Er det linjære ligningssystemet nedenfor konsistent eller inkonsistent?
Vi har x pluss 2y er lik 13, og 3x minus y er lik minus 11.
For å svare på spørsmålet må vi først vite hva det betyr at noe er konsistent, eller inkonsistent.
Et konsistent ligningssystem har som minumum en løsning. Det har minst en løsning.
Et inkonsistent ligningssystem har derimot ingen løsninger. Det har ingen løsninger.
Vi kan også se på det grafisk. Hvordan vil Grafen for et konsistent system se ut?
La oss tegne et koordinatsystem. Dette er x-aksen, og dette er y-aksen.
Hvis vi har to forskjellige linjer, som krysser hverandre, er det et eksempel på et konsistent system.
Dette er en linje, og dette er en annen linje. De krysser hverandre her. De har en løsning-
altså de har et punkt til felles. Det er et konsistent ligningssystem.
Det finnes også et annet konsistent ligningssystem. Det er at to linjer i virkeligheten er samme linje.
I det tilfelle krysser linjene hverandre i uendelig mange punkter.
En av linjene kan se sånn ut, og en annen kan være helt lik, Den er oven for den første.
De to linjene krysser hverandre i alle punkter langs linjene. Det er også et konsistent system.
Et inkonsistent system har ingen løsninger.
La os tegne enda et koordinatsystem. Dette er x-aksen, og dette er y-aksen.
Et sånn system har ingen løsninger. Det eneste tilfelle hvor to linjer i to dimensjoner ikke har noen løsning,
er når de ikke krysser hverandre. Det er hvis de er parallelle.
En linje kunne så sånn her ut.
Den andre ligningen vil ha samme heldingen, men den ville ha et annet y-skjæringspunkt.
Den kunne sett sånn ut.
Det er et inkonsistent ligningssystem.
I det tilfelle utrykker ligningnene parallelle linjer.
Dette er inkonsistent.
For å køse oppgaven våres kan vi avbilde disse to ligningene og se om de krysser hverandre.
Vi kunne også sett på heldingen i de to linjene. Hvis de har samme helding og forskjellige
y-skjæringspunkter er system inkonsistent. La oss avbilde ligningene.
La oss tegne x-aksen og y-aksen våres her.
Dette er x, og dette er y.
Vi kan gribe det ann på forskjellige måter. Det letteste er å finne to punkter for hver ligning,
og forbinde dem. Det er nok for å definere en linje.
Vi lager en liten tabell med x og y her. Det er nesten et fiskeben.
Når x er 0, har vi 2y er lik 13 her. Så er y lik 13 over 2.
13 over 2. Det er det samme som 6,5.
Når x er 0, er y altså 6,5. Dette punktet.
Dette er 0 komma 13 over 2, eller 6.5.
La oss se hva som sjer når y er 0. Når y er 0 har vi x er lik 13.
X er lik 13. Vi har altså punktet 13 komma 0.
Dette er 0 komma 6,5, og dette er 13 komma 0.
Den linjen denne ligningen uttrykker, er altså den vi tegner nå.
La oss tegne den så rett som mulig.
Den ser sånn ut. La oss se på den andre ligningen.
Vi bruker lilla. vi lager enda et fiskeben med x o y. Vi har bruk for to punkter på grafen.
Når x er 0, har vi minus y er lik minus 11. Det er det samme som y er lik 11.
Vi har altså punktet 0 komma 11. Det er ca her. 0 komma 11 er et punkt på denne linjen.
Når y er lik 0, har vi 3x er lik minus 11. Hvis vi dividerer begge sider med 3, får vi x er lik minus 11 over 3.
Minus 11 over 3. Det er det samme som minus 3 og 2/3. Når y er 0, er x altså minus 3 2/3.
Det er nok ca her. Det er punktet mellom 11 over 3 komma 0.
Den andre ligningen kan altså avbildes sånn som dette.
Den ser sånn ut. Vi har ikke vært helt nøyaktige, men det er nøyaktig nok til å svare på spørsmålet.
Det er tydlig at de to linjens krysser hverandre. De krysser hverandre her.
For å svare på spørsmålet her skal vi ikke engang finne skjærlingspunktet. Det er nok å vite at de krysser.
Det er altså et konsistent ligningssystem. Det har en løsning. Det skal være minst en løsning,
for at systemet skal være konsistent. Dette systemet er altså konsistent.