Алгебра I: Квадратное уравнение

53-57, Квадратное уравнение

Мы на задаче 53

Тони решает уравнение методом выделения полного квадрата

ax в квадрате плюс bx плюс c равно нулю, где а

больше или равно нулю.

Это обычное квадратное уравнение

Посмотрим, что здесь сделано.

Сначала, вычли из обеих частей уравнения c и получили

ax в квадрате плюс bx равно минус c

Хорошо, этого достаточно.

А теперь

делим обе части на а

Правильно.

Получили минус c/a.

Какой шаг должен быть третьим в решении?

Надо выделить полный квадрат

или дополнить эту часть до него.

Посмотрим, как мы можем это сделать.

Мы имеем x в квадрате плюс b/a x - оставим это

здесь мало места -- равно минус c/a

Для того, чтобы это был полный квадрат мы должны добавить

что-нибудь здесь, мы должны добавить число.

Из прошлых видео мы узнали и

псевдо-доказали это

И, на самом деле, в нескольких видео я только

выделял полный квадрат.

Вам по сути нужно добавить любое число, добавьте

это число в квадрате деленное на два.

А если вам кажется это бессмысленным, смотрите видео Кан Академии

по полному квадрату.

Но что такое половина от b/a?

Итак, это b деленное на 2a.

Значит, половина b/a равно b разделить на 2a

А потом, мы добавляем это в квадрате.

Итак давайте добавим это в обе части уравнения.

Итак, мы остались с x в квадрате плюс b/a x.

И мы хотим добавить это в квадрате.

Плюс b/2a в квадрате равно минус c/a.

Добавляя что-либо в одну часть уравнения, вы должны

добавить и в другую часть то же самое.

Значит, нам нужно добавить это в обе части.

Плюс b разделить на 2a в квадрате.

И давайте глянем, решили ли мы таким образом задачу

так, как задано?

X, b делённое на 2a -- правильно.

Это именно то, что мы сделали. X в квадрате плюс b/a плюс b

деленное на 2a в квадрате, и добавили это в обе части уравнения.

Значит, D правильный ответ

Теперь если вас это немного смущает или это не было

очевидно для вас, я не хочу, чтобы вы

запоминали эти шаги.

Смотрите видео Кан Академии по выделению полного квадрата

Следующая задача, 56

нет, 54

Хорошо, вот еще одна, которая должна быть вырезана и вставлена.

Отлично, четыре шага для выведения квадратичной формулы

показаны ниже.

Я говорил в предыдущих видео что вы можете вывести квадратное уравнение

методом выделения полного квадрата.

и как раз это мы делаем в другом видео.

Я не хочу давать слишком много затычек для других видео,

но давайте посмотрим что они хотят сделать.

Какой правильный порядок этих шагов?

Итак, первое с чего вы хотите начать это просто

квадратное уравнение.

и это первый шаг.

Это место где мы начинали в предыдущей задаче.

дальше что вы хотите сделать это добавить 1/2 этого в квадрате к

обеим частям.

итак, b/2a в квадрате вы хотите добавить к обеим сторонам, и

это то,что они сделали здесь.

значит наш порядок это I

и потом вы хотите сделать IV

это то, что мы сделали в последней задаче

мы сделали IV

и потом отсюда, вы знаете что это выражение здесь

должно равняться х плюс b/2a в квадрате

и опять, смотрите далее видео о выделении полного квадрата,

если это вам кажется бессмысленным.

Но вся причина почему вы добавили это сюда , это то, что

вы знали это, окей, какие два числа, когда я их умножу,

равны b/2a в квадрате, и когда я сложу их равны b/a?

что ж, очевидно, это b/2a.

Если вы добавите это дважды, вы получите b/a

если возведете в квадрат, вы получите полное выражение

значит, говорите, о , это просто х плюс b/2a в квадрате и вы

получаете это здесь.

и потом, равно -- и они просто

упрощают эту дробь

Они нашли общий знаменатель и все остальное.

Итак, далее - шаг второй.

После чего, все, что остается -- это шаг третий.

Итак, вы получили просто-напросто квадратное уравнение.

В общем, первый, затем четвертый, потом второй, потом третий.

Это вариант A.

Задача 55

Какие решения -- ладно, я помещу

все варианты сюда

Который из вариантов является корнем уравнения

Итак, прямо сразу вы видите во всех вариантах

эти квадратные корни и все такое.

Это не то, что вы бы хотели.

Вы бы хотели использовать квадратное уравнение.

Итак, начнем.

Квадратное уравнение: если это Ax в квадрате

плюс Bx, плюс C -- равно нулю.

Корень уравнения: минус b

... напишем маленькими буквами...

плюс или минус корень квадратный из b в квадрате минус 4ac.

И все это поделить на 2a.

Это все выводится из метода выделения полного квадрата,

но вы делали это в другом видео.

В общем, давайте выполним подстановку.

