CA 대수학 1 : 유리식 2

66-70번. 유리식을 단순화 하는 문제를 더 풀어 봅시다.

자막제공: SNOW.or.kr (본 자막은 SNOW 자원활동가들에 의해서 제작되었습니다)

문제 66번 입니다.

그리고 무제에서 x 제곱 - 4x + 4를 x 제곱 - 3ㅌ + 2로 나누면

줄여서 가장 적은 항은 무엇인가?

그러니까 문제는 아마 이차 방정식을 각각 인수분해 해서

이 항 중의 어떤 거라도 상쇄시키라는 소리 입니다.

그러니까 그렇게 해 봅시다.

그러니까 분자는 꽤 인수분해 하기 쉬워 보이네요.

곱해서 4가 나오는 두 숫자는 뭐가 있나요?

그리고 더해서 -4가 나오는 두 수는 요?

음. -2네요. 그렇죠?

-2 그리고 -2는 -4입니다.

-2의 제곱은 +4 입니다.

그러므로 x - 2 곱하기 x - 2입니다.

그리고 못 믿겠으면 검산해 보셔도 좋아요.

곱해봅시다.

나누기, 어디 봅시다. 두 숫자가 뭔 가요?

인수분해 할 수 있을 것처럼 보입니다.

두 수는 같은 부호인데 왜냐하면 그 둘을 곱하면

양수가 나오기 때문입니다.

그리고 그 둘은 음수가 되는 데 왜냐하면 그 둘을 더하면

-3이 나오기 때문입니다.

그러니까 어디 봅시다. -2 그리고 -1입니다.

-2 곱하기 -1은 +2 입니다.

- 2 더하기 1은 -3 입니다.

그러니까 x -2 곱하기 x - 1입니다.

그리고 만약 x가 절대로 2가 아니라고 가정한다면, 왜냐하면

만약 그렇게 되면 이 수식을 정의되지 않게 만들기 때문에 우리는 이걸 상쇄 합시다.

나중에 그게 그래프의 구멍의 원인이 된다는 걸 배우게 될 겁니다.

왜냐하면 함수는 거기서 정의되지 않거든요.

그리고 x -1 분의 x -2가 남습니다.

그래서 답은 선택지 A입니다.

그래서 답은 선택지 A입니다.

문제 67번 입니다.

이건 좋은 문제군요.

수가 많네요.

문제가 묻길, 제가 여기에 쓸게요. 12a 세제곱 - 20a 제곱을

16a 제곱 + 8a로 나누면 뭐가 됩니까?

가장 적은 항으로 줄이시오. 그러니까 그냥 이 위와 아래의 것들을

인수분해 해 봅시다. 그리고 어떻게 되는 지 봅시다.

그러니까 위에는, 분자는, 색깔을 바꿔 볼게요.

두 항 모두 4와 a제곱으로 나뉘어 집니다.

그러니까 4a제곱을 뽑아내 봅시다.

그러니까 4a 제곱이 있습니다.

그러니까 4a 제곱이 있습니다.

12 나누기 4는 3입니다.

그리고 a 세제곱 나누기 a 제곱은 a 입니다.

그러니까 12a 세제곱 나누기 4a 제곱은 3a 입니다.

-20은, 제가 더하기 -20이라고 말할 수 있겠네요.

여러분이 이해할 수 있게요.

20 나누기 4는 5입니다.

그리고 a 제곱을 a 제곱으로 나누면 그냥 a입니다.
(주 : 원래 1이 되어야 하는데 강의자가 말실수를 한 것 같습니다. 판서에는 a가 없습니다. )

그리고 만약 이게 믿기지 않으면 곱해봅시다.

4a 제곱 곱하기 3a는 12a 세제곱입니다.

그리고 4a 제곱 곱하기 -5는 -20제곱입니다.

그러니까 성립하지요.

분모를 풀어 봅시다.

어디 봅시다. 이 두 개 모두 8로 나눌 수 있지요. 그러니까

인수분해 해 봅시다.

16 나누기 8은 2입니다.

a 제곱을 a로 나누면 a가 됩니다.

그러니까 16a 제곱을 8a로 나누면 2a가 됩니다.

그리고 만약 다른 식으로 푼다면 8a 곱하기 2a 제곱을

하면 16a 제곱입니다.
(주 : 2a 제곱이 아니라 2a가 맞습니다. 역시 강의자가 말실수를 한 것 같습니다.)

그러니까 성립하네요.

더하기 1입니다.

8a 곱하기 1은 8a 입니다.

