Introduction to the quadratic equation

이차방정식 사용에 대한 프레젠테이션에 오신 것을 환영합니다

이차방정식이라는 단어는 뭔가 많이

복잡한 것처럼 들립니다

그리고 실제로 여러분이 처음 이차방정식을 보았을 때, 여러분은

음... 복잡하게 들릴 뿐만 아니라,

실제로도 복잡한 것 같네, 라고 말할겁니다

하지만 부디 바라건데, 이 프레젠테이션을 통해 실제로는

그다지 어렵지 않다는 걸 알게 되었으면 좋겠습니다

그리고 나중에 있을 프레젠테이션에선

이게 어디서 유래되었는지를 말해드릴거에요

전반적으로, 여러분은 이차방정식을 정리하는

방법에 대해 이미 배웠습니다

x^2 - x - 6 = 0

만약 제가 이 방정식을, x^2 - x - 6 = 0 이라고 쓰면

여러분은 이를 (x-3)(x+2) = 0 으로

정리할 수 있습니다

둘 중, x - 3이 0 이거나

x + 2가 0 이 되겠죠

그래서 x - 3 = 0, 혹은 x + 2 = 0 입니다

따라서 x는 3이거나, - 2가 됩니다

이 식을 그래프로 나타내 보면,

함수 f(x) = x^2 - x -6 으로 나타낼 수 있습니다

이 축은 f(x)축입니다

여러분에겐 y축이 더 익숙하겠지만, 이 문제를 풀기 위해선

별 상관 없습니다

그리고 이 축은 x 축입니다

만약 제가 이 방정식을 그래프로 나타낸다면,

x^2 - x - 6은 이렇게 보일것입니다

f(x) = -6입니다

그리고 그래프는 이런 형태로 그려질 겁니다

올라갑니다, 계속 올라갈거에요

그리고 그래프는 -6를 지날거에요
왜냐하면 x = 0 일때,

f(x) = -6이기 때문이죠

그래서 이 지점을 지나게 됩니다

또한 x축에서 f(x)가 0이 된다는 것을

알 수 있습니다, 맞죠?

왜냐하면 여기가 1

여기가 0

여기는 - 1

그래서 이곳은 f(x)가 0인 지점입니다

이 x축이요, 맞죠?

그리고 이 함수가 x = 3인 지점과

x = -2인 지점에서 0 이라는 것을 알 수 있습니다

사실 그건 우리가 여기서 풀었던 거에요

우리가 인수분해 문제를 풀고있었을 때,

뭘 하고 있는 건지 깨닫지 못했을 수도 있어요

하지만 f(x)가 이 식과 같다고 생각하면

0과도 같다고 말할 수 있습니다

그래서 이 그래프에서, 이 함수가

0일 때는 언제일까요?

이 함수가 0일 때가 언제일까요?

이 지점들에서 함수는 0입니다, 맞죠?

왜냐하면 이 지점에서 f(x)가 0 이기 때문이죠

그리고 우리가 이것을 인수분해로 풀었을 때,

f(x)를 0으로 만들었던 x값들이

이 두 지점이라는 것을 알 수 있습니다

그리고 어렵지 않은 전문용어로는, 이를

해 또는 근이라고 부릅니다

조금만 복습해봅시다

f(x) = x^2 + 4x + 4 라는 식에서

f(x)의 해 또는 근이 무엇일까요?

이는 f(x)와 x축이 교차하는 곳이 어딥니까?

라고 말하는 것과 같습니다

그리고 f(x)가 0일 때,

f(x)는 x축과 교차하게 됩니다, 맞죠?

만약 여러분이 그래프를 생각하고 있다면, 이미 그렸습니다

f(x) = 0 라고 하면, 우리는

0 = x^2 + 4x + 4 이라고 말할 수 있습니다

그리고 이를 (x+2)(x+2)로 정리할 수 있습니다

따라서 0 = x = -2 입니다

x = -2...

