Lineární transformace

Úvod do lineárních transformací.

Nyní už víte, co je to transformace,

můžu vám tedy představit její speciální
typ nazývaný lineární transformace.

Dává smysl, že máme něco
jako lineární transformací,

protože studujeme lineární algebru.

Měli jsme lineární kombinace,

stejně tak můžeme mít
i lineární transformace.

Lineární transformace, podle definice,
je transformace, tedy to je funkce…

Můžeme říci, že je to množina 'R na n'
promítnutá do množiny 'R na m'…

V dalším videu bude zřejmé,
proč jsem takto konkrétní,

i když jsou to jen náhodná písmena.

…kde jsou splněny
následující dvě podmínky.

O něčem řekneme,
že je lineární transformací právě tehdy,

je-li následující tvrzení pravdivé.

Řekněme, že máme dva vektory.

Vektor „a“ a vektor „b“ jsou
oba prvky z množiny 'R na n'.

Oba jsou tedy v našem definičním oboru.

Potom jde o lineární
transformace právě tehdy,

vezmeme-li transformaci
součtu obou našich vektorů…

Pokud je nejdříve sečtu,
tak je to ekvivalentní tomu,

mít transformaci každého z
vektorů a následně je sečíst.

To je má první podmínka
pro lineární transformaci.

Má druhá podmínka je:

Máme-li transformaci
libovolně škálovaného vektoru…

Vynásobím vektor „a“ nějakým skalárem
nebo reálným číslem „c“.

Jde-li o lineární transformaci,
pak je to rovno „c“ krát transformaci „a“.

To se zdá celkem přímočaré.

Zkusme aplikovat tato pravidla a zjistit,
zda je daná transformace lineární nebo ne.

Definujme transformaci.

Máme transformaci „T“.

Část definice, kterou vám prozradím:

Zobrazuje z 'R na 2' do…

Udělejme něco…

Řekněme, že zobrazuje
z 'R na 2' do 'R na 2'.

Zadáte-li dvojici čísel…

Definičním oborem jsou dvojice čísel.

Zadáme (x1, x2)

a zobrazuje na…

Zobrazuje to na
(x1 plus x2, 3 krát x1),

to je další dvojice.

Zapišme to podobněji vektoru.

Takto je to dvojice čísel.

Zapišme to jako…

Je dobré to vidět v různých zápisech,
s kterými se můžete setkat…

Lze to napsat jako
transformaci nějakého vektoru „x“,

který vypadá takto:
„x1“ a „x2“.

Dejme tam závorky.

To je rovno novému vektoru,
„x1 plus x2“ a „3 krát x1“.

To je naprosto legitimní způsob
vyjádření dané transformace.

Třetí způsob, který je velmi neobvyklý,

ale pro mě vystihuje podstatu toho,
co je to transformace.

Je to jen zobrazení,
nebo dá se říct funkce.

Mohu říci, že transformace je zobrazení
jakéhokoliv vektoru v množině 'R na 2',

který vypadá takto:
„x1“ a „x2“…

Použiji tento zápis.

… na vektor, který vypadá takto:
„x1 plus x2“ a „3 krát x1“.

Všechna tato tvrzení jsou ekvivalentní.

Smyslem toho, co právě děláme,
je zjistit, zda je „T“ lineárně nezávislá.

Promiňte, ne lineárně nezávislá.

Zda je lineární transformací.

Tak dlouho jsem se ve videích
zabýval lineární nezávislostí,

až je těžké na to zapomenout.

…zda jde o lineární transformaci.

Ověřme tedy naše dvě podmínky,
mám je přímo zde.

Mějme transformaci „T“
a vektory „a“ a „b“,

které jsou prvky 'R na 2'.

Takže je zapíšu.

„a“ je „a1“, „a2“,
„b“ je „b1“, „b2“.

Promiňte, „b1“ není vektor.
Ujistěme se, že to jsou skaláry.

