-
Nyní už víte, co je to transformace,
-
můžu vám tedy představit její speciální
typ nazývaný lineární transformace.
-
Dává smysl, že máme něco
jako lineární transformací,
-
protože studujeme lineární algebru.
-
Měli jsme lineární kombinace,
-
stejně tak můžeme mít
i lineární transformace.
-
Lineární transformace, podle definice,
je transformace, tedy to je funkce…
-
Můžeme říci, že je to množina 'R na n'
promítnutá do množiny 'R na m'…
-
V dalším videu bude zřejmé,
proč jsem takto konkrétní,
-
i když jsou to jen náhodná písmena.
-
…kde jsou splněny
následující dvě podmínky.
-
O něčem řekneme,
že je lineární transformací právě tehdy,
-
je-li následující tvrzení pravdivé.
-
Řekněme, že máme dva vektory.
-
Vektor „a“ a vektor „b“ jsou
oba prvky z množiny 'R na n'.
-
Oba jsou tedy v našem definičním oboru.
-
Potom jde o lineární
transformace právě tehdy,
-
vezmeme-li transformaci
součtu obou našich vektorů…
-
Pokud je nejdříve sečtu,
tak je to ekvivalentní tomu,
-
mít transformaci každého z
vektorů a následně je sečíst.
-
To je má první podmínka
pro lineární transformaci.
-
Má druhá podmínka je:
-
Máme-li transformaci
libovolně škálovaného vektoru…
-
Vynásobím vektor „a“ nějakým skalárem
nebo reálným číslem „c“.
-
Jde-li o lineární transformaci,
pak je to rovno „c“ krát transformaci „a“.
-
To se zdá celkem přímočaré.
-
Zkusme aplikovat tato pravidla a zjistit,
zda je daná transformace lineární nebo ne.
-
Definujme transformaci.
-
Máme transformaci „T“.
-
Část definice, kterou vám prozradím:
-
Zobrazuje z 'R na 2' do…
-
Udělejme něco…
-
Řekněme, že zobrazuje
z 'R na 2' do 'R na 2'.
-
Zadáte-li dvojici čísel…
-
Definičním oborem jsou dvojice čísel.
-
Zadáme (x1, x2)
-
a zobrazuje na…
-
Zobrazuje to na
(x1 plus x2, 3 krát x1),
-
to je další dvojice.
-
Zapišme to podobněji vektoru.
-
Takto je to dvojice čísel.
-
Zapišme to jako…
-
Je dobré to vidět v různých zápisech,
s kterými se můžete setkat…
-
Lze to napsat jako
transformaci nějakého vektoru „x“,
-
který vypadá takto:
„x1“ a „x2“.
-
Dejme tam závorky.
-
To je rovno novému vektoru,
„x1 plus x2“ a „3 krát x1“.
-
To je naprosto legitimní způsob
vyjádření dané transformace.
-
Třetí způsob, který je velmi neobvyklý,
-
ale pro mě vystihuje podstatu toho,
co je to transformace.
-
Je to jen zobrazení,
nebo dá se říct funkce.
-
Mohu říci, že transformace je zobrazení
jakéhokoliv vektoru v množině 'R na 2',
-
který vypadá takto:
„x1“ a „x2“…
-
Použiji tento zápis.
-
… na vektor, který vypadá takto:
„x1 plus x2“ a „3 krát x1“.
-
Všechna tato tvrzení jsou ekvivalentní.
-
Smyslem toho, co právě děláme,
je zjistit, zda je „T“ lineárně nezávislá.
-
Promiňte, ne lineárně nezávislá.
-
Zda je lineární transformací.
-
Tak dlouho jsem se ve videích
zabýval lineární nezávislostí,
-
až je těžké na to zapomenout.
-
…zda jde o lineární transformaci.
-
Ověřme tedy naše dvě podmínky,
mám je přímo zde.
-
Mějme transformaci „T“
a vektory „a“ a „b“,
-
které jsou prvky 'R na 2'.
-
Takže je zapíšu.
-
„a“ je „a1“, „a2“,
„b“ je „b1“, „b2“.
-
Promiňte, „b1“ není vektor.
Ujistěme se, že to jsou skaláry.
-
Toto jsou složky vektoru.
-
…„b2“.