잘못됬네요, x = -2 입니다

자, 우린 이제 '인수분해가 쉬운 방정식'에서

근과 해를 찾는 방법을 알아냈습니다

하지만 이번엔 인수분해가 쉽지 않은 방정식을

풀어보도록 하죠

f(x) = -10x^2 - 9x + 1 이라는 식이 있다고 합시다

이 식을 10으로 나눈다 하더라도

분수가 나올 것입니다

이 이차식을 인수분해하는 건 상당히 어렵습니다

정확히 말하자면, 이차방정식 혹은

이차다항식 말입니다

하지만, 그래도 풀어봅시다

우리는 f(x)가 0일 때의 값을 찾아야합니다

0 = -10x^2 - 9x + 1

우리가 원하는 건 어떤 x 값이

이 방정식을 0으로 만드느냐, 입니다

여기서 우린 근의 공식이라는 도구를 사용할 수 있습니다

지금부터 여러분에게 수학에서 사용되고 암기에 도움이 될

몇 가지를 알려드릴게요

이차방정식에서, 이차방정식의 근은...

ax^2 + bx + c = 0 이라는 이차방정식이 있다고 합시다

ax^2 + bx + c = 0

이 예시에서 a는 -10이고

b는 -9, c는 1 입니다

공식은, x = { -b ± 루트(b^2 -4ac) } /2a 입니다

복잡해 보인다는 거 알고 있습니다
하지만 쓰다보면

그렇게 어렵진 않다는 걸 알게될 거에요

그리고 이 공식은 암기에 좋은 방법입니다

자, 우리가 방금 쓴 방정식을 공식에 대입해봅시다

a는 x항의 계수죠, 맞죠?

아... a는 이차항의 계수입니다

b는 일차항의 계수이고, c는 상수항입니다

공식에 대입해 봅시다

b는 얼마일까요?

b는 -9입니다

여기 보다시피

b는 -9이고, a는 -10입니다

c는 1입니다

맞죠?

그래서 b는 -9이고, -(-9)...

± 루트( (-9)^2 ...

(-9)^2는 81이네요

- 4a)

a는 -10

-10c, c는 1이고

복잡해보이는 거 알아요

부디 이해하셨으면 합니다

그리고 전체를 2a로 나누어야 합니다

a가 -10이니, 2a는 -20이 되겠네요

자, 이제 간단하게 만들어봅시다

-(-9)는 양수 9가 되고

± 루트 81...

-4(-10))

여기는 -10입니다

엄청 복잡하죠, 죄송합니다

그래서 -4(-10) = 40, 양수 40입니다

+ 40

그리고 전체를 -20으로 나누어줍니다

81 + 40 = 121 입니다

그래서 이건 9 ± 루트 121 을 -20으로
나누는 것이 됩니다

루트 121은 11입니다

이쪽으로 가서 쓸게요

여러분들이 흐름을 놓치지 않았으면 하네요

그래서 9 ± 11 을 -20으로 나눕니다

(9 + 11) ÷ (- 20)을 하면, 9 + 11은 20이고

20 ÷ (- 20)은 -1이 됩니다

그것이 두 근 중 하나입니다.

+ 9를 했으니... ± 이니까,

다른 한 근은 (9 - 11) ÷ (- 20)이 됩니다

(- 2) ÷ (- 20) = 1/10 입니다

그것이 나머지 근이었습니다

그래서 이 방정식을 그래프로 그리면

그래프가 x축과 교차하는 것을 볼 수 있습니다

아니면 f(x) = 0 을 만드는 x가...

-1 또는 1/10이라는 것을 알 수 있습니다

Part 2에서 더 많은 예제를 가져오겠습니다

지금 하면 오히려 여러분들을 더 혼동시킬 것 같습니다

그럼 이차방정식의 사용 Part2 에서 다시 여러분을 뵙겠습니다