Toto jsou složky vektoru.

…„b2“.

Kolik je „a1“ plus „b“?

Promiňte, kolik je
vektor „a“ plus vektor „b“?

Selhání mozku…

Dobře.

Sečteme je po složkách.
To je definice vektorového sčítání.

Takže to je „a1“ plus „b1“.

Sečteme první složky.

Druhou složkou je součet
druhých složek vektorů.

„a2“ plus „b2“.

Nic nového.

Čemu je rovna transformace tohoto vektoru?

Transformaci vektoru „a plus b“
bychom mohli zapsat takto.

Je to transformace tohoto vektoru,

vektoru se složkami
„a1 plus b1“ a „a2 plus b2“,

o čemž víme,
že se rovná vektoru…

To je rovno tomuto vektoru.

První složku získáme tak,
že sečteme první a druhou složku zde.

První složka bude rovna
součtu těchto čísel.

Bude to „a1 plus a2 plus b1 plus b2“.

Druhá složka bude rovna,
dle definice transformace,

3 krát první složka vektoru,
který vstupuje do transformace.

3 krát tato složka.

3 krát první složka.

To je „3 krát a1 plus 3 krát b1“.

Dobře.

Čemu je samostatně rovna
transformace vektorů „a“ a „b“?

Transformace vektoru „a“
je rovna transformaci…

Zapišme to takto…

je rovna transformaci
vektoru o složkách „a1“ a „a2“.

To je další způsob zápisu vektoru „a“.

Čemu se to rovná?

Definice naší transformace je přímo tady.

To je rovno vektoru o složkách
„a1 plus a2“ a „3 krát a1“.

To plyne přímo z definice.

Vlastně jsem jen nahradil „x“ za „a“.

Stejným postupem,
Čemu je rovna transformace vektoru „b“?

To bude stejné jako transformace „a“,
jen budu všude psát „b“.

Transformace vektoru „b“ bude…

Vektor „b“ má složky „b1“ a „b2“.

První složka bude „b1 plus b2“.

Druhá složka bude „3 krát b1“.

Čemu je rovna transformace vektoru „a“
plus transformace vektoru „b“?

No, je to tento vektor plus tento vektor.

Čemu je to tedy rovno?

To je čistě jen sčítání vektorů.
Sečteme tedy jejich složky.

To je „a1 plus a2 plus b1 plus b2“.

Je to prostě součet těchto složek.

Druhá složka je „3 krát a1“
a chceme to sečíst s touto složkou.

Je to tedy „3 krát a1 plus 3 krát b1“.

Nyní jsem vám ukázal,
že vezmu-li transformaci každého vektoru

a pak je sečtu,

tak dostanu stejný výsledek,
jako když vezmu vektory,

sečtu je a pak udělám transformaci.

Ověřili jsme naši první podmínku,

že transformace součtu vektorů
je rovna součtu transformací vektorů.

Teď se podívejme, zda to funguje
i s násobením skalárem.

Takže víme, jak vypadá
transformace vektoru „a“.

Zaprvé, jak vypadá „c krát a“?

Myslím, že je dobré začít zde.

c krát vektor „a“ bude vektor
o složkách „c krát a1“ a „c krát a2“.

Takto definuji násobení vektoru skalárem.

Čemu je tedy rovna daná transformace?

Vezmu si novou barvu.

Co je naše…

Nějakou barvu,
kterou jsem dlouho neměl. Bílá!

Čemu je rovna transformace „c krát a“?

To je jako transformace vektoru
o složkách „c krát a1“ a „c krát a2“.

To je rovno vektoru,
jehož první složka je…

Vraťme se k definici.

…součet první a druhé složky.

Druhá složka je pak 3 krát
první složka původního vektoru.

První složka je součet…

Bude to „c krát a1 plus c krát a2“.

Druhá složka je
3 krát původní první složka.

To je „3 krát c krát a1“.

Čemu je to rovno?

