Simplifying radicals

Using exponent rules to simplify radicals or square roots

" વર્ગમૂળ નુ સાદુરૂપ " ના આ વર્ગ માં તમારૂ સ્વાગત છે

તેથી આપણે પરીભાષાથી થોડી અલગ શરૂઆત કરીએ

તમને કદાચ આશ્વર્ય થશે કે વર્ગમૂળ એટલી શું . હુ તમને જણાવુ છું

મારે પેન ને ઠીક કરવી પડશે ખરૂ.

એ વર્ગમૂળ એટેલ માત્ર તે

અથવા તમે કદાચ વર્ગમૂળ ની સંજ્ઞા બોલવાથી વધારે પરીચત હશો

તેથી આ પરીભાષા થી અલગ રીતે ,

ચાલે આપણે વર્ગમૂળ ના સાદુંરૂપ નો ખરેખરો અર્થ સમજીએ

અને કેટલાક લોકો એવી દલીલ કરશે કે આપણે ખરા અર્થમાં શુ કરવા જઇ રહ્યા છીએ

જે તેને વધારે અગવડ ભર્યું બનાવે છે .

પણ ચાલો જુઓ.

મને ભુંસવા દો .

જો હું તમને ૩૬ (છત્રીસ) નુ વર્ગમૂળ જણાવવાનું કહીશ તો

તમે કહેશો હે, આ તો સહેલું છે.

તે માત્ર ૬ ગુણ્યા ૬ બરાબર થાય

અથવા તમે માત્ર એમ કહેશો કે ૩૬ (છત્રીસ) નું વર્ગમૂળ ૬ થાય

હવે, જો હું તમને એમ પૂછું કે ૭૨ નું વર્ગમૂળ કેટલું ?

સારૂ, આપણે જાણીએ છીએ કે ૭૨ એટલે ૩૬ ગુણ્યા ૨ , ખરૂંને ?

તેથી આપણે તે લખીએ

૭૨ નું વર્ગમૂળ બરાબર ૩૬ ગુણ્યા ૨ નું વર્ગમૂળ

ખરૂં ને ? આપણે ફક્ત ૭૨ ને ૩૬ ગુણ્યા ૨ એ રીતે ફરીથી લખ્યો

અને જો તમે પગલા ૩ ના ઘાત ને યાદ રાખ્યું હોય તો , વર્ગમૂળ

વર્ગમૂળ એ કોઇકની ૧ ના છેદ માં ૨ ઘાત બરાબર થાય

તેથી ચાલો આપણે તેને તે સ્વરૂપે લખીએ

અને હુ આ સ્વરૂપે માત્ર તમને વર્ગમૂળ નું સાદુંરૂપ આપી શકાય તે દર્શાવવા માટેજ લખું છું

અને તે હકીકતમાં કોઇ નવો વિચાર નથી.

તેથી આ ૩૬ ગુણ્યા ૨ ની ૧/૨ ઘાત બરાબર થાય.

ખરૂં કે ? કારણ કે વર્ગમૂળ બરાબર ૧/૨ ઘાત થાય.

અને આપણે ઘાત ના નિયમથી જ થીખ્યા કે જ્યારે તમે બે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરો

અને તેની ૧/૨ ઘાત કરો

તે બરાબર દરેક સંખ્યાની ૧/૨ ઘાત કરીને

તેનો ગુણાકાર કરવા બરાબર જ થાય . ખરૂં ને ?

સારૂ તે બરોબર છે , તે ૨ (બે) ના વર્ગમૂળ ના ૩૬ વખત ગુણાકાર કરવા બરાબર જ થાય

અને આપણે ૩૬ નું વર્ગમૂળ શું થાય છે તે મેળવી ચૂક્યા છીએ

તે ૬ થાય

તેથી તે ૬ વખત ૨ ના વર્ગમૂળ સમાન થાય

અને તમને કદાચ આશ્રર્ય થશે કે હું શા માટે રેડીકલ બદલવા માટે આ રીતે

વર્ગમૂળ ના ચીહ્ન ને શા માટે ૧/૨ ઘાત થકી કેમ દર્શાવી રહ્યો છું

અને હું તે માત્ર ઘાત ના નિયમોનો વિસ્તાર દર્શાવવા એમ કરી રહ્યો હતો.