-
Kolik je „a1“ plus „b“?
-
Promiňte, kolik je
vektor „a“ plus vektor „b“?
-
Selhání mozku…
-
Dobře.
-
Sečteme je po složkách.
To je definice vektorového sčítání.
-
Takže to je „a1“ plus „b1“.
-
Sečteme první složky.
-
Druhou složkou je součet
druhých složek vektorů.
-
„a2“ plus „b2“.
-
Nic nového.
-
Čemu je rovna transformace tohoto vektoru?
-
Transformaci vektoru „a plus b“
bychom mohli zapsat takto.
-
Je to transformace tohoto vektoru,
-
vektoru se složkami
„a1 plus b1“ a „a2 plus b2“,
-
o čemž víme,
že se rovná vektoru…
-
To je rovno tomuto vektoru.
-
První složku získáme tak,
že sečteme první a druhou složku zde.
-
První složka bude rovna
součtu těchto čísel.
-
Bude to „a1 plus a2 plus b1 plus b2“.
-
Druhá složka bude rovna,
dle definice transformace,
-
3 krát první složka vektoru,
který vstupuje do transformace.
-
3 krát tato složka.
-
3 krát první složka.
-
To je „3 krát a1 plus 3 krát b1“.
-
Dobře.
-
Čemu je samostatně rovna
transformace vektorů „a“ a „b“?
-
Transformace vektoru „a“
je rovna transformaci…
-
Zapišme to takto…
-
je rovna transformaci
vektoru o složkách „a1“ a „a2“.
-
To je další způsob zápisu vektoru „a“.
-
Čemu se to rovná?
-
Definice naší transformace je přímo tady.
-
To je rovno vektoru o složkách
„a1 plus a2“ a „3 krát a1“.
-
To plyne přímo z definice.
-
Vlastně jsem jen nahradil „x“ za „a“.
-
Stejným postupem,
Čemu je rovna transformace vektoru „b“?
-
To bude stejné jako transformace „a“,
jen budu všude psát „b“.
-
Transformace vektoru „b“ bude…
-
Vektor „b“ má složky „b1“ a „b2“.
-
První složka bude „b1 plus b2“.
-
Druhá složka bude „3 krát b1“.
-
Čemu je rovna transformace vektoru „a“
plus transformace vektoru „b“?
-
No, je to tento vektor plus tento vektor.
-
Čemu je to tedy rovno?
-
To je čistě jen sčítání vektorů.
Sečteme tedy jejich složky.
-
To je „a1 plus a2 plus b1 plus b2“.
-
Je to prostě součet těchto složek.
-
Druhá složka je „3 krát a1“
a chceme to sečíst s touto složkou.
-
Je to tedy „3 krát a1 plus 3 krát b1“.
-
Nyní jsem vám ukázal,
že vezmu-li transformaci každého vektoru
-
a pak je sečtu,
-
tak dostanu stejný výsledek,
jako když vezmu vektory,
-
sečtu je a pak udělám transformaci.
-
Ověřili jsme naši první podmínku,
-
že transformace součtu vektorů
je rovna součtu transformací vektorů.
-
Teď se podívejme, zda to funguje
i s násobením skalárem.
-
Takže víme, jak vypadá
transformace vektoru „a“.
-
Zaprvé, jak vypadá „c krát a“?
-
Myslím, že je dobré začít zde.
-
c krát vektor „a“ bude vektor
o složkách „c krát a1“ a „c krát a2“.
-
Takto definuji násobení vektoru skalárem.
-
Čemu je tedy rovna daná transformace?
-
Vezmu si novou barvu.
-
Co je naše…
-
Nějakou barvu,
kterou jsem dlouho neměl. Bílá!
-
Čemu je rovna transformace „c krát a“?
-
To je jako transformace vektoru
o složkách „c krát a1“ a „c krát a2“.
-
To je rovno vektoru,
jehož první složka je…
-
Vraťme se k definici.
-
…součet první a druhé složky.
-
Druhá složka je pak 3 krát
první složka původního vektoru.
-
První složka je součet…
-
Bude to „c krát a1 plus c krát a2“.
-
Druhá složka je
3 krát původní první složka.
-
To je „3 krát c krát a1“.
-
Čemu je to rovno?
