 보겠습니다

가장 먼저 할 일은

여기서 진행하겠습니다

일단 첫 행은 그대로 두겠습니다

4, -2, -2

두 번째 행을 두 번째 행의 두 배에서

첫 번째 행을 더한 것으로 하겠습니다

그래서 -2 곱하기 2 더하기 4는 0이고

1 곱하기 2 빼기 2는 0입니다

1 곱하기 2 빼기 2는 0이고요

이 행이 이 행과 같습니다

같은 일을 다시 반복합니다

-2 곱하기 2 더하기 4는 0입니다

1 곱하기 2 더하기 2는 0이고요

그리고 1 곱하기 2 더하기 -2는 0입니다

그래서 방정식의 해답은

이 식의 해답과 같습니다

다르게 적어 보겠습니다

벡터 v라고 적는 대신

한번 적어 보겠습니다

v1, v2, v3을 대입하면 영벡터가 됩니다

0, 0, 0

약간 다르게 써 보았습니다

이들 두 행은, 혹은 이들 두 식은

어떠한 정보도 주지 않습니다

오직 맨 위의 줄만이

4v1+2v2, 적다가 보니

완전한 기약행사다리꼴행렬이 아니었네요

하지만 비슷했습니다

그래도 다루기 쉽습니다

4v1-2v2-2v3=0이 되어야 합니다

4로 나누어 줍니다

여기서 4로 나누어 줄 수도 있었는데

그러다 실수할 수도 있었을 것입니다

그래서 4로 나누어 주면

v1-1/2v2-1/2v3=0을 얻게 됩니다

혹은 v1은 1/2v2+1/2v3과 같습니다

양변에 이들을 더해준 것입니다

혹은 v2가 어떤 임의의 숫자

a와 같고

v3은 어떤 임의의 숫자 c와 같다고 해 봅시다

그렇다면 v1은 1/2a+1/2b와 같습니다

λ=3일 때의 고유공간이

벡터 v1, v2, v3의 모든 집합들 중

a 곱하기, v2는 a입니다. 맞나요?

