-
Er det linjære ligningssystemet nedenfor konsistent
eller inkonsistent?
-
Vi har x pluss 2y er lik 13,
og 3x minus y er lik minus 11.
-
For å svare på spørsmålet må vi først vite hva det betyr
at noe er konsistent, eller inkonsistent.
-
Et konsistent ligningssystem har som minumum
en løsning. Det har minst en løsning.
-
Et inkonsistent ligningssystem har derimot ingen løsninger.
Det har ingen løsninger.
-
Vi kan også se på det grafisk.
Hvordan vil Grafen for et konsistent system se ut?
-
La oss tegne et koordinatsystem.
Dette er x-aksen, og dette er y-aksen.
-
Hvis vi har to forskjellige linjer, som krysser hverandre,
er det et eksempel på et konsistent system.
-
Dette er en linje, og dette er en annen linje.
De krysser hverandre her. De har en løsning-
-
altså de har et punkt til felles.
Det er et konsistent ligningssystem.
-
Det finnes også et annet konsistent ligningssystem.
Det er at to linjer i virkeligheten er samme linje.
-
I det tilfelle krysser linjene hverandre
i uendelig mange punkter.
-
En av linjene kan se sånn ut, og en annen kan være helt lik,
Den er oven for den første.
-
De to linjene krysser hverandre i alle punkter langs linjene.
Det er også et konsistent system.
-
Et inkonsistent system har ingen løsninger.
-
La os tegne enda et koordinatsystem.
Dette er x-aksen, og dette er y-aksen.
-
Et sånn system har ingen løsninger. Det eneste tilfelle hvor to linjer i to dimensjoner ikke har noen løsning,
-
er når de ikke krysser hverandre.
Det er hvis de er parallelle.
-
En linje kunne så sånn her ut.
-
Den andre ligningen vil ha samme heldingen,
men den ville ha et annet y-skjæringspunkt.
-
Den kunne sett sånn ut.
-
Det er et inkonsistent ligningssystem.
-
I det tilfelle utrykker ligningnene
parallelle linjer.
-
Dette er inkonsistent.
-
For å køse oppgaven våres kan vi avbilde disse
to ligningene og se om de krysser hverandre.
-
Vi kunne også sett på heldingen i de to linjene.
Hvis de har samme helding og forskjellige
-
y-skjæringspunkter er system inkonsistent.
La oss avbilde ligningene.
-
La oss tegne x-aksen og y-aksen våres her.
-
Dette er x, og dette er y.
-
Vi kan gribe det ann på forskjellige måter.
Det letteste er å finne to punkter for hver ligning,
-
og forbinde dem.
Det er nok for å definere en linje.
-
Vi lager en liten tabell med x og y her.
Det er nesten et fiskeben.
-
Når x er 0, har vi 2y er lik 13 her.
Så er y lik 13 over 2.
-
13 over 2. Det er det samme som 6,5.
-
Når x er 0, er y altså 6,5.
Dette punktet.
-
Dette er 0 komma 13 over 2, eller 6.5.
-
La oss se hva som sjer når y er 0.
Når y er 0 har vi x er lik 13.
-
X er lik 13.
Vi har altså punktet 13 komma 0.
-
Dette er 0 komma 6,5,
og dette er 13 komma 0.
-
Den linjen denne ligningen uttrykker,
er altså den vi tegner nå.
-
La oss tegne den så rett som mulig.
-
Den ser sånn ut.
La oss se på den andre ligningen.
-
Vi bruker lilla. vi lager enda et fiskeben med x o y.
Vi har bruk for to punkter på grafen.
-
Når x er 0, har vi minus y er lik minus 11.
Det er det samme som y er lik 11.
-
Vi har altså punktet 0 komma 11. Det er ca her.
0 komma 11 er et punkt på denne linjen.
-
Når y er lik 0, har vi 3x er lik minus 11. Hvis vi dividerer
begge sider med 3, får vi x er lik minus 11 over 3.
-
Minus 11 over 3. Det er det samme som minus 3 og 2/3.
Når y er 0, er x altså minus 3 2/3.
-
Det er nok ca her. Det er punktet
mellom 11 over 3 komma 0.
-
Den andre ligningen kan altså avbildes sånn som dette.
-
Den ser sånn ut. Vi har ikke vært helt nøyaktige,
men det er nøyaktig nok til å svare på spørsmålet.
-
Det er tydlig at de to linjens krysser hverandre.
De krysser hverandre her.
-
For å svare på spørsmålet her skal vi ikke engang finne
skjærlingspunktet. Det er nok å vite at de krysser.
-
Det er altså et konsistent ligningssystem. Det har en løsning.
Det skal være minst en løsning,
-
for at systemet skal være konsistent.
Dette systemet er altså konsistent.
