WEBVTT

00:00:00.200 --> 00:00:03.140
Искам в това видео да представим

00:00:03.140 --> 00:00:06.980
като р-степенен ред от вида
1/(n^p) за р > 0

00:00:06.980 --> 00:00:10.580
или да намерим приближението,

00:00:10.580 --> 00:00:15.560
апроксимацията като
р-степенен ред на аркустангенс от 2х,

00:00:15.560 --> 00:00:16.900
центрирано около 0.

00:00:16.900 --> 00:00:20.633
Първо да кажем, че искаме първите 
четири члена, различни от нула,

00:00:20.640 --> 00:00:25.960
на апроксимацията като р-степенен ред
на аркустангенс от 2х около нула.

00:00:26.100 --> 00:00:29.233
Това всъщност е ред 
на Маклорен от аркустангенс от 2х,

00:00:29.233 --> 00:00:32.266
първите четири члена,
които са различни от нула.

00:00:32.266 --> 00:00:34.066
Ако чувстваш увереност,

00:00:34.066 --> 00:00:35.433
те насърчавам да спреш
видеото

00:00:35.440 --> 00:00:38.020
и да опиташ самостоятелно.

00:00:38.160 --> 00:00:43.280
Вероятно опита и сигурно
намери първата производна.

00:00:43.440 --> 00:00:47.820
Сигурно забеляза, че
производната спрямо х

00:00:47.820 --> 00:00:52.580
от аркустангенс от 2х е равна на...

00:00:52.580 --> 00:00:54.260
само да припомня,

00:00:54.266 --> 00:00:55.800
ако не ти стана
ясно от първия път.

00:00:55.800 --> 00:00:58.233
Това ще стане: производната
от аркустангенс от х

00:00:58.233 --> 00:01:01.100
е 1/(1 + х^2),

00:01:01.100 --> 00:01:05.520
което е производната
на това 2х, което е

00:01:05.600 --> 00:01:09.400
2 върху 1 плюс цялото 
това нещо на квадрат, 2х на квадрат.

00:01:09.400 --> 00:01:14.400
1 плюс, това е 4х^2.

00:01:14.400 --> 00:01:18.400
После, когато опита
да намериш още членове

00:01:18.400 --> 00:01:19.866
на реда на Маклорен,

00:01:19.866 --> 00:01:22.000
вероятно намери още
производни на това,

00:01:22.000 --> 00:01:24.900
и то много скоро
става много сложно,

00:01:24.900 --> 00:01:28.360
особено ако търсиш първите
четири члена, различни от нула.

00:01:28.366 --> 00:01:29.766
Вероятно си помисли:

00:01:29.766 --> 00:01:31.400
трябва да има някаква 
хитрина,

00:01:31.400 --> 00:01:33.700
за която не се досетих,

00:01:33.700 --> 00:01:36.166
когато просто се опитвах
да вървя напред,

00:01:36.166 --> 00:01:38.866
(игра на думи)

00:01:38.866 --> 00:01:40.333
и да намеря този р-степенен ред,

00:01:40.333 --> 00:01:42.542
първите четири члена, различни 
от нула от този р-степенен ред,

00:01:42.542 --> 00:01:45.133
от аркустангенс от 2х,
центриран около нулата.

00:01:45.133 --> 00:01:47.900
Да, така е, тук
има специална хитрина.

00:01:47.900 --> 00:01:50.100
Тази хитрина е, че

00:01:50.100 --> 00:01:52.266
вместо да го правим
директно,

00:01:52.266 --> 00:01:54.233
можем да проверим дали не можем 
да представим р-степенния ред,

00:01:54.233 --> 00:01:57.500
първите четири члена
от този ред ето тук,

00:01:57.500 --> 00:02:01.133
и после да намерим 
примитивната функция

00:02:01.133 --> 00:02:02.800
и да намерим р-степенния ред

00:02:02.800 --> 00:02:04.548
за аркустангенс от 2х,
като се уверим, че

00:02:04.548 --> 00:02:05.900
тук получаваме константа,

00:02:05.900 --> 00:02:10.460
която удовлетворява условието,
че сме центрирани около нулата.

00:02:10.460 --> 00:02:12.000
Знам какво си мислиш
в момента.

00:02:12.009 --> 00:02:15.080
Тук изглежда, че отново 
имаме същия проблем.

00:02:15.160 --> 00:02:18.133
Ако искам да представя това
като р-степенен ред,

00:02:18.133 --> 00:02:19.266
първите четири члена от него,

00:02:19.266 --> 00:02:21.000
аз пак трябва да намеря 
производната на това

00:02:21.000 --> 00:02:23.333
няколко пъти, което 
изглежда точно толкова трудно,

00:02:23.333 --> 00:02:26.200
но това е хитрината, 
ако мога да се изразя така.