-
To je to samé.
-
Můžeme vlastně vytknout „c“.
-
To je stejné jako „c“ krát vektor
o složkách „a1 plus a2“ a „3 krát a1“.
-
Toto jsme však už viděli.
-
To je přece stejné jako
transformace vektoru „a“.
-
Tak tedy vidíte,
že transformace vektoru „c krát a“,
-
pro libovolný vektor „a“ z 'R na 2',
-
je roven 'c' krát
transformace vektoru „a“.
-
Ověřili jsme tedy i druhou podmínku,
-
jež tvrdí…
-
Napsal jsem ji tu takto,
nemusím ji přeformulovat.
-
Splnili jsme obě podmínky, což znamená,
že T je lineární transformace.
-
Možná si říkáte:
-
„Sale, to je hezké, ale jak mohu vědět,
že nejsou všechny transformace lineární?“
-
„Ukaž mi něco, co nebude fungovat.“
-
Udělám jednoduchý příklad.
-
Nadefinuji transformaci.
-
Udělám to z 'R na 2' do 'R na 2',
jen abych je obě porovnal.
-
Mohl bych to udělat z 'R' do 'R',
pokud bych chtěl jednodušší případ.
-
Zadefinuji transformaci.
-
Transformace vektoru o složkách „x1“, „x2“
-
bude rovna vektoru
o složkách „'x1 na druhou'“, „0“.
-
Ověřme, zda je to lineární transformace.
-
První otázka zní:
Čemu je rovna transformace vektoru „a“?
-
Transformace vektoru „a“,
kde „a“ je stejný vektor jako předtím,
-
by vypadala takto.
-
Byl by to vektor o složkách
„'a1 na druhou'“ a „0“.
-
Jak by vypadala transformace
vektoru „c krát a“?
-
To je vektor o složkách
„c krát a1“ a „c krát a2“.
-
Podle definice naší transformace…
-
Promiňte, toto je transformace vektoru.
-
Podle definice naší transformace
to bude rovno novému vektoru,
-
jehož první složka je
'původní první složka na druhou'
-
Je to tedy „'(c krát a1) na druhou'“.
-
Druhá složka je „0“.
-
Čemu je to rovno?
-
Vyměním si barvu.
-
Toto je rovno
„'c na druhou' krát 'a1 na druhou'“
-
a toto je rovno „0“.
-
Za předpokladu, že 'c' je různé od 0
a vytkneme jej, čemu to bude rovno?
-
Vlastně na tom ani nezáleží.
-
Nemusíme to vůbec předpokládat.
-
Je to stejné jako…
-
Je to rovno 'c na druhou' krát vektor
o složkách „'a1 na druhou'“ a „0“.
-
Čemu je to rovno?
-
Tento výraz je roven
transformaci vektoru „a“.
-
Toto je rovno 'c na druhou'
krát transformace „a“.
-
Udělám to stejnou barvou.
-
Právě jsem vám ukázal,
že vezmu-li transformaci „c krát a“,
-
pak je to pro tuto transformaci T,
kterou jsem definoval zde,
-
rovno 'c na druhou' krát transformaci „a“.
-
Toto tvrzení pro tuto volbu transformace
-
je v rozporu s touto podmínkou
lineárnosti transformace.
-
Mám-li 'c' zde, měl bych ho mít i zde.
-
V našem případě mám 'c' zde,
ale tady mám 'c na druhou'.
-
To tedy znamená,
že podmínka splněna není.
-
Toto rozhodně není lineární transformace.
-
Pokud chcete dobrý odhad pro to,
co bude lineární kombinace a co nikoliv,
-
obsahuje-li transformace
lineární kombinaci různých složek,
-
pravděpodobně jde
o lineární transformaci.
-
Máte-li však transformaci,
kde se složky navzájem násobí
-
nebo vidíte různé mocniny,
-
pravděpodobně nejde
o lineární transformaci.
-
Pak existují funkce,
které můžou být v šedé oblasti…
-
Nejčastěji platí, že lineární kombinace
složek ukazuje na lineární transformaci.
-
Snad vám to dalo
povědomí o těchto věcech.
-
Toto vede, podle mě, k nejhezčímu výstupu,
o kterém budu mluvit v dalším videu.