2003 AIME II Problem 5

Деревянное полено имеет диаметр 12 дюймов.

Клиновидный вырез рассекает полено двумя плоскими резами по всей длине.

Первый рез идет перпендикулярно оси целиндра,

а плоскость другого реза образует угол в 45 градусов с плоскостью первого.

Пересечение этих двух плоскостей имеет ровно одну точку, общую с поленом.

Количество кубических дюймов в вырезе может быть представленно числом n умноженным на число π, где n - положительное целое число.

Найти число n.

Давайте подумаем, как это сделать, нарисовав иллюстрацию к объяснению.

У нас есть циллиндрическое полено с диаметром в 12 дюймов, давайте нарисуем.

Представим, что это сечение полена

диаметром 12 дюймов

это 12 дюймов, и это цилиндр, так что он выглядит как-то так.

Таким образом, на рисунке изображено полено из условия задачи.

Клиновидный вырез сделан в бревне таким образом, что он проходит через все бревно.

Первый рез проходит перпендикулярно оси цилиндра.

Поэтому он разрежет цилиндр, на самом деле,
перпендикулярно.

Этот рез перпендикулярен оси цилиндра.

Ось цилиндра идет через цилиндр вот так.

Я не буду ее рисовать, иначе рисунок будет непонятен.

Если бы полено было прозрачным, первый рез выглядел бы так.

Он бы формировал сечение бревна.

Итак, первый рез перпендикулярен оси цилиндра.

А плоскость второго реза образует угол в 45 градусов с плоскостью первого реза.

То есть, она пойдет под углом в 45 градусов к плоскости первого реза.

И будет выглядеть примерно вот так.

Как-то так.

Пересечение двух плоскостей реза имеет ровно одну общую точку с поленом.

Это будет вот эта точка на пересечении.

Итак, нам необходимо найти число кубических дюймов в вырезе.

Которое выражается числом nπ.

Давайте рассмотрим вырез, изображенный на этом рисунке.
32
00:02:18,770 --> 00:02:18,078
Для этого возьмем этот вырез и "перевернем" его.

За основание выреза примем перпендикулярный рез.

Он заштрихован на рисунке.

Основание выреза будет выглядеть так.

Высотой выреза будет являться линия, жирно выделенная пурпурным цветом.

Высота будет выглядеть так.

Плоскость реза под 45 градусов будет выглядеть примерно так.

Угол в 45 градусов будет находиться здесь.

Нарисуем хорду верхней стороны через центр эллипсоида.

Эта хорда будет образовывать с диаметром основания угол,

и этот угол по условиям задачи равен 45 градусам.

Когда я начал рассматривать эту задачу, у меня возникло много идей:

использовать численные методы, либо развернуть это в пространстве вокруг разных осей,

найти объем, посчитать среднее значение.

Не исключено, что это все приведет к решению.

Но, обычно в конкурсных задачах надо искать самое простое решение

(задача взята из списка олимпиадных задач AIME 2003-го года).

Так что, если вы делаете что-то сложное,

...то вы скорее всего просто не нашли простейшего пути решения.

Вообще говоря, эта проблема имеет очень простое решение,

если вы используете тут одну хитрость.

Хитрость состоит в том, что вместо работы с объемом этой фигуры,

необходимо взять копию этой фигуры, перевернуть и "положить" сверху.

Два клиновидных выреза, склеенные таким образом, будут выглядеть так.

Здесь я взял такой же клиновидный вырез, и "положил" сверху перевернутым.

Зеленый вырез в изначальном рисунке будет выглядеть так.

А это основание второго выреза.

Если совместить фигуру выреза и его копию таким образом, то мы получим цилиндр.

И теперь это цилиндр с диаметром 12.

Чтобы определить объем получившегося цилиндра, необходимо вычислить его высоту.

Длину этого отрезка.

И здесь нам поможет условие задачи о 45 градусах.

Нам это условие уже помогло: если бы величина угла отличалась от 45, цилиндр бы не получился.

Но 45 градусов нам еще и поможет определит высоту цилиндра.

Рассмотрим эту подзадачу.

Для наглядности будем использовать желтый цвет.

Отметим хорду, проходящую через центр наклонной плоскости.

И отметим диаметр основания.

Они образуют угол в 45 градусов.

Если угол у основания 45 градусов, то и угол здесь тоже будет 45 градусов.

Длину диаметра мы знаем. Она равна 12.

У нас получился равнобедренный прямоугольный треугольник.

Давайте нарисуем его отдельно.

Углы получатся 45 градусов, 45 и 90.

Угол между хордой и основанием равен 45 градусам,

потому что один из углов треугольника равен 45, а второй 90.

Сумма углов треугольника равна 180 градусам.

Получается, что два угла треугольника одинаковые, то две стороны - тоже одинаковые.

Таким образом, если эта сторона 12, то и эта сторона будет 12.

Таким образом, высота цилиндра тоже будет 12.

Давайте теперь определим объем цилиндра.

Это, по сути, объем двух клиновидных вырезов.

Поэтому, найдя объем цилиндра, мы легко определим объем одного выреза.

Для вычисления объема цилиндра необходимо определить площадь

верхней грани цилиндра.

Площать будет равна π умноженному на квадрат радиуса.

Радиус равен половине диаметра (половина от 12 будет 6),

поэтому площадь равна 36π.

Умножим площадь на высоту цилиндра, и получим объем равным 36π умноженным на 12.

Посчитаем произведение 12 на 36.

36*2=72

36*10=360

Сложим. Получилось 432.

Итак, объем цилиндра равен 432π.

Внимание! Это объем двух вырезов.

Отсюда, объем одного выреза будет равен половине объема цилиндра, или 216π

Таким образом, положительное число n (по условию объем выреза равен nπ) найдено и равно 216.