00:02:26.200 --> 00:02:29.760
Ключовото тук е, да кажем, 
че f(х)

00:02:29.920 --> 00:02:32.920
което, разбира се, е производна на
аркустангенс от 2х

00:02:32.920 --> 00:02:38.740
е 2/1 + 4х^2.

00:02:38.740 --> 00:02:42.940
Ако имахме различна функция,

00:02:42.960 --> 00:02:45.900
при която това тук е по-чисто,
нямаме цялата тази сложност,

00:02:45.940 --> 00:02:48.100
когато намираме производните.

00:02:48.100 --> 00:02:50.466
Да кажем, че имаме
друга функция g(х).

00:02:50.466 --> 00:02:53.040
Ще използвам цвят, който
още не съм използвал.

00:02:53.200 --> 00:02:56.133
Нека да имаме g(х)

00:02:56.133 --> 00:03:00.033
е равно на 1/(1 + х).

00:03:00.033 --> 00:03:02.800
Това е интересно, защото
наистина е много лесно,

00:03:02.800 --> 00:03:08.240
и това е същото като
(1 + х) на степен –1.

00:03:08.300 --> 00:03:13.480
g(х) е интересна, защото
производните ѝ се намират лесно.

00:03:13.640 --> 00:03:15.866
Например g'(х) ще бъде равно...

00:03:15.866 --> 00:03:18.333
по верижното правило

00:03:18.333 --> 00:03:19.866
производната на (1 + х) е просто 1,

00:03:19.866 --> 00:03:24.280
значи е равно на –1 
плюс х^(–2).

00:03:24.340 --> 00:03:26.100
Ако искаме да намерим 
втората производна на това:

00:03:26.100 --> 00:03:28.756
g''(х) е равна на –2

00:03:28.756 --> 00:03:31.617
по –1, което е 2, по (1 + х)

00:03:31.617 --> 00:03:33.566
на степен –3.

00:03:33.566 --> 00:03:39.160
Третата производна на това
е равна на... да видим.

00:03:39.500 --> 00:03:41.560
–3 по 2 е –6,

00:03:41.566 --> 00:03:44.700
по (1 + х) на степен –4.

00:03:44.700 --> 00:03:45.633
Знам, че ще кажеш: "Сал,

00:03:45.633 --> 00:03:47.133
а това не те ли притеснява?

00:03:47.133 --> 00:03:47.933
Защо правиш това?"

00:03:47.933 --> 00:03:49.666
Изчакай само секунда.

00:03:49.666 --> 00:03:51.600
Да кажем набързо, че
можахме да намерим

00:03:51.600 --> 00:03:53.966
първите три производни на g(х),

00:03:53.966 --> 00:03:57.133
и сега е много лесно да намерим
първите четири члена

00:03:57.133 --> 00:03:58.900
в р-степенния ред,

00:03:58.900 --> 00:04:00.066
особено в ред на Маклорен,

00:04:00.066 --> 00:04:01.433
а редът е ред на Маклорен,

00:04:01.433 --> 00:04:03.489
когато р-степенния ред
е центриран около нула.

00:04:03.489 --> 00:04:05.400
Само трябва да сметнем
тези за нула.

00:04:05.400 --> 00:04:08.933
g(0) е равно на 1,

00:04:08.940 --> 00:04:13.820
g'(0) е равно на –1.

00:04:13.920 --> 00:04:19.020
g''(0) става 1 + 0,
и после –3,

00:04:19.220 --> 00:04:21.200
1 по 2 е просто 2.

00:04:21.200 --> 00:04:25.566
После третата производна,
изчислена за 0,

00:04:25.566 --> 00:04:27.966
е равна на –6.

00:04:27.966 --> 00:04:34.040
Мога да напиша g(х)
е приблизително равно,

00:04:34.260 --> 00:04:36.200
ще събера тези първите
четири члена,

00:04:36.200 --> 00:04:39.133
получавам g(0), което е едно,

00:04:39.133 --> 00:04:41.966
минус g'(0) по х.

00:04:41.966 --> 00:04:47.700
Това минус 1 по х,
значи –х,

00:04:47.820 --> 00:04:50.800
плюс g''(0),

00:04:50.800 --> 00:04:54.900
2/2! по х^2.

00:04:54.900 --> 00:04:56.766
Това е равно на 1 по х^2,

00:04:56.766 --> 00:04:58.066
ще напиша само това.

00:04:58.419 --> 00:05:03.323
Това е равно на +х^2,

00:05:03.323 --> 00:05:08.250
после имаме плюс g'''(0) 
(три пъти прим),

00:05:08.250 --> 00:05:12.160
което е –6 върху 3!, по х^3.