그래서 v2는 a곱하기 1입니다

v3에는 a가 없습니다

그래서 a 곱하기 0입니다

더하기 b 곱하기, v2는 a이기 때문에

b가 없습니다

그래서 0이 됩니다

v3은 1 곱하기 b이므로
0 곱하기 a 더하기 1 곱하기 b입니다

그리고 v1은 1/2a+1/2b입니다

이러한 a와 b는 실수입니다

조금 더 엄밀하게 적어 보았습니다

이를 만족하는 어떤 벡터는

고유벡터입니다

그리고 그러한 고유벡터는

고윳값 λ=3에 대응합니다

행렬 변환을 이러한 벡터들에 적용한다면

이들을 세 배로 늘릴 뿐입니다

한번 적어 보겠습니다

λ=3의 고유공간은

이것과 이것의 모든 가능한 선형결합

내지는 생성입니다

1/2, 1, 0입니다

그러고 1/2, 0, 1이고요

고유공간들 중 하나입니다

고유공간들 중에서

λ=3에 대응하는 것입니다

이제 λ=-3에 대응하는 고유공간을 찾아봅시다

λ=-3이라면, 여기 위에서 진행하겠습니다

공간이 충분할 것 같습니다
λ=-3이라면

행렬이 어떻게 되느냐 하면
대각선을 먼저 해 보겠습니다

-3 더하기 1은 -2입니다

-3 빼기 2는 -5이고

-3 빼기 2는 -5입니다

나머지 항들은 변하지 않습니다

-2, -2, 1

-2, -2, 1

그리고 이 행렬과

λ=-3에 대응하는 고유공간의

벡터의 곱이 0이 됩니다

여기 이 방정식을 적용했는데

저 방정식에서 따 온 방정식입니다

λ=-3에 대응하는 고유공간을 찾고 있습니다

여기 이 행렬과 곱하면

영공간이 되는 모든 벡터들이 이 방정식을 만족합니다

그래서 이 행렬의 영공간은

이 행렬의 기약행사다리꼴 형태의 영공간과 같습니다

이 행렬을 기약행사다리꼴 형태로 나타내 보겠습니다

가장 먼저 할 일은, 첫 번째 행을 그대로 두겠습니다

공간이 조금 부족해 보여서

글자를 더 작게 적겠습니다

그래서 -2, -2, -2

이런 식으로 해 봅시다

몇 단계를 건너뛸 것입니다

첫 번째 행을 -2로 나누겠습니다

그래서 1, 1, 1을 얻습니다

그러고 두 번째 행을

두 번째 행과 바꾸기 전의 첫 번째 행의

합으로 나타낼 것입니다

이 값과 이 값을 더하면 0이 되고, -5 더하기 -

다른 식으로 써 보겠습니다

첫 번째 행에서

두 번째 행을 뺀 값으로 바꾸겠습니다

그래서 -2에서 -2를 뺀 값은 0입니다

-2에서 -5를 빼면 3이고요

그리고 -2에서 1을 빼면 -3이 됩니다

마지막 행은

다른 색으로 적을 것입니다

그리고 같은 식으로 진행하겠습니다

첫 번째 행에서 마지막 행을 뺄 것입니다

그래서 -2에서 -2를 빼면 0입니다

-2 더하기 2니까요

-2에서 -1을 빼면 -3입니다

그리고 -2 빼기 -5가 있습니다

-2 더하기 5입니다

3이 되겠네요

한 번 더 진행할 것입니다
두 단계에 걸쳐 진행할게요

첫 행은 1, 1, 1입니다

그대로 둘 것입니다

그러고 나서, 일단은 그냥 둡시다

그러고 나서 세 번째 행을

세 번째 행과 두 번째 행의 합으로 바꿀 것입니다

서로 상쇄되겠네요

이들을 서로 더하면 모두 0이 됩니다

행이 모두 상쇄되었습니다

그리고 두 번째 행을 3으로 나누겠습니다

그래서 0, 1, -1이 됩니다

거의 다 되었습니다

오렌지색으로 적겠습니다

첫 번째 행을 첫 번째 행에서

두 번째 행을 뺀 값으로 두겠습니다

그래서 1, 0, 그러고 1 빼기 -1이므로 2가 됩니다

1 빼기 -1은 2입니다

그리고 두 번째 행은 0, 1, -1입니다

마지막 행은 0, 0, 0입니다

그래서 이 방정식을 만족하는 모든 v는

이 행렬 또한 만족합니다

이 행렬의 영공간은

이 행렬의 기약행사다리꼴 형태의 영공간과 같습니다

그래서 v1, v2, v3과 곱하면 0, 0, 0이 됩니다

옆으로 들고 가겠습니다

이제 공간이 부족해졌습니다

공간이 남은 아래쪽으로 이동하겠습니다

여기로 가지고 왔습니다

이는 λ=-3인 경우입니다

λ=-3을 만족한 경우였으며

여기 위 내용과는 관련이 없습니다

그렇다면 이를 만족하는 v1, v2, v에는
어떤 값이 있을까요?

만약 v3가 t와 같다고 한다면

v3가 t와 같다고 한다면 여기에 무슨 값이 나올까요?

여기서 v2-v3=0이라고 보이고 있습니다

그래서 v2-v3이, 0 곱하기 v1 더하기 v2

빼기 v3이 0입니다

혹은 v2가 v3과 같고, t가 됩니다

두 번째 방정식이 의미하는 내용입니다

그리고 세 번째 방정식은, 혹은 맨 위의 방정식은

1 곱하기 v1 더하기 0 곱하기 v2

더하기 2 곱하기 v3이 0과 같음을 보입니다

혹은 v1이 -2v3과 같기 때문에
-2t가 된다고 할 수 있습니다

그래서 λ=-3에 대응하는 고유공간은

모든 벡터 v1, v2, v3의 집합 중에서

t 곱하기, v3은 t입니다

v3은 그냥 t이고

v2도 t입니다

그래서 1 곱하기 t입니다

그리고 v1은 -2 곱하기 t입니다

t는 임의의 실수이고요

다른 식으로 말하자면

λ=-3에 대응하는 고유공간은

λ=-3일 때

벡터 -2, 1, 1의 생성과 같습니다

이렇게요

흥미로워 보입니다

왜냐하면 이 벡터를 위의 이들 벡터와 내적하면

0을 얻을 것 같기 때문입니다

진짜 그런가요?

-2 곱하기 1/2는 -1입니다

그리고 1이 있습니다

더하면 0이 되겠네요

그리고 -2와 1/2를 곱하면

네

이 두 벡터들과 내적하면 각각 0을 얻게 됩니다

그래서 이 선은 저 평면과 직교합니다

아주 흥미롭습니다

무엇을 하는지 시각화시키고자 그림으로 나타내 보겠습니다

3x3 행렬 A가 있었고

R3의 어떤 변환을 나타내는 행렬이었습니다

그리고 두 개의 고유값을 지닙니다

각 고유값에 대응하는 고유공간이 있었고요

고유값 3에 대응하는 고유공간은

R3의 평면이었습니다

그래서 이는 λ=3에 대응하는 고유공간입니다

이는 여기 두 벡터의 생성이고요

이들을 그린다면 이런 식으로 나오겠네요

이렇게요

그리고 λ=-3에 대응하는 고유공간은

직선이었습니다

이 평면에 수직인 직선이었습니다

이런 식으로 생긴 직선입니다

이 벡터의 생성입니다

이 벡터를 그린다면

이런 식으로 나타날 것입니다

이 벡터로 생성됩니다

λ=-3에 대응하는 고유공간이라는 것입니다

고유값과 고유공간을

제대로 해석하는 게 맞는지 확인해 보겠습니다

어떤 고유벡터가 주어졌을 때

고유벡터 x라고 합시다

여기에 변환을 적용하면

행렬 A와 곱하면

세 배 확대됩니다

λ=3인 고유공간에 있기 때문입니다

그래서 Ax를 구하면 x의 세 배가 됩니다

이는 Ax가 되며 여기서 의미하는 바입니다

여기의 모든 벡터에 대해 해당됩니다

만약 이 벡터가 x라면, 그리고 Ax를 구한다면

세 배 길어질 것입니다

이제 여기 위에 벡터가 있다고 해 봅시다

λ=-3에 해당하는 이 고유공간에 있는 벡터에

변환을 적용한다고 해 봅시다

이 벡터를 x라고 해 봅시다

x의 변환을 적용하면

반대 방향으로 세 배 길어질 것입니다

여전히 이 직선 위에 있습니다

그래서 아래쪽으로 이렇게 길어집니다

그리고 이는 Ax입니다

동일하게 길이가 세 배 길어지지만

방향이 반대로 될 것입니다

왜냐하면 λ=-3에 대응되기 때문입니다

그래서 어찌 되었건 중요한 내용을 다루었습니다

3x3 행렬의 고유값을 알아냈을 뿐 아니라

모든 고유벡터도 알아냈습니다

무한히 존재하는 고유벡터들입니다

그러나 이들은 두 개의 고유공간을 나타내는데

각각 두 고유값 3과 -3에 대응하는 공간입니다

다음 동영상에서 뵙겠습니다