Чему равно b?

b равно -1, так?

Минус -1 -- это +1.

Плюс или минус корень квадратный из b в квадрате

... -1 в квадрате -- это 1....

Вычесть 4, умноженное на a.

Это 2

умножить на 2,

умножить на c.

c равно -4.

Умножаем на -4.

Все это делить на 2a.

a равно 2, 2 умножить на a -- это 4.

Итак, получается 1 плюс или минус корень квадратный.

... тут у нас 1...

Здесь -4 умножаем на 2 и снова на -4.

Это то же самое, что +4 умножить на 2 и снова на 4.

Давайте просто уберем этот минус.

Это плюс

и нет минуса здесь.

Посмотрим, 4 умножить на 2 -- это 8,

умножить на 4 -- это 32,

прибавить 1 -- это 33,

Все это поделить на 4.

Пока получается не совсем это.

Сказано, который из вариантов является решением уравнения?

Посмотрим.

Если нам нужно упростить это...

О, это здесь, так?

У нас есть 1 плюс или минус

квадратный корень из 33 и делить на 4.

Тут написан один из них.

Просто вариант с плюсом.

Таким образом C -- это ответ.

Еще одно могло бы быть, если бы здесь был знак минус.

Ладно, следующая задача.

Задача 56.

Это еще одна, которую нужно вырезать и вставить.

Какое из утверждений лучше всего объясняет причину

отсутствия действительных корней квадратного уравнения?

В общем, я уже предполагал причину

почему оно может не иметь решения.

Но по большому счету... ладно, давайте попробуем решить квадратное уравнение.

Прежде чем смотреть на задачу,

давайте сделаем предположение.

Это -b плюс или минус квадратный корень из

b в квадрате минус 4ac, и все это делить на 2a.

Мой вопрос вам: когда это не имеет смысла?

Ну, вы знаете, это нормально для любого b и любого 2a.

Но когда знак квадратного корня разваливается,

по крайней мере при работе с действительными числами,

и это верно?

В общем, это когда у нас отрицательное число здесь.

Если получилось отрицательное число под знаком квадратного корня,

пока мы не изучили мнимые числа,

не ясно, что делать.

Нет действительного решения квадратного уравнения.

Потому если b в квадрате минус 4ac меньше нуля,

то это проблема.

Нет действительного решения.

Нельзя вычислить квадратный корень отрицательного числа,

если мы имеем дела с действительными числами.

В общем, именно это, возможно, создает проблемы здесь.

Посмотрим. Чему равно b в квадрате минус 4ac?

b равно 1,

поэтому 1 минус 4 и умножить на a

равно 2.

2 умножить на c -- это 7.

Ясно, что 1 минус 4, умноженное на 2 и на 7,

меньше нуля.

Итак, посмотрим, что тут есть.

Значение 1 в квадрате... о, правильно...

Это b в квадрате.

1 в квадрате то же самое, что 1.

1 в квадрате минус 4, умноженное на 2 и на 7,

понятно, что отрицательное.

Поэтому нет действительных решений

для этого уравнения.

Следующая задача

Мне нужно больше места.

Нужно найти корни

квадратного уравнения.

Я просто скопирую его сюда.

Это по сути набор значений x,

при которых выполняется равенство.

Очевидно, что при любом x, который будет подставлен,

левая часть должна стать равна нулю.

Итак, какие значения x подойдут?

Просто требуется решить квадратное уравнение.

Мы уже писали это несколько раз, но давайте просто

запишем все еще раз.

Итак, это -b.

b = 2.

Поэтому тут -2 плюс или минус

корень квадратный из b в квадрате,

то есть 2 в квадрате,

вычесть 4 умножить на a.

a равно 8.

И умножить на c, которое равно 1.

Все это делить на 2a.

Итак, 2 на 8, что равно -2 плюс или минус

корень квадратный из 4. Посмотрим...

Я уже записал это?

-b плюс или минус корень квадратный из b в квадрате

вычесть 4ac.

Так.

Получаем 4 минус 32.

Вот поэтому я проверил дважды, чтобы увидеть сделал ли

я это правильно, потому что здесь получается отрицательное число.

Все это поделить на 16.

И, похоже, все закончилось той же проблемой, что была

в прошлой задаче. 4 минус 32, получается -2 плюс или минус

корень квадратный из -28 делить на 16.

И если мы оперируем действительными числами, это значит,

что нет действительных корней.

Сначала я переживал,

я подумал, что ошибся по невнимательности, или что здесь

ошибка в задаче.

Но когда посмотрел на варианты.

Здесь есть вариант D.

Я скопирую вариант D сюда.

Вариант D.

Нет действительных корней.

Итак, это ответ, потому что нельзя извлечь квадратный корень

из отрицательного числа и остаться в множестве действительных чисел.

Посмотрим, есть ли время для еще одной...

Уже почти 10 минут.

Я подожду до следующего видео.

Увидемся скоро

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.