이차방정식 사용에 대한 프레젠테이션에 오신 것을 환영합니다
이차방정식이라는 단어는 뭔가 많이
복잡한 것처럼 들립니다
그리고 실제로 여러분이 처음 이차방정식을 보았을 때, 여러분은
음... 복잡하게 들릴 뿐만 아니라,
실제로도 복잡한 것 같네, 라고 말할겁니다
하지만 부디 바라건데, 이 프레젠테이션을 통해 실제로는
그다지 어렵지 않다는 걸 알게 되었으면 좋겠습니다
그리고 나중에 있을 프레젠테이션에선
이게 어디서 유래되었는지를 말해드릴거에요
전반적으로, 여러분은 이차방정식을 정리하는
방법에 대해 이미 배웠습니다
x^2 - x - 6 = 0
만약 제가 이 방정식을, x^2 - x - 6 = 0 이라고 쓰면
여러분은 이를 (x-3)(x+2) = 0 으로
정리할 수 있습니다
둘 중, x - 3이 0 이거나
x + 2가 0 이 되겠죠
그래서 x - 3 = 0, 혹은 x + 2 = 0 입니다
따라서 x는 3이거나, - 2가 됩니다
이 식을 그래프로 나타내 보면,
함수 f(x) = x^2 - x -6 으로 나타낼 수 있습니다
이 축은 f(x)축입니다
여러분에겐 y축이 더 익숙하겠지만, 이 문제를 풀기 위해선
별 상관 없습니다
그리고 이 축은 x 축입니다
만약 제가 이 방정식을 그래프로 나타낸다면,
x^2 - x - 6은 이렇게 보일것입니다
f(x) = -6입니다
그리고 그래프는 이런 형태로 그려질 겁니다
올라갑니다, 계속 올라갈거에요
그리고 그래프는 -6를 지날거에요 왜냐하면 x = 0 일때,
f(x) = -6이기 때문이죠
그래서 이 지점을 지나게 됩니다
또한 x축에서 f(x)가 0이 된다는 것을
알 수 있습니다, 맞죠?
왜냐하면 여기가 1
여기가 0
여기는 - 1
그래서 이곳은 f(x)가 0인 지점입니다
이 x축이요, 맞죠?
그리고 이 함수가 x = 3인 지점과
x = -2인 지점에서 0 이라는 것을 알 수 있습니다
사실 그건 우리가 여기서 풀었던 거에요
우리가 인수분해 문제를 풀고있었을 때,
뭘 하고 있는 건지 깨닫지 못했을 수도 있어요
하지만 f(x)가 이 식과 같다고 생각하면
0과도 같다고 말할 수 있습니다
그래서 이 그래프에서, 이 함수가
0일 때는 언제일까요?
이 함수가 0일 때가 언제일까요?
이 지점들에서 함수는 0입니다, 맞죠?
왜냐하면 이 지점에서 f(x)가 0 이기 때문이죠
그리고 우리가 이것을 인수분해로 풀었을 때,
f(x)를 0으로 만들었던 x값들이
이 두 지점이라는 것을 알 수 있습니다
그리고 어렵지 않은 전문용어로는, 이를
해 또는 근이라고 부릅니다
조금만 복습해봅시다
f(x) = x^2 + 4x + 4 라는 식에서
f(x)의 해 또는 근이 무엇일까요?
이는 f(x)와 x축이 교차하는 곳이 어딥니까?
라고 말하는 것과 같습니다
그리고 f(x)가 0일 때,
f(x)는 x축과 교차하게 됩니다, 맞죠?
만약 여러분이 그래프를 생각하고 있다면, 이미 그렸습니다
f(x) = 0 라고 하면, 우리는
0 = x^2 + 4x + 4 이라고 말할 수 있습니다
그리고 이를 (x+2)(x+2)로 정리할 수 있습니다
따라서 0 = x = -2 입니다
x = -2...
잘못됬네요, x = -2 입니다
자, 우린 이제 '인수분해가 쉬운 방정식'에서
근과 해를 찾는 방법을 알아냈습니다
하지만 이번엔 인수분해가 쉽지 않은 방정식을
풀어보도록 하죠
f(x) = -10x^2 - 9x + 1 이라는 식이 있다고 합시다
이 식을 10으로 나눈다 하더라도
분수가 나올 것입니다
이 이차식을 인수분해하는 건 상당히 어렵습니다
정확히 말하자면, 이차방정식 혹은
이차다항식 말입니다
하지만, 그래도 풀어봅시다
우리는 f(x)가 0일 때의 값을 찾아야합니다
0 = -10x^2 - 9x + 1
우리가 원하는 건 어떤 x 값이
이 방정식을 0으로 만드느냐, 입니다
여기서 우린 근의 공식이라는 도구를 사용할 수 있습니다
지금부터 여러분에게 수학에서 사용되고 암기에 도움이 될
몇 가지를 알려드릴게요
이차방정식에서, 이차방정식의 근은...
ax^2 + bx + c = 0 이라는 이차방정식이 있다고 합시다
ax^2 + bx + c = 0
이 예시에서 a는 -10이고
b는 -9, c는 1 입니다
공식은, x = { -b ± 루트(b^2 -4ac) } /2a 입니다
복잡해 보인다는 거 알고 있습니다 하지만 쓰다보면
그렇게 어렵진 않다는 걸 알게될 거에요
그리고 이 공식은 암기에 좋은 방법입니다
자, 우리가 방금 쓴 방정식을 공식에 대입해봅시다
a는 x항의 계수죠, 맞죠?
아... a는 이차항의 계수입니다
b는 일차항의 계수이고, c는 상수항입니다
공식에 대입해 봅시다
b는 얼마일까요?
b는 -9입니다
여기 보다시피
b는 -9이고, a는 -10입니다
c는 1입니다
맞죠?
그래서 b는 -9이고, -(-9)...
± 루트( (-9)^2 ...
(-9)^2는 81이네요
- 4a)
a는 -10
-10c, c는 1이고
복잡해보이는 거 알아요
부디 이해하셨으면 합니다
그리고 전체를 2a로 나누어야 합니다
a가 -10이니, 2a는 -20이 되겠네요
자, 이제 간단하게 만들어봅시다
-(-9)는 양수 9가 되고
± 루트 81...
-4(-10))
여기는 -10입니다
엄청 복잡하죠, 죄송합니다
그래서 -4(-10) = 40, 양수 40입니다
+ 40
그리고 전체를 -20으로 나누어줍니다
81 + 40 = 121 입니다
그래서 이건 9 ± 루트 121 을 -20으로 나누는 것이 됩니다
루트 121은 11입니다
이쪽으로 가서 쓸게요
여러분들이 흐름을 놓치지 않았으면 하네요
그래서 9 ± 11 을 -20으로 나눕니다
(9 + 11) ÷ (- 20)을 하면, 9 + 11은 20이고
20 ÷ (- 20)은 -1이 됩니다
그것이 두 근 중 하나입니다.
+ 9를 했으니... ± 이니까,
다른 한 근은 (9 - 11) ÷ (- 20)이 됩니다
(- 2) ÷ (- 20) = 1/10 입니다
그것이 나머지 근이었습니다
그래서 이 방정식을 그래프로 그리면
그래프가 x축과 교차하는 것을 볼 수 있습니다
아니면 f(x) = 0 을 만드는 x가...
-1 또는 1/10이라는 것을 알 수 있습니다
Part 2에서 더 많은 예제를 가져오겠습니다
지금 하면 오히려 여러분들을 더 혼동시킬 것 같습니다
그럼 이차방정식의 사용 Part2 에서 다시 여러분을 뵙겠습니다