-
Искам в това видео да представим
-
като р-степенен ред от вида
1/(n^p) за р > 0
-
или да намерим приближението,
-
апроксимацията като
р-степенен ред на аркустангенс от 2х,
-
центрирано около 0.
-
Първо да кажем, че искаме първите
четири члена, различни от нула,
-
на апроксимацията като р-степенен ред
на аркустангенс от 2х около нула.
-
Това всъщност е ред
на Маклорен от аркустангенс от 2х,
-
първите четири члена,
които са различни от нула.
-
Ако чувстваш увереност,
-
те насърчавам да спреш
видеото
-
и да опиташ самостоятелно.
-
Вероятно опита и сигурно
намери първата производна.
-
Сигурно забеляза, че
производната спрямо х
-
от аркустангенс от 2х е равна на...
-
само да припомня,
-
ако не ти стана
ясно от първия път.
-
Това ще стане: производната
от аркустангенс от х
-
е 1/(1 + х^2),
-
което е производната
на това 2х, което е
-
2 върху 1 плюс цялото
това нещо на квадрат, 2х на квадрат.
-
1 плюс, това е 4х^2.
-
После, когато опита
да намериш още членове
-
на реда на Маклорен,
-
вероятно намери още
производни на това,
-
и то много скоро
става много сложно,
-
особено ако търсиш първите
четири члена, различни от нула.
-
Вероятно си помисли:
-
трябва да има някаква
хитрина,
-
за която не се досетих,
-
когато просто се опитвах
да вървя напред,
-
(игра на думи)
-
и да намеря този р-степенен ред,
-
първите четири члена, различни
от нула от този р-степенен ред,
-
от аркустангенс от 2х,
центриран около нулата.
-
Да, така е, тук
има специална хитрина.
-
Тази хитрина е, че
-
вместо да го правим
директно,
-
можем да проверим дали не можем
да представим р-степенния ред,
-
първите четири члена
от този ред ето тук,
-
и после да намерим
примитивната функция
-
и да намерим р-степенния ред
-
за аркустангенс от 2х,
като се уверим, че
-
тук получаваме константа,
-
която удовлетворява условието,
че сме центрирани около нулата.
-
Знам какво си мислиш
в момента.
-
Тук изглежда, че отново
имаме същия проблем.
-
Ако искам да представя това
като р-степенен ред,
-
първите четири члена от него,
-
аз пак трябва да намеря
производната на това
-
няколко пъти, което
изглежда точно толкова трудно,
-
но това е хитрината,
ако мога да се изразя така.
-
Ключовото тук е, да кажем,
че f(х)
-
което, разбира се, е производна на
аркустангенс от 2х
-
е 2/1 + 4х^2.
-
Ако имахме различна функция,
-
при която това тук е по-чисто,
нямаме цялата тази сложност,
-
когато намираме производните.
-
Да кажем, че имаме
друга функция g(х).
-
Ще използвам цвят, който
още не съм използвал.
-
Нека да имаме g(х)
-
е равно на 1/(1 + х).
-
Това е интересно, защото
наистина е много лесно,
-
и това е същото като
(1 + х) на степен –1.
-
g(х) е интересна, защото
производните ѝ се намират лесно.
-
Например g'(х) ще бъде равно...
-
по верижното правило
-
производната на (1 + х) е просто 1,
-
значи е равно на –1
плюс х^(–2).
-
Ако искаме да намерим
втората производна на това:
-
g''(х) е равна на –2
-
по –1, което е 2, по (1 + х)
-
на степен –3.
-
Третата производна на това
е равна на... да видим.
-
–3 по 2 е –6,
-
по (1 + х) на степен –4.
-
Знам, че ще кажеш: "Сал,
-
а това не те ли притеснява?
-
Защо правиш това?"
-
Изчакай само секунда.
-
Да кажем набързо, че
можахме да намерим
-
първите три производни на g(х),
-
и сега е много лесно да намерим
първите четири члена
-
в р-степенния ред,
-
особено в ред на Маклорен,
-
а редът е ред на Маклорен,
-
когато р-степенния ред
е центриран около нула.
-
Само трябва да сметнем
тези за нула.
-
g(0) е равно на 1,
-
g'(0) е равно на –1.
-
g''(0) става 1 + 0,
и после –3,
-
1 по 2 е просто 2.
-
После третата производна,
изчислена за 0,
-
е равна на –6.
-
Мога да напиша g(х)
е приблизително равно,
-
ще събера тези първите
четири члена,
-
получавам g(0), което е едно,
-
минус g'(0) по х.
-
Това минус 1 по х,
значи –х,
-
плюс g''(0),
-
2/2! по х^2.
-
Това е равно на 1 по х^2,
-
ще напиша само това.
-
Това е равно на +х^2,
-
после имаме плюс g'''(0)
(три пъти прим),
-
което е –6 върху 3!, по х^3.