તે કોઇ નવો નિયમ કે સિધ્ધાંત નથી.

તેમ છતાં , હું ધારી શકું કે , દેખીતી રીતે જે સમાન સિધ્ધાંત લાગતા નથી.

હુ માત્ર એમ દર્શાવવા માગું છું

તેથી ચાલો આપણે બીજો કોયડો ઉકેલીએ

હું વિચારું છું કે આપણે જેમ વધું ને વધું કોયડાઓનો ઉકેલ મેળવીશું , તે વધારે સરળ થતું જશે

૫૦ નું વર્ગમૂળ

સારૂ , ૫૦ નું વર્ગમૂળ

૫૦ બરાબર ૨૫*૨ થાય

અને આપણે જાણીએ જ છીએ , જેના આધારે આપણે આ કર્યુ છે તે ખરેખર માત્ર ઘાત નો નિયમજ છે.

૨૫ * ૨ નુ વર્ગમૂળ બરાબર ૨૫

વખત ૨ નુ વર્ગમૂળ સમાન છે

સારી આપણે ૨૫ નું વર્ગમૂળ કેટલું થાય તે જાણીએજ છીએ.

તે પાંચ થાય.

તેથી તે ફક્ત પાંચ વખત ૨ (બે) ના વર્ગમૂળ જેટલું જ થાય.

હવે , તમે કદાચ કહેશો કે મ, "હે, સેલ , તમે આ ખૂબ સરળ બનાવી દીધું ,

પણ તમે ૫૦ ના બે ભાગ ૨૫ અને બે પડે તે કેવી રીતે જાણ્યું ?

શા માટે હું ૫૦ ના વર્ગમૂળ ને ૫ ના અને ૧૦ ના વર્ગમૂળ તરીકે ના લઇ શકું

અથવા તે ૫૦ ના વર્ગમૂળ બરાબર--ખરેખર , હું વિચારું ૧ અને ૫૦ ?

મને ૫૦ ના બીજા અવયવો ખબર નથી .

સારૂ , કોઇપણ રીતે , હું હાલ પૂરતું આ પ્રમાણે નહી કરૂ.

શા માટે મેં ૨૫ અને બે લીધા કારણ કે હુ ૫૦ નો એવો અવયવ --

હું ખરેખર ૫૦ નો સૌથી મોટો એવો અવયવ લેવા માગતો હતો જે પૂર્ણ વર્ગ હોય

અને તે ૨૫ છે .

જો મે પાંચ અને ૧૦ લીધા હોત, હું ખરેખર આની સાથે કંઇજ કરી શક્યો ના હોત.

કારણ કે પાંચ અથવા ૧૦ બેમાંથી કોઇ પૂર્ણ વર્ગ નથી

અને આજ પ્રમાણે ૧ અને ૫૦ સાથે થાત.

તેથી તમે તે વિશે આ રીતે વિચારી શકો ,

મુખ્ય સંખ્યાના અવયવો વીશે વિચારો.

અને પછી તેમાંથી કોઇ પૂર્ણવર્ગ અવયવ હોય તે લઇ લો

અને તેનો કોઇ યાંત્રિક રસ્તો નથી.

તમારે પૂર્ણ વર્ગ ને ઓળખતા શીખવું પડશે.

અને તમે ચોક્કસ તેનાથે પરીચીર થઇ જશો.

તેઓ એક, ચાર, નવ પચ્ચીસ વગેરે વગેરે .

અને કદાચ આ વિભાગ કરવાથી , તમે સાચેજ પૂર્ણ વર્ગ ને ઓળખતા થઇ જશો.

પણ જો આવી પૂર્ણવર્ગ સંખ્યાઓ માંથી કોઇ સંખ્યા વર્ગમૂળ ચિહ્નની નીચેની સંખ્યાનો અવયવ હોય તો

પછી તમે તેના અવયવો પાડશો.

અને પછી તમે તેને આ ચિહ્ન ની બહાર મુકશો

આપણે ઉપરના કોયડામાં આ મુજબ જ કર્યુ હતું .

ચાલો આપણે થોડા વધારે ગણીએ.

સાત વખત ૨૭ નું વર્ગમૂળ બરાબર કેટલા ?