To je to samé.

Můžeme vlastně vytknout „c“.

To je stejné jako „c“ krát vektor
o složkách „a1 plus a2“ a „3 krát a1“.

Toto jsme však už viděli.

To je přece stejné jako
transformace vektoru „a“.

Tak tedy vidíte,
že transformace vektoru „c krát a“,

pro libovolný vektor „a“ z 'R na 2',

je roven 'c' krát
transformace vektoru „a“.

Ověřili jsme tedy i druhou podmínku,

jež tvrdí…

Napsal jsem ji tu takto,
nemusím ji přeformulovat.

Splnili jsme obě podmínky, což znamená,
že T je lineární transformace.

Možná si říkáte:

„Sale, to je hezké, ale jak mohu vědět,
že nejsou všechny transformace lineární?“

„Ukaž mi něco, co nebude fungovat.“

Udělám jednoduchý příklad.

Nadefinuji transformaci.

Udělám to z 'R na 2' do 'R na 2',
jen abych je obě porovnal.

Mohl bych to udělat z 'R' do 'R',
pokud bych chtěl jednodušší případ.

Zadefinuji transformaci.

Transformace vektoru o složkách „x1“, „x2“

bude rovna vektoru
o složkách „'x1 na druhou'“, „0“.

Ověřme, zda je to lineární transformace.

První otázka zní:
Čemu je rovna transformace vektoru „a“?

Transformace vektoru „a“,
kde „a“ je stejný vektor jako předtím,

by vypadala takto.

Byl by to vektor o složkách
„'a1 na druhou'“ a „0“.

Jak by vypadala transformace
vektoru „c krát a“?

To je vektor o složkách
„c krát a1“ a „c krát a2“.

Podle definice naší transformace…

Promiňte, toto je transformace vektoru.

Podle definice naší transformace
to bude rovno novému vektoru,

jehož první složka je
'původní první složka na druhou'

Je to tedy „'(c krát a1) na druhou'“.

Druhá složka je „0“.

Čemu je to rovno?

Vyměním si barvu.

Toto je rovno
„'c na druhou' krát 'a1 na druhou'“

a toto je rovno „0“.

Za předpokladu, že 'c' je různé od 0
a vytkneme jej, čemu to bude rovno?

Vlastně na tom ani nezáleží.

Nemusíme to vůbec předpokládat.

Je to stejné jako…

Je to rovno 'c na druhou' krát vektor
o složkách „'a1 na druhou'“ a „0“.

Čemu je to rovno?

Tento výraz je roven
transformaci vektoru „a“.

Toto je rovno 'c na druhou'
krát transformace „a“.

Udělám to stejnou barvou.

Právě jsem vám ukázal,
že vezmu-li transformaci „c krát a“,

pak je to pro tuto transformaci T,
kterou jsem definoval zde,

rovno 'c na druhou' krát transformaci „a“.

Toto tvrzení pro tuto volbu transformace

je v rozporu s touto podmínkou
lineárnosti transformace.

Mám-li 'c' zde, měl bych ho mít i zde.

V našem případě mám 'c' zde,
ale tady mám 'c na druhou'.

To tedy znamená,
že podmínka splněna není.

Toto rozhodně není lineární transformace.

Pokud chcete dobrý odhad pro to,
co bude lineární kombinace a co nikoliv,

obsahuje-li transformace
lineární kombinaci různých složek,

pravděpodobně jde
o lineární transformaci.

Máte-li však transformaci,
kde se složky navzájem násobí

nebo vidíte různé mocniny,

pravděpodobně nejde
o lineární transformaci.

Pak existují funkce,
které můžou být v šedé oblasti…

Nejčastěji platí, že lineární kombinace
složek ukazuje na lineární transformaci.

Snad vám to dalo
povědomí o těchto věcech.

Toto vede, podle mě, k nejhezčímu výstupu,
o kterém budu mluvit v dalším videu.