00:05:12.240 --> 00:05:14.133
Три факториел е 6,

00:05:14.133 --> 00:05:16.466
значи –6 делено на 6
е просто –1.

00:05:16.466 --> 00:05:22.180
Това става –х^3.

00:05:22.180 --> 00:05:24.100
И знам какво си мислиш.

00:05:24.100 --> 00:05:26.167
"Добре, Сал, започна
с трудна задача,

00:05:26.167 --> 00:05:27.733
а я направи много по-лесна,

00:05:27.733 --> 00:05:29.666
за представяне като
р-степенен ред.

00:05:29.666 --> 00:05:30.907
С какво помага това?"

00:05:30.907 --> 00:05:35.040
Това е важната хитрина,
която обещах в началото на клипа.

00:05:35.140 --> 00:05:39.600
Отдавна обещаната хитрина

00:05:39.600 --> 00:05:42.800
е, че... търся подходящ
цвят за основната хитрина,

00:05:42.800 --> 00:05:44.866
това е, че можем да 
запишем f(х).

00:05:44.866 --> 00:05:48.166
Обърни внимание, че
f(х) e равно на

00:05:48.166 --> 00:05:53.780
f(х) е равно на 2 по g(4х^2)

00:05:54.860 --> 00:05:58.660
Сега просто ще заместим
хиксовете с 4x^2.

00:05:58.666 --> 00:06:00.942
Ще получим 1/(1 + 4х^2)

00:06:00.942 --> 00:06:02.767
и после умножаваме 
цялото по две,

00:06:02.767 --> 00:06:06.040
и получаваме това тук.

00:06:06.240 --> 00:06:07.720
Ако f(х) е равно на това,

00:06:07.733 --> 00:06:10.200
тогава съответстващият
на f(х) р-степенен ред

00:06:10.200 --> 00:06:13.166
просто ще бъде да вземем
този степенен ред

00:06:13.166 --> 00:06:14.800
или поне първите
му четири члена,

00:06:14.800 --> 00:06:17.366
и да заместим хиксовете
с 4х^2

00:06:17.366 --> 00:06:19.767
и после да умножим 
цялото по 2.

00:06:19.767 --> 00:06:21.100
Да го направим.

00:06:21.780 --> 00:06:30.120
Можем да напишем, че
f(х)

00:06:30.380 --> 00:06:33.580
е приблизително равно на

00:06:33.660 --> 00:06:36.720
2 по този израз,

00:06:36.733 --> 00:06:39.573
когато х е равно на 4х^2.

00:06:39.573 --> 00:06:43.800
Тук имаме 1 минус,
но вместо х

00:06:43.800 --> 00:06:46.233
ще запиша 4х^2,

00:06:46.233 --> 00:06:48.659
плюс х^2, но тук
вместо х

00:06:48.659 --> 00:06:50.767
става 4х^2 на квадрат.

00:06:50.767 --> 00:06:54.433
Става плюс (4х^2)^2.

00:06:54.433 --> 00:06:56.966
Това е равно на 16х^4,

00:06:56.966 --> 00:06:57.966
само да го запиша,

00:06:57.966 --> 00:07:02.400
това е +16х^4.

00:07:02.400 --> 00:07:04.100
И накрая –х^3,

00:07:04.100 --> 00:07:05.733
пак заместваме х с 4х^2,

00:07:05.733 --> 00:07:09.833
става –(4х^2)^3.

00:07:09.833 --> 00:07:12.966
Това е равно на 64х^6.

00:07:12.966 --> 00:07:19.080
Ще го запиша, –64х^6.

00:07:19.080 --> 00:07:21.300
И след това ще бъде равно на,

00:07:21.302 --> 00:07:23.200
f(х) е приблизително равно на...

00:07:23.200 --> 00:07:28.100
умножаваме по това 2 пред 
скобите, 2 минус 8х^2

00:07:28.100 --> 00:07:31.100
плюс 32х^4

00:07:31.100 --> 00:07:34.533
минус 128х^6.

00:07:34.533 --> 00:07:37.500
Ето така с малко заместване,

00:07:37.500 --> 00:07:40.900
успях по един 
достатъчно лесен начин

00:07:40.900 --> 00:07:43.500
да намеря първите
четири члена, различни от нула,

00:07:43.500 --> 00:07:47.767
от р-степенния ред за
2/(1 + 4х^2),

00:07:47.767 --> 00:07:51.160
което е производната

00:07:51.300 --> 00:07:56.820
на р-степенния ред 
за аркустангенс от 2х.

00:07:57.100 --> 00:08:01.940
Ще го запиша,

00:08:02.020 --> 00:08:09.780
значи аркустангенс от 2х,

00:08:09.920 --> 00:08:16.740
което е равно на 
примитивната функция на f(х), dx

00:08:16.900 --> 00:08:21.033
което е равно на
примитивната функция

00:08:21.033 --> 00:08:22.800
на цялото това тук, 
на всичко това.