અને હું જ્યારે ૭ ને તેની જ જમણી બાજુએ લખું ત્યારે ,

તેટલી વખત ૨૭ નું વર્ગમૂળ થાય તેવો અર્થ થાય

સારૂ , ચાલો આપણે ૨૭ ના બીજા કયા અવયવો પડે તેના વિશે વિચારીએ.

અને આમાંથી જો કોઇ સંખ્યા પૂર્ણવર્ગ હોય તો

સારૂ , ૩ એ ૨૭ નો અવયવ છે પણ તે પૂર્ણવર્ગ નથી .

નવ છે .

તેથી , આપણે કહી શકીએ સાત--

તે બરાબર ૭ વખત ૯ * ૩ નું વર્ગમૂળ .

અને હવે, આ નિયમના આધારે આપણે માત્ર

તે શીખ્યા કે તે બરાબર ૭ વખત ૯ નું વર્ગમૂળ

ગુણ્યા ૩ નું વર્ગમૂળ

સારૂ કારણ કે ૯ નું વર્ગમૂળ ૩ છે તેથી તેના બરાબર ૭ ગુણ્યા ૩ .

ગુણ્યા ૩ નુ વર્ગમૂળ થાય.

જે ૨૧ ગુણ્યા ૩ ના વર્ગમૂળ બરાબર થાય

થઇ ગયું

ચાલો આપણે બીજો એક ગણીએ

નવ ગુણ્યા ૧૮ નું વર્ગમૂળ કેટલૂ થાય ?

સારૂ, ફરી એક વખત, ૧૮ ના અવયવો કયા-કયા થાય ?

સારૂ આપણી પાસે ૬ અને ૩ છે.

૧ અને ૧૮ ?

આ બધા માંથી એક પણ અવયવ પૂર્ણવર્ગ નથી .

પણ આપણી પાસે ૨ અને નવ છે .

અને નવ એ એક પૂર્ણવર્ગ છે.

તેથી ચાલો આપણે તેને લખીએ

તેના બરાબર નવ વખત ૯*૨ નું વર્ગમૂળ થાય

જે નવ વખત ૨ નુ વર્ગમૂળ

જે બે , વખત ૯ ના વર્ગમૂળ સમાન થાય

જે નવ વખત ૨ ના વર્ગમૂળ ગુણ્યા ૩ બરાબર થાય , ખરૂં ને ?

જે(૩) નવ નું વર્ગમૂળ છે જેના બરાબર

૨૭ વખત ૨ નું વર્ગમૂળ થાય

આપણે ત્યાં સુધી ગયા.

આશા રાખું છું કે તમો આ કોયડાનો હેતું સમજી શકો છો.

ચાલો આપણે બીજો લઇએ

૪ ગુણ્યા ૨૫ નું વર્ગમૂળ કેટલું થાય

સારૂ, ૨૫ જાતેજ પૂર્ણવર્ગ છે.

આ પ્રકારના કોયડાઓ ખૂબજ સહેલા હોય છે કે જે એક યુકિત વાળા છે .

૨૫ તેની જાતેજ પૂર્ણવર્ગ છે.

જેનું વર્ગમૂળ પાંચ છે, તેથી આ ૪ * ૫ બરાબર થાય છે.

જે ૨૦ બરાબર છે

૨૫ નું વર્ગમૂળ પાંચ થાય છે.

ચાલો આપણે એક બીજો ગણીએ.

૩ ગુણ્યા ૨૯ નું વર્ગમૂળ કેટલું થાય ?

સારૂ ૨૯ ના ફક્ત બેજ અવયવો પડે છે.

તે અવિભાજ્ય સંખ્યા છે.

તેના ફક્ત ૧ અને ૨૯ બેજ અવયવો છે.

અને આમાંથી એક પણ સંખ્યા પૂર્ણવર્ગ નથી.

તેથી આપણે તેનું આગળ સાદુંરૂપ આપી શકતા નથી.

તેથી, આ પહેલેથી જ સાદુંરૂપ આપેલ સ્વરૂપ છે.

ચાલો આપણે થોડા વધારે ગણીએ .

૭ ગુણ્યા ૩૨૦ નું વર્ગમૂળ કેટલુ થાય ?

તેથી, ચાલો આપણે ૩૨૦ વિશે વિચારીએ .