그러니까 여기서 우리가 뭘 할 수 있는지 봅시다.

이건 1이 됩니다.

이건 2가 됩니다.

그리고 a제곱을 a로 나누면 이건 1이 되고

이건 그냥 a가 됩니다.

그리고 2 곱하기 2a + 1 분의 a 곱하기

3a - 5 이 남습니다.

그리고 어디 봅시다.

답은 선택지 D입니다.

내 생각에는 어쩌면 문제가 이걸 다시 곱하기를 바라 것 같습니다.

그러나 정답은 선택지 D입니다.

문제 68번을 봅시다.

오. 이건 좋은 문제입니다.

내가 여기에 써 볼게요.

문제가 우리가 뭔가 곱하는 걸 요구하네요.

그러니까 문제에 분자가 7z제곱 + 7z 이 모든 것이고 분모가

4z + 8 이라고 써 있습니다.

곱하기 분자가 z 제곱 - 4 이 모든 것이고 분모가 z의 3승

+ 2z의 제곱 + z 입니다.

그러므로 여러분은 반드시 이럴 겁니다. "오. 맙소사. 내가 이

모든 걸 곱하고 나눠야만 하는 거야?"

그러나 가장 좋은 점은 내 생각에는 이걸 그냥

인수분해 해서 이 모든 것들을 서로 상쇄해 나가기

시작하는 것입니다.

그리고 그러면 이게 꽤 쉬운 문제로 바뀝니다.

어디 봅시다. 이 두 항 모두 7z로 나눌 수 있습니다.

그러니까 그걸 인수분해 해 봅시다.

그러니까 저 위의 부분은 7z제곱을 7z으로 나누면

z가 남습니다.

만약 이걸 곱하면 7z 제곱을 얻을 수 있습니다.

더하기 1.

만약 이걸 곱하면 7z 제곱 + 7z가 되지요.

만약 이걸 곱하면 7z 제곱 + 7z가 되지요.

여러분이 이 분수를 곱할 때 단지 분자 곱하기 분자 분의

분모 곱하기 분모를

하는 것입니다.

그러니까 이건 곱하기 분자입니다.

z 제곱 - 4은 a 제곱 - b 제곱 꼴입니다.

그러니까 이건 z + 2가 a + b이고 곱하기 z - 2가 a - b입니다.

이건 그냥 공식입니다. 내가 이 a와 b를 말하는 부분은요.

그러니까 저건 z + 2 곱하기 z - 2입니다. 다행히도

이 시점에서 깨달을 수 있습니다.

그러고 나서 이 모든 것을 어디 보자.. 분명히 여기의 4로

인수분해 할 수 있습니다. 그러니까 4 곱하기 z + 2입니다.

8은 4로 나누면 2이고 곱하기.. 그러니까 분명히 여기서

z로 인수분해 할 수 있습니다. 그러니까 z 곱하기 z 제곱 + 2z + 1입니다.

내 생각엔 거의 된 것 같군요.

이제 우린 이걸 인수분해 해야 합니다.

모든 걸 다시 써 보도록 할 게요.

그러니까 이게 7z 곱하기 z + 1 곱하기 z + 2

곱하기 z - 6 입니다.

이 모든 것 나누기 4 곱하기 z + 2 곱하기 z입니다.

그리고 이건 뭐죠?

이건 z + 1의 제곱입니다.

z + 1 곱하기 z + 1 입니다. 1곱하기 1은 1입니다.

그리고 1 더하기 1은 2입니다.

그러니까 곱하기 z +1 곱하기 z + 1입니다.

그리고 이제 재미있는 부분입니다.

여기 이건 1입니다. 저건 괄호고요.

이제 우리가 상쇄시켜 나갈 수 있게 됐습니다.

그리고 우리는 분모가 절대로 0과 그와 비슷한 것들은

아니라고 가정합니다.

어디 봅시다. 여기 z + 2는

여기 z + 2와 상쇄 되어 없어집니다.

이 z + 1은 이 z + 1 중의 하나와 상쇄되어 없어집니다.

전 좀 더 지저분하게 쓴 쪽을 없앨게요.

그리고 어디 봅시다. 이 z는 이 z와 상쇄되어 없어집니다.

그리고 뭐가 남나요?

모든 것은 분자가 7 곱하기 z - 6 분모가 4

곱하기 z -1로 단순화 됩니다.

곱하기 z -1로 단순화 됩니다.

제가 z - b를 여기에 썼습니다.

z + 2 곱하기 z - 2입니다.

