-
Хајде да урадимо још тону примера,
-
само да би се уверили да добро капирамо ове тригонометријске функције.
-
Дакле, хајде да конструишемо себи неке правоугле троуглове.
-
Конструишимо себи неке правоугле троуглове,
-
и желим да будем веома јасан.
-
Како сам то до сада дефинисао, важиће само за правоугли троугао.
-
Тако да, ако покушате да пронађете тригонометријске функције углова који не припадају правоуглом троуглу,
-
видећемо да ћемо морати да конструишемо правоугле троуглове,
-
али хајде да се фокусирамо на правоугле троуглове, за сада.
-
Дакле, рецимо да имам троугао,
-
где је, рецимо, ова дужина доле 7,
-
и рецимо да је дужина ове странице овде горе,
-
рецимо да је она 4.
-
Хајде да пронађемо колика ће бити ова хипотенуза овде.
-
Значи, знамо - назовимо хипотенузу "h" -
-
знамо да ће h на квадрат бити једнако 7 на квадрат + 4 на квадрат,
-
знамо то из Питагорине теореме,
-
да је хипотренуза на квадрат једнака
-
квадрату сваке, збиру квадрата остале две странице.
-
h на квадрат је једнако 7 на квадрат + 4 на квадрат.
-
Значи, ово је једнако 49 + 16,
-
49 + 16,
-
49 + 10 је 59, + 6 је 65.
-
То је 65, дакле, ово h на квадрат,
-
дајте да напишем: - h на квадрат - то је друга нијанса жуте -
-
значи, имамо h на квадрат да је једнако 65.
-
Да ли сам урадио како треба? 49 + 10 је 59, + још 6 је 65,
-
или би могли да кажемо да је h једнако, ако извадимо корен из обе стране,
-
квадратни корен
-
квадратни корен из 65. И заиста не можемо да упростимо ово уопште.
-
Ово је 13.
-
Ово је исто што и 13 пута 5,
-
оба ова нису идеални квадрати и
-
оба су прости тако да не можете ово упростити више.
-
Дакле, ово је једнако квадратном корену из 65.
-
Сада, хајде да нађемо тригонометријске, пронађимо тригонометријске функције за овај угао овде горе.
-
Назовимо тај угао горе тета.
-
Дакле, шта год да радите
-
увек треба то да запишете - бар за мене, вреди написати -
-
"сох-цах-тоа".
-
сох...
-
...сох-цах-тоа. Имам замагљена сећања
-
на мог наставника тригонометрије.
-
Можда сам их и прочитао у некој књизи. Не знам - знате, неке...о
-
некој индијанској принцези која се звала "сох-цах-тоа" или тако нешто,
-
али је веома користан подсетник,
-
тако да можемо да применимо "сох-цах-тоа".
-
Хајде да нађемо, рецимо да хоћемо да нађемо косинус.
-
Желимо да нађемо косинус нашег угла.
-
Желимо да нађемо косинус нашег угла, кажете: "сох-цах-тоа!"
-
Значи, "цох". "Цох" нам говори шта да радимо са косинусом,
-
"Цох" део нам каже
-
да је косинус наспрамна кроз хипотенузу.
-
Косинус је једнак наспрамна кроз хипотенузу.
-
Па, хајде да погледамо овде где је тета; која је страница налегла?
-
Па, знамо да је хипотенуза,
-
знамо да је хипотенуза ова страница овде.
-
Значи, да не може да буде та страница. Једина друга страница која је некако налегла на њега, а
-
да није хипотенуза, је ова 4.
-
Дакле, налегла страница овде, та страница је,
-
она је буквално, одмах уз угао,
-
она је једна од страница које формирају угао,
-
то је 4 кроз хипотенузу.
-
За хипотенузу већ знамо да је квадратни корен из 65,
-
тако да је то 4 кроз квадратни корен из 65.
-
И понекад ће људи хтети да рационализујете именилац, што значи
-
да не желе да имају ирационалан број у имениоцу,
-
као што је квадратни корен из 65,
-
и ако они - ако желите да напишете ово без ирационалног броја у имениоцу,
-
можете да помножите бројилац и именилац
-
квадратним кореном из 65.
-
Ово, јасно, неће променити број,
-
зато што га множимо нечим кроз то исто,
-
тако да множимо број са 1.
-
То неће променити број, али се бар ослобађамо ирационалнох броја у имениоцу.
-
Значи да бројилац постаје
-
4 пута квадратни корен из 65,
-
а именилац, квадратни корен из 65 пута квадратни корен из 65, ће једноставно бити 65.
-
Нисмо се ослободили ирационалног броја, он је још увек ту, али је сада у бројиоцу.