00:08:22.800 --> 00:08:36.200
Примитивната функция на
2 – 8х^2 + 32х^4 – 128х^6.

00:08:36.460 --> 00:08:38.920
Ще сложа знак за
приблизително,

00:08:38.933 --> 00:08:42.033
защото в момента
правим апроксимация

00:08:42.033 --> 00:08:43.367
с р-степенен ред.

00:08:43.367 --> 00:08:46.533
dx, и на какво ще е равно това?

00:08:46.533 --> 00:08:50.766
Получаваме приблизително
равно на...

00:08:50.766 --> 00:08:52.900
тук ще има константа.

00:08:52.900 --> 00:08:53.966
Ще запиша константата първо,

00:08:53.966 --> 00:08:56.233
защото, когато записваме
първия си степенен ред или ред на Маклорен,

00:08:56.233 --> 00:08:58.000
първият член е константа.

00:08:58.000 --> 00:09:00.833
Това е нашата функция, 
изчислена за нула.

00:09:00.833 --> 00:09:02.066
Ще имаме константа,

00:09:02.066 --> 00:09:03.666
ако намерим примитивната
функция от 2,

00:09:03.666 --> 00:09:07.233
това ще бъде +2х.

00:09:07.233 --> 00:09:10.266
Примитивната функция от това,
да видим, х^3,

00:09:10.266 --> 00:09:11.656
делим 8 на 3,

00:09:11.656 --> 00:09:16.103
значи става –8/3х^3,

00:09:16.103 --> 00:09:22.360
после плюс 32х^5 върху 5,

00:09:23.100 --> 00:09:30.120
минус 128х^7 върху 7.

00:09:30.400 --> 00:09:32.160
Вече сме почти на финала.

00:09:32.166 --> 00:09:34.866
Получихме поне четири
члена, различни от нула,

00:09:34.866 --> 00:09:35.900
ако това е различно от нула,

00:09:35.900 --> 00:09:37.666
това ще бъдат пет члена,
различни от нула.

00:09:37.666 --> 00:09:39.960
И сега да проверим, че
нашата константа

00:09:39.960 --> 00:09:42.040
е подходяща за 
аркустангенс от 2х.

00:09:42.140 --> 00:09:44.800
Това означава да сметнем
аркустангенс

00:09:44.800 --> 00:09:49.766
от стойността на функцията,
когато х е равно на нула.

00:09:49.766 --> 00:09:52.400
Колко е аркустангенс от нула?

00:09:52.400 --> 00:09:54.700
Спомни си, че сме
центрирани около нула,

00:09:54.700 --> 00:09:56.166
така че по-добре
да видим направо.

00:09:56.166 --> 00:09:58.233
Това е едно от 
най-основните неща,

00:09:58.233 --> 00:10:00.600
когато правим апроксимация с
редове на Маклорен.

00:10:00.600 --> 00:10:01.833
Центрирани сме около нула,

00:10:01.833 --> 00:10:05.766
така че апроксимацията
за нула

00:10:05.766 --> 00:10:08.200
би трябвало да е равна на
функцията, изчислена за нула.

00:10:08.200 --> 00:10:11.000
Аркустангенс от 2 по нула

00:10:11.000 --> 00:10:12.633
ще бъде нула.

00:10:12.633 --> 00:10:15.833
Това тук, когато го сметнем
за нула,

00:10:15.840 --> 00:10:20.160
получаваме, че С
трябва да е равно на нула.

00:10:20.300 --> 00:10:25.133
С трябва да е нула, ако искаме
това тук да е нула,

00:10:25.133 --> 00:10:26.700
когато х е равно на нула.

00:10:26.700 --> 00:10:29.400
И така вече сме готови.

00:10:29.780 --> 00:10:34.480
Успяхме да намерим,че
нашият аркустангенс от 2х

00:10:34.640 --> 00:10:37.080
е приблизително равен на

00:10:37.260 --> 00:10:45.780
2х – (8/3)х^3 + (32/5)х^5

00:10:45.860 --> 00:10:50.800
минус (128/7)х^7.

00:10:50.800 --> 00:10:51.933
Ако искаме да намерим
още членове,

00:10:51.933 --> 00:10:53.566
трябваше да намерим
повече членове

00:10:53.566 --> 00:10:55.233
по същия начин, както
го направихме,

00:10:55.233 --> 00:10:57.066
но да го направим
за повече членове.

00:10:57.066 --> 00:11:01.267
Надявам се, че ти хареса
тази доста сложна задача,

00:11:01.267 --> 00:11:03.533
но както видя, тя се оказа
не чак толкова сложна,

00:11:03.533 --> 00:11:04.600
колкото си мислехме.