모든 패턴이 일치하네요. 제가 실수를 했네요.

z 제곱 - 4 는 z + 2 곱하기 z - 2 입니다.

자 z - b 아닙니다. 그리고 제 생각에 이건 6인 것 같네요.

그러니까 이건 z -2 입니다.

그러니까 이거 z - 2 이지요.

그러므로 정답은 선택지 A 입니다.

실수에 대해서는 죄송합니다.

항상 머리가 잘 돌아가지 않는다니까요.

좋습니다. 이제 문제가 이걸 다시 풀라고 하네요.

문제가 요구하길 3x + 2 분의 x + 5 곱하기

x - 5 분의 2x -3 을 하라고 합니다.

솔직히 우리가 할 수 있는 단순화 작업이 많이 없습니다.

그냥 곱해야 합니다.

그러니까 이건 x + 5 곱하기 2x - 3 입니다.

나누기 3x..

그냥 제가 분자를 먼저 곱할게요. 그러고 나서

분모를 곱합시다. 3x + 2 곱하기 x - 5 입니다.

그리고 이제 이 두 이항식을 곱합시다. x

곱하기 2x는 2x 제곱입니다.

x 곱하기 -3은 -3x 입니다.

5 곱하기 2x는 +10x 입니다.

5 곱하기 - 3은 - 15입니다.

충분합니다.

이제 분모를 계산합시다.

3x 곱하기 x는 3x 제곱입니다.

3x 곱하기 -5는 -15x 입니다.

2 곱하기 x는 +2x 입니다.

2 곱하기 -5는 -10입니다.

그리고 우리가 단순화 할 수 있는지 살펴 봅시다.

분모는 2x 제곱

- 3x +10x 입니다

그러니까 +7x - 15 입니다.

저 모든 것에 나누기 3x 제곱을 합니다.

그리고 - 15x + 2x 입니다.

저건 -13x - 10 입니다.

그리고 정답은 선택지 D입니다.

그리고 정답은 선택지 D입니다.

다음 문제입니다.

문제 70번 입니다.

이런. 문제가 계속 같은 걸 풀게 하는 군요.

좋은 연습입니다.

그러니까 문제가 말하길 분모가 x 제곱 + 8x + 16이고 분자가 x +3에다가

나누기 분자가 2x + 8 분모가 x제곱 - 9인 수를 합니다.

그러니까 분수로 나눌 때 우리가 가장 먼저 해야 할 것은

이것이 역으로 곱하는 것과 같다는 점입니다.

그러니까 이건 분자가 x 제곱 + 8x + 16이고 분모가 x + 3

곱하기 이것의 역수입니다. 분자가 x 제곱 - 9 이고

분모가 2x + 8입니다.

충분합니다.

이제 우리가 이걸 조금 단순화 시킬 수 있는지 알아봅시다.

노란색으로 할 게요.

그러니까 이것은 4 + 4는 8 이고, 4 곱하기 4는 16입니다.

그러므로 이건 x + 4 곱하기 x + 4로 다시 쓸 수 있습니다.

그러므로 이건 x + 4 곱하기 x + 4로 다시 쓸 수 있습니다.

x 제곱 - 9는 a 제곱 - b 제곱 꼴입니다,

그러니까 이걸 x + 3 곱하기 x - 3으로 다시 쓸 수 있습니다.

공식을 따르고 있는 겁니다.

여기에서는 2를 뽑아낼 수 있습니다. 그러니까 이걸 2

곱하기 x + 4로 다시 쓸 수 있습니다.

저기에는 x + 3이 있습니다.

그리고 물론 우리가 분수를 곱할 때는 우리는 그냥

모든 분모 분의 분자를 곱합니다.

그러니까 이걸 하나의 선으로 만드는 것과 거의 비슷합니다.

그러니까 분자는 x + 4 곱하기 x + 4 곱하기 x + 3

곱하기 x - 3입니다.

분모는 x + 3 곱하기 2 하기 x + 4 입니다.

그러므로 이제 몇 가지를 지워 봅시다.

재미있는 부분이네요.

그러므로 x + 4 그리고 x + 4 이걸 지웁시다.

그러므로 x + 4 그리고 x + 4 이걸 지웁시다.

x + 3 그리고 x + 3 이것도 지웁시다.

x + 3 그리고 x + 3 이것도 지웁시다.

이제 뭐가 남았습니까?

x + 4 곱하기 x - 3 입니다.

그리고 나누기 2 입니다.

그러므로 정답은 선택지 B입니다.

그럼 다음 강의에서 봅시다.

그럼 다음 강의에서 봅시다.