큰 숫자를 추정해보는 똑똑한 방법 -마이클 미첼( Michael Mitchell)

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병속에 얼마나 많은 사탕이 들어있는지 세보려고 한 적있나요? 또는 시카고에 얼마나 많은 피아노 조율사가 있을까요?. 물리학자인 엔리코 페르미는 이런 문제를 잘 풀었습니다. 큰 숫자들을 빨리 추정해보기 위해서 10의 제곱을 사용하는 방법을 배워보세요.

여러분들이 좋든 싫든, 우리는
매일 숫자를 사용합니다.

예를들어 소리의 속도와 같은 숫자들은
작고 처리하기 쉽습니다.

빛의 속도와 같은 숫자들은
훨씬 크고 다루기 까다롭습니다.

사람들은 이렇게 큰 숫자들을 다루기 쉬운 형식으로
표현하기 위해서 과학적 표기법을 사용합니다.

그래서 299,792,458 미터는
초당 3.0 곱하기 10의 8제곱 미터라고 씁니다.

올바른 과학적 표기법에서는 첫번째 항의 숫자가
1보다는 크고 10 보다 작은 숫자를 쓰도록 합니다,

그리고 두번째 항은 10의 제곱수, 즉 크기의 정도인데,
이것을 첫번째 항에 곱해 자리수로 표현합니다.

정확한 값이나 숫자가 필요하지 않을 때는
10의 제곱수를 통해 크기를 빠르게 가늠해 볼 수 있습니다.

예를 들어, 원자의 지름은 대략
10의 마이너스 12제곱 미터입니다.

나무의 높이는 약 10의 1제곱 미터 정도입니다.

그리고 지구의 지름은 약
10의 7제곱 미터정도입니다.

숫자를 측정해보는 도구로써
10의 제곱수는 언제나 편리합니다,

마치 여러분들이 병속에 들어있는
초콜렛 갯수를 가늠해 볼 때 처럼 말이죠.

이것은 수학과 과학에서 필요로 하는 방법이고, 특히
페르미(Fermi)의 문제를 다룰 때는 더욱 그렇습니다.

페르미의 문제는 크기 추정을 빠르게 하기로 유명한
이태리 물리학자 엔리코 페르미(Enrico Fermi)의
이름을 따서 만들었습니다,

즉, 대략 적은 데이터를 가지고
빨리 추정해보는 방법이라고 합니다.

페르미는 원자폭탄을 개발한 맨하탄
프로젝트(Manhattan Project)에서 연구했습니다.

그리고 1945년에 트리니티(Trinity)에서 실험을 할 때,
페르미는 폭발 동안 몇 장의 종이를 떨어뜨렸습니다,

그리고 그 종이들이 날아가는
거리를 통해서 폭발의 강도를

TNT 폭탄 10킬로톤으로 추정하였습니다.
실제로는 20킬로톤 정도의 크기였지요.

페르미 추정의 대표적인 예는 미국 시카고에 얼마나
많은 피아노 조율사가 있는지 계산해보는 것입니다.

우선, 풀리지 않은 너무나도 많은
미지수가 있을 것 같습니다.

그 문제는 정확한 답을 알 필요는 없을 때,
10의 제곱수를 응용한 좋은 예입니다.

추정은 잘 맞습니다.

먼저 시카고의 인구수를
조사해 봅니다.

우리는 시카고가 대도시라는 것을 알고 있지만,
정확하게 몇 명이 살고 있는지는 명확하게 모릅니다.

3백만명 일까요?
5백만명 정도 있을까요?

많은 사람들이 이런 불확실성에
불편해하는 것이 이 문제의 요점입니다,

하지만 우리는 10의 제곱수를
통해서 쉽게 해결할 수 있습니다.

시카고의 인구 크기를 10의 6제곱
크기로 추정해 볼 수 있습니다.

이 숫자가 정확한 인구수는 아니지만,

실제 인구가 대략 3백만명이 조금 안되는
실제 인구에 대한 추정치는 됩니다.

그래서 시카고에 10의 6제곱 정도의
인구가 있다면 피아노는 몇 대가 있을까요?

우리가 계속해서 크기로 이야기를 한다면,

10명중에 1명 또는 100명중에 1명이
피아노를 가지고 있다고 말할 수 있겠죠.

인구수에 어린이와 성인이 포함되었다면,

시카고에 약 10의 4제곱개, 즉 10,000대
정도의 피아노가 있다고 추정해 볼 수 있습니다.

이렇게 많은 피아노가 있다면,
피아노 조율사는 몇 명이나 있을까요?

피아노를 얼마나 자주
조율하는지부터 생각해보거나,

하루에 얼마나 많은 피아노가 조율되는지,
또는 조율사가 몇 일을 일하는지 생각해보죠,

하지만 그것이 빠른 추정의 요점은 아닙니다.

크기를 생각하지 말고, 조율사가 1년에
10의 2제곱개 정도의 피아노를 조율한다고 생각하면,

그 숫자는 약 몇 백개정도 입니다.

앞의 추정에서 10의 4제곱개의
피아노가 시카고에 있다고 했습니다,

그리고 조율사가 매년 10의 2제곱번
피아노를 조율한다고 했죠,

그럼 시카고에는 약 10의 2제곱명의
피아노 조율사가 있다고 말할 수 있습니다.

자, 저는 지금 여러분들에게
무슨 생각이 드는지 알고 있습니다:

어떻게 이 모든 추정들이
타당한 답을 줄 수 있을까요?

사실 상당히 간단합니다: 페르미의 문제에서,
과대 추정과 과소 추정이 서로 균형을 이룬다고 가정합니다,

그리고 보통 실제 해답에서 1자리수
이내 크기로 추정을 하게 됩니다.

피아노 조율사의 예는 시카고의 전화번호부에서
조율사의 숫자를 통해 확인해 볼 수 있습니다.

몇명일까요? 81명입니다.

우리가 해본 크기 추정이
상당히 정확하죠.

하지만, 그것은 10의 제곱입니다.