-
Сада, хајде да урадимо остале тригонометријске функције
-
или бар остале, основне тригонометријске функције.
-
Научићемо касније да их заправо, има тона,
-
али су оне све изведене из ових.
-
Дакле, хајде да размислимо о томе шта је синус тета. Још једном на "сох-цах-тоа".
-
"Сох" нам каже шта да радимо са синусом. синус је супротна над хипотенузом.
-
Синус је једнак супротна кроз хипотенуза.
-
Синус је супротна кроз хипотенуза.
-
Па, за овај угао, која страница је супротна?
-
Идемо само насупрот, ка ономе ка чему се отвара, његова супротна је 7.
-
Значи, супротна страница је 7.
-
Ово, управо овде - то је супротна страница
-
и онда хипотенуза, то је супротна кроз хипотенуза.
-
Хипотенуза је квадратни корен из 65.
-
Квадратни корен из 65.
-
И још једном, када би хтели да рационализујемо ово,
-
могли би да помножимо пута квадратни корен из 65 кроз квадратни корен из 65
-
и у бројиоцу ћемо добити 7 квадратних корена из 65,
-
а у бројиоцу ћемо добити само 65, поново.
-
Сада, хајде да урадимо тангенс!
-
Урадимо тангенс.
-
Дакле, ако вам тражим тангенс
-
од - тангенс од тета,
-
опет идемо назад на "сох-цах-тоа".
-
"Тоа" део нам говори шта да радимо са тангенсом.
-
Говори нам...
-
Каже нам да је тангенс
-
једнак супротна кроз налегла,
-
је једнак супротна кроз
-
супротна кроз налегла
-
Дакле, за овај угао, шта је супротна? Већ смо пронашли
-
да је 7. Отвара се ка 7.
-
Он је насупрот 7.
-
Значи, то је 7 кроз ону страницу која је налегла.
-
Па, ових 4 је налегла.
-
Ових 4 је налегла. Тако да је налегла страница 4.
-
Значи, то је 7 кроз 4,
-
и завршили смо.
-
Пронашли смо све тригонометријске односе за тета. Урадимо још један.
-
Хајде да урадимо још један.
-
Направићу га мало конкретнијим, јер сада говоримо
-
"ох, шта је тангенс од х, тангенс од тета." Хајде да буде мало конкретнији.
-
Рецимо...
-
Рецимо, дајте да нацртам још један правоугли троугао.
-
То је други правоугли троугао овде.
-
Све са чиме радимо, односи се на правоугле троуглове.
-
Рецимо да хипотенуза има дужину 4,
-
рецимо да ова страница овде има дужину 2,
-
и рецимо да ће ова дужина овде бити два пута квадратни корен из 3.
-
Можемо проверити да ли ово важи.
-
Ако имате ову страницу квадрирану, тако да имате - дајте да запишем то -
-
2 пута квадратни корен из 3 на квадрат
-
+ 2 на квадрат, је једнако, чему?
-
Ово је 2. Биће 4 пута 3.
-
4 пута 3 + 4,
-
и ово ће бити једнако 12 + 4 је једнако 16
-
а 16 је заправо 4 на квадрат. Значи, ово је једнако 4 на квадрат,
-
то јесте једнако 4 на квадрат. Задовољава Питагорину теорему
-
и ако се сећате неких од задатака из 30 60 90 троуглова
-
које сте могли да научите у геометрији,
-
можда ћете препознати да је ово 30 60 90 троугао.
-
Ово овде је наш прав угао,
-
- требало је да га нацртам на почетку да бих вам показао да је ово правоугли троугао -
-
овај угао овде је наш угао од 30 степени
-
а затим овај угао овде, овај овде је
-
угао од 60 степени,
-
и то је 30 60 90 јер
-
страница супротна од 30 степени је половина хипотенузе,
-
а затим страница супротна од 60 степени ја квадрат од 3 пута друга страница
-
која није хипотенуза.
-
Дакле, то нам је рекло, ми нећемо...
-
Ово није предвиђено да буде анализа 30 60 90 троуглова, иако сам то управо урадио.
-
Хајде да заиста пронађемо тригонометријске односе за различите углове.
-
Дакле, ако бих вас питао или ако би вас било ко питао, колики је...
-
Колики је синус од 30 степени?
-
И сетите се да је 30 степени један од углова у овом троуглу, али може бити примењен
-
увек када имате угао од 30 степени и имате правоугли троугао.
-
Проширићемо дефиниције у будућности, али ако кажете синус од 30 степени,
-
хеј, овај угао овде је 30 степени, тако да могу да применим овај правоугли троугао.
