2003年美国数学邀请赛II卷第5题

从圆柱体木头上截下来一个楔形的体积问题。

内容制作：萨尔曼·可汗

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一个圆柱体木头的
直径为 12 英寸。

通过两次完全穿过木头的平面切割，

得到了一个楔形体。

第一次切割垂直于圆柱体中心轴，

第二次切割的平面与
第一次切割的平面

形成45度角。

这两个平面的交叉部分

仅为位于木头上的一个公共交点。

楔形体的体积，
单位是立方英寸，

可以用 nπ 来表示，
n 是一个正整数。

求 n。

我们来思考一下。

我们来画一下问题所描述的。

有一个圆柱形木头，

直径为 12 英寸。

我们画出来。

我来这样画。

这是木头的截面。

直径为 12 英寸。

这是 12 英寸。

它是圆柱体，像这样。

这是木头。

问题当中描述的木头。

通过两次完全穿过木头的平面切割，

得到了一个楔形体。

第一次切割垂直于圆柱体中心轴，

所以是这样切下来的。

竖直地切下来。

还有另一种思考的方式。

这次切割垂直于圆柱体中心轴。

圆柱体中心轴穿过圆柱体，

就像这样。

我不想这样画，

会让图看起来太复杂。

如果木头是透明的话，
切割看起来就是这样。

第一次切割就像这样穿过木头。

其实就是木头的横截面。

这是第一次切割。

第一次切割垂直于圆柱体中心轴，

第二次切割的平面与
第一次切割的平面

形成45度角。

所以这样切进来形成 45 度角。

会像这样切进木头。

这像是这样子。

这两个平面的交叉部分

仅为位于木头上的一个公共交点。

这就是那个点，就在那里。

我们需要算出来楔形体的体积，

单位是立方英寸，
可以用 nπ 来表示，

我们需要算出 n。

我们来画出楔形体，
在这切出来的楔形体。

这里就是。

我们将它拿出来，
然后调转一下。

所以底是，

我们将垂直的截面做底。

也就是这个截面。

这是楔形体的底。

我们的底。

顶部的截面用紫红色画出，

45度角的截面。

让我来这样画。

就像这样。

尽最大努力在画。

这部分很难画。

让我来看出 45 度角的截面。

它看起来大概是这样，

这里是角度，

上面这部分的直径，
实际上，

它并不是一样正常的圆。

它更像是椭圆。

上面这个部分的直径

与底的直径，

也就是这个圆的直径，

形成的角度是 45 度。

第一次看这个问题的时候，

这里有各种各样的陷阱。

或许你使用了微积分。

或许你沿着轴旋转了一下，

想要算出体积。

也许你在这里
算了各种各样的平均值，

可能你试了这样的方法。

但是最简单的方法，

每每当你

看到这种竞赛题目，

这道题目来自
2003年美国数学邀请赛，

都会有简便算法。

特别是这个比赛，

你不必使用微积分。

如果你发现自己想的方法

非常繁琐复杂，
那你很有可能

还没有想到解题的简便方法。

如果你能看出窍门所在，

这道题其实特别简单。

窍门在这，

不要直接算这个楔形的体积。

拿来另一个一模一样的楔形，
翻转一下，

放在这个上面。

如果你这么做了，

你将另一个楔形体放在上面，
就像这样。

所以我拿了两个楔形体，

将其中一个翻转，
然后将两个堆放在一起，

就像这样。

这里有另一个楔形体。

我将有它们有角度的面互相对着，

将一个放在另一个上面。

如果你拿两个楔形体，
翻转一个，

将一个放在另一个上面，
你会得到什么？

同样的问题——
我可以将绿色的楔形体

画在这里。

绿色的楔形体看起来像这样，

它的底是这样的。

将两个楔形体放在一起，
这个结构像什么?

没错，它现在就是一个圆柱体。

是一个圆柱体。

这个圆柱体直径为 12 。

这个直径是12。

但是，想要求圆柱体的体积，

我们还需要知道圆柱体的高。

还需要算出这个长度。

这里的高是多少。

需要算出这个长度

是多少。

45度在这里起了作用。

好吧，其实45度已经帮了我们。

因为你翻转楔形体，
将它们相对着放在一起，

组成了一个完美的圆柱体。

如果不是45度，

那它就不会刚好是个圆柱体。

45度角也会告诉我们高是多少、

我们在这里思考一秒钟。

刚开始时我画的三角形，

我已经用了蓝色，

那就用黄色来画吧。

如果我取出带有角度的
截面的直径，

再次强调，它不是圆，

但它有点像一个被抻开的圆，

我再取出底的直径，

它们构成了一个 45 度角。

这是45度角。

那这里也会是 45 度。

这个长度——

我们知道这里的长度是 12 。

那这个三角形的度数是
45-45-90。

让我来这样画。

我能这样画。

这里是 45-45-90 三角形。

你可能会问，
我怎样知道这是 45 度？

这里是直角，

三角形内角和是 180 度。

已经有了一个 45 度和 90 度，

剩下的就应该是 45 度。

这个 45-45-90 三角形，
这两条边相等。

它是等腰三角形。

两个底角角度相同，

两条边就应该一样长。

这条边是12，

那么这里的这条边

也是 12。

所以高是 12。

我们先算一下圆柱的体积，

它其实就是有两个楔形组成。

那么圆柱体积的一半
就应该是楔形体积。

我们来算圆柱体积，

先算出圆柱顶部的面积。

算法是半径的平方乘以π 。

半径是 12 的一半，
也就是 6。

面积是 π 乘以 r 的平方。

面积就是 36 π ——

乘以高，也就是12，

所以整体的体积。

就会等于，是多少？

360 加上 70。

让我乘法运算一下。

我不想犯粗心的错误。

36 乘以 12。

36 乘以 2 是 72。

1 乘以 36 是 36。

2，13，4。

所以是 432 pi。

我们得非常认真。

这是两个楔形体的体积。

再次强调，
这是两个楔形体的体积。

一个楔形体的体积，
就应该是这个数字的一半，

让我用不同的颜色表示。

一个楔形体的体积
是这个的一半，也就是 216 π。

如果我们想要找到 n，
因为问题是

楔形体的体积，
单位是立方英寸，

可以用 n π 表示，

结果是 216 π，
n 是正整数，试求 n。

我们已经算出来了，
是 216。