સારૂ આપણે આવી મોટી સંખ્યાઓને અમુક ક્રમાનુંસાર પદથી ઉકેલશું .

હું તે જોઇ ને કહી શકું કે , સારૂ તે ચાર જેવું લાગે છે --

ખરા અર્થમાં અહી ૧૬ જશે કારણ કે ૧૬ એ ૩૨ નો અવયવ (ભાગ) છે

તેથી ચાલો આપણે તેને ઉકેલવાનો પ્રયત્ન કરીએ

તેથીજ ૧૬*૨૦ ના વર્ગમૂળ ગુણ્યા ૭ સમાન થાય

સારૂ, જેની સમાન ૭ ગુણ્યા ૧૬ નું વર્ગમૂળ

ગુણ્યા ૨૦ નું વર્ગમૂળ થાય.

૭ ગુણ્યા ૧૬ નું વર્ગમૂળ

સોળ નું વર્ગમૂળ ચાર થાય .

તેથી ૭ * ૪ બરાબર ૨૮ થાય .

તેથી આ રીતે ૨૮ ગુણ્યા ૨૦ નુ વર્ગમૂળ થાય

હવે શું આગળ આપણે કરી શકીએ ?

સારૂ ખરેખર , હું વિચારૂ છું કે આપણે ૨૦ ના હજું વધારે અવયવો પાડી શકીએ

કારણ કે ૨૦ બરાબર ૪ * ૫ થાય .

તેથી હું કહી શકું કે આ ૨૮ ગુણ્યા ૪*૫ નું વર્ગમૂળ બરાબર થાય

ચાર નું બે થાય તેથી બેને વર્ગમૂળ ના ચિહ્ન થી બહાર લાવો

અને તે ૫૬ ગુણ્યા ૫ નું વર્ગમૂળ થશે

હુ આશા રાખુ છુ કે તે તમે સમજી શકશો

અને આ એક ખૂબજ સરળ પધ્ધતિ છે.

જે મેં અહી કરી હતી

જ્યારે મે ૩૨૦ ની જોયા ત્યારે તરત જ

હું એ જાણતો નહોતો કે કયો સૌથી મોટો અંક પૂર્ણવર્ગ હશે .

૬૪ જે અહી આપણ ને આ રીતે મળ્યો

પણ માત્ર સંખ્યા તરફ જુઓ , મે કહ્યુ હતું તે પ્રમાણે હું જાણતો હતો કે ચાર ને લઇ શકીએ

તેથી મે ફક્ત ચાર ને જ લીધા.,

અને પછી કહો , ઓહો , જે ૪ * ૮૦ સમાન છે .

અને પછી મારે ૮૦ ના અવયવો પાડવાના હતા

આ કેસ માં , મેં ૩૨ લીધા અને તે મને ગમ્યા, તે ૧૬ લેવા બરાબર છે

અને મે પહેલા ૧૬ ના અવયવો પાડ્યા.

જ્યારે મેં ૧૬ નું વર્ગમૂળ લીધુ અને બહાર ની રકમ ને ૪ સાથે ગુણી

અને આ રીતે મને ૨૮ મળ્યા

પણ પછી મેં અંદરની સંખ્યા ને ઘટાડી અને બોલ્યો ,

"ઓહ , સારૂ હજું આ રકમને પૂર્ણવર્ગ વડે ભાગી શકાય છે.

હજું તે ચાર વડે ભાગી શકાય છે." અને મે તે પ્રમાણે

જ્યાં સુધી જરૂરી લાગ્યું .અવિભાજ્ય સંખ્યા કે એવી સંખ્યા જેને વધારે ઘટાડી કરી શકાય નહી ત્યાં સુધી કર્યું

અને તેને કોઇ અવિભાજ્ય નથી

તેથી આશા રાખું છું કે , તમે વર્ગમૂળ નું સાદું રૂપ કેવી રીતે આપવું તે ખૂબજ સારી રીતે સમજી શક્યા હશો.

તે ફક્ત ઘાતના નિયમો કે જે તમે પહેલેથી જ શીખી ગયા છો તેનો વિસ્તાર જ છે

અને જેમ તમે આ વિભાગ પૂર્ણકર્યો તેમ તમે તે ખૂબજ સારી રીતે કરી શકશો .

મજામાં રહો!