-
И само треба да се сетимо "сох-цах-тоа"
-
Преписаћемо то, сох-цах-тоа.
-
Синус нам говори, "сох" нам говори шта треба да радимо са синусом. Синус је супротна кроз хипотенузу.
-
Синус од 30 степени је супротна страница,
-
то је супротна страница, која је 2, кроз хипотенузу.
-
Хипотенуза је овде 4.
-
То је 2/4 што је исто што и 1/2.
-
Синус од 30 степени ће увек бити, видећете, једнак 1/2.
-
Сада, колики је косинус?
-
Колики је косинус од 30 степени?
-
Још једном се вратимо на "сох-цах-тоа"
-
"Цах" нам говори шта треба да радимо са косинусом.
-
Косинус је налегла кроз хипотенузу.
-
Дакле, погледамо у угао од 30 степени и видимо која је налегла.
-
Ова, управо овде је налегла. Она је непосредно поред.
-
Она није хипотенуза. То је налегла кроз хипотенуза.
-
Значи, то је 2 квадратна корена из 3,
-
налегла кроз... кроз хипотенуза, кроз 4.
-
Или, ако упростимо то, поделимо бројилац и именилац са 2.
-
То је квадратни корен из 3 кроз 2.
-
И на крају, урадимо тангенс.
-
Тангенс од 30 степени,
-
враћамо се на "сох-цах-тоа".
-
"Сох-цах-тоа".
-
"Тоа" нам говори шта радимо са тангенсом. То је супротна кроз налегла.
-
Идете на угао од 30 степени зато што нас он занима, тангенс од 30.
-
Тангенс од 30. Супротна је 2,
-
супротна је 2, а налегла је 2 квадратна корена из 3.
-
Она је непосредно поред. Она је налегла не њега.
-
Налегла значи тик уз.
-
Значи, 2 квадратна корена из 3.
-
дакле, ово је једнако... двојке се поништавају
-
1 кроз квадратни корен из 3
-
Или можемо помножити бројилац и именилац квадратним кореном из 3.
-
Тако да имамо квадратни корен из 3 кроз квадратни корен из 3.
-
И значи, ово ће бити једнако у бројиоцу, квадратни корен из 3 и онда
-
у имениоцу, овде ће бити само 3.
-
Тако да смо рационализовали квадратни корен из 3 кроз 3.
-
Довољно добро.
-
Сада, хајде да употребимо исти троугао да пронађемо тригонометријске односе за 60 степени,
-
пошто смо га већ нацртали.
-
Дакле, колики је... колики је синус од 60 степени?
-
И надам се да хватате прикључак.
-
Синус је супротна кроз хипотенуза. Сох из "сох-цах-тоа".
-
За угао од 60 степени, која је страница супротна,
-
она према којој се отвара је 2 квадратна корена из 3.
-
Дакле, супротна страница је 2 квадратна корена из 3,
-
и за угао од 60 степени, нал... - ох, извините,
-
то је супротна кроз хипотенузу, не желим да вас збуним.
-
Значи, то је супротна кроз хипотенузу.
-
Дакле, то је 2 квадратна корена из 3 кроз 4. 4 је хипотенуза.
-
Значи, то је једнако, ово се упрости на квадратни корен из 3 кроз 2.
-
Колики је косинус од 60 степени? Косинус од 60 степени.
-
Па, сетите се "сох-цах-тоа". Косинус је налегла кроз хипотенуза.
-
Налегла је страница 2, непосредно уз угао од 60 степени.
-
Дакле, то је 2 кроз хипотенуза, која је 4.
-
Значи, ово је једнако 1/2.
-
И онда, на крају, колики је тангенс?
-
Колики је тангенс од 60 степени?
-
Па, тангенс, "сох-цах-тоа". Тангенс је супротна кроз налегла.
-
Супротна од 60 степени
-
је 2 квадратна корена из 3,
-
2 квадратна корена из 3,
-
а налегла на угао,
-
налегла на угао је 2.
-
Налегла на 60 степени је 2.
-
Дакле, то је супротна кроз налегла, 2 квадратна корена из 3 кроз 2,
-
што је једнако само квадратном корену из 3.
-
И само сам хтео да - погледајте како се ови односе -
-
синус од 30 степени је исто што и косинус од 60 степени.
-
Косинус од 30 степени је исто што и синус од 60 степени.
-
И затим, ови момци су инверзни један другом.
-
И мислим да ако размислите мало о овом троуглу
-
да ће почети да има смисла зашто је то тако.
-
Прошириваћемо ово и
-
дати вам много више примера за вежбање у следећих неколико снимака.