-
Три факториел е 6,
-
значи –6 делено на 6
е просто –1.
-
Това става –х^3.
-
И знам какво си мислиш.
-
"Добре, Сал, започна
с трудна задача,
-
а я направи много по-лесна,
-
за представяне като
р-степенен ред.
-
С какво помага това?"
-
Това е важната хитрина,
която обещах в началото на клипа.
-
Отдавна обещаната хитрина
-
е, че... търся подходящ
цвят за основната хитрина,
-
това е, че можем да
запишем f(х).
-
Обърни внимание, че
f(х) e равно на
-
f(х) е равно на 2 по g(4х^2)
-
Сега просто ще заместим
хиксовете с 4x^2.
-
Ще получим 1/(1 + 4х^2)
-
и после умножаваме
цялото по две,
-
и получаваме това тук.
-
Ако f(х) е равно на това,
-
тогава съответстващият
на f(х) р-степенен ред
-
просто ще бъде да вземем
този степенен ред
-
или поне първите
му четири члена,
-
и да заместим хиксовете
с 4х^2
-
и после да умножим
цялото по 2.
-
Да го направим.
-
Можем да напишем, че
f(х)
-
е приблизително равно на
-
2 по този израз,
-
когато х е равно на 4х^2.
-
Тук имаме 1 минус,
но вместо х
-
ще запиша 4х^2,
-
плюс х^2, но тук
вместо х
-
става 4х^2 на квадрат.
-
Става плюс (4х^2)^2.
-
Това е равно на 16х^4,
-
само да го запиша,
-
това е +16х^4.
-
И накрая –х^3,
-
пак заместваме х с 4х^2,
-
става –(4х^2)^3.
-
Това е равно на 64х^6.
-
Ще го запиша, –64х^6.
-
И след това ще бъде равно на,
-
f(х) е приблизително равно на...
-
умножаваме по това 2 пред
скобите, 2 минус 8х^2
-
плюс 32х^4
-
минус 128х^6.
-
Ето така с малко заместване,
-
успях по един
достатъчно лесен начин
-
да намеря първите
четири члена, различни от нула,
-
от р-степенния ред за
2/(1 + 4х^2),
-
което е производната
-
на р-степенния ред
за аркустангенс от 2х.
-
Ще го запиша,
-
значи аркустангенс от 2х,
-
което е равно на
примитивната функция на f(х), dx
-
което е равно на
примитивната функция
-
на цялото това тук,
на всичко това.
-
Примитивната функция на
2 – 8х^2 + 32х^4 – 128х^6.
-
Ще сложа знак за
приблизително,
-
защото в момента
правим апроксимация
-
с р-степенен ред.
-
dx, и на какво ще е равно това?
-
Получаваме приблизително
равно на...
-
тук ще има константа.
-
Ще запиша константата първо,
-
защото, когато записваме
първия си степенен ред или ред на Маклорен,
-
първият член е константа.
-
Това е нашата функция,
изчислена за нула.
-
Ще имаме константа,
-
ако намерим примитивната
функция от 2,
-
това ще бъде +2х.
-
Примитивната функция от това,
да видим, х^3,
-
делим 8 на 3,
-
значи става –8/3х^3,
-
после плюс 32х^5 върху 5,
-
минус 128х^7 върху 7.
-
Вече сме почти на финала.
-
Получихме поне четири
члена, различни от нула,
-
ако това е различно от нула,
-
това ще бъдат пет члена,
различни от нула.
-
И сега да проверим, че
нашата константа
-
е подходяща за
аркустангенс от 2х.
-
Това означава да сметнем
аркустангенс
-
от стойността на функцията,
когато х е равно на нула.
-
Колко е аркустангенс от нула?
-
Спомни си, че сме
центрирани около нула,
-
така че по-добре
да видим направо.
-
Това е едно от
най-основните неща,
-
когато правим апроксимация с
редове на Маклорен.
-
Центрирани сме около нула,
-
така че апроксимацията
за нула
-
би трябвало да е равна на
функцията, изчислена за нула.
-
Аркустангенс от 2 по нула
-
ще бъде нула.
-
Това тук, когато го сметнем
за нула,
-
получаваме, че С
трябва да е равно на нула.
-
С трябва да е нула, ако искаме
това тук да е нула,
-
когато х е равно на нула.
-
И така вече сме готови.
-
Успяхме да намерим,че
нашият аркустангенс от 2х
-
е приблизително равен на
-
2х – (8/3)х^3 + (32/5)х^5
-
минус (128/7)х^7.
-
Ако искаме да намерим
още членове,
-
трябваше да намерим
повече членове
-
по същия начин, както
го направихме,
-
но да го направим
за повече членове.
-
Надявам се, че ти хареса
тази доста сложна задача,
-
но както видя, тя се оказа
не чак толкова сложна,
-
колкото си мислехме.