수학의 아름다움과 힘 | 윌리엄 타버네티(William Tavernetti) | TEDxUCDavis

윌리엄 타버네티는 UC데이비스에서 응용수학 박사 학위를 받았고, 현재 UC데이비스 수학과에서 강의를 하고 있습니다. 또한 윌리엄은 캘리포니아 주립 수학과학 여름학교에서 공업역학 입문 과정의 지도 교사도 맡고 있습니다.
대학원 재학 전에는 Valador사에서 신뢰성 분석 기술자로 일하며 NASA의 Altair 달 착륙선 계획을 지원했습니다. 또한 윌리엄은 UC 산타 바바라에서 철학 학사와 수리학 이학사를 취득하였습니다.

이 강연은 TED의 형식에 맞춰 별도로 개최된 지역 TEDx행사에서 발표되었습니다. 더 자세한 내용을 알고 싶으시면 http://ted.com/tedx를 방문해 주세요.

어떤 분들은 고양이나 개구리를 보고
이렇게 생각합니다,

"아름답다, 자연의 걸작이야.
좀 더 깊이 이해하고 싶다."

이런 사람들은 생명과학쪽 사람들
예를 들어 생물학과 사람들이겠죠.

또 다른 사람들은 우리 태양처럼
휘몰아 타는 항성을 보고

이렇게 생각하죠.

"이거 매력적인데.
좀 더 잘 알고 싶어."

이 사람들은 물리학도입니다.

또 어떤 사람들은 비행기를 보고
직접 만들고 싶어하죠.

비행 능력을 극대화하고

전 세계를 탐험할 수 있는
기계를 만들고 싶어합니다.

이 사람들은 엔지니어입니다.

또 다른 사람들은

특정한 예들을 집어내는 대신

근원적인 아이디어와 진리를 탐구합니다.

이들은 수학자입니다.

(웃음)

자연을 깊이 있게 바라보고
제대로 이해하는 것.

그것이 과학입니다.
그게 바로 과학적 방법이죠.

과학을 분류하는
한 가지 방법은 이렇습니다.

첫째, 자연과학, 즉 물리학, 화학

이것들은 생명과학, 지구과학 및
우주과학에 응용되죠.

둘째, 사회과학입니다.

정치학과 경제학 같은 것이 있죠.

셋째, 공학과 기술이 있습니다,

공학 영역은 이런 것들이 있죠.

생물의학공학, 화학공학
컴퓨터공학, 전기공학

기계공학 및 원자력공학이 있습니다.

기술을 응용한 영역은 이렇습니다.

생명공학, 통신,
기반시설 같은 것들이죠.

마지막으로, 가장 중요한 게 있죠.

인문학입니다.

철학, 예술 그리고 음악 같은 거죠.

수학은 이 모든 분야에서 나타납니다.

물리학과 공학 같은 일부 분야에서는
그 역할이 꽤 분명하지만

예술과 음악과 같은 분야에서는

수학의 역할이 분명 다소 특수하고
일반적으로 보조적입니다.

그럼에도 불구하고
수학은 어디에나 있죠.

그런 이유로 수학은 연결고리를
만드는 데 특히 유용합니다.

어떻게요? 수학이 어떻게
연결고리를 만드냐구요?

아주 훌륭한 질문입니다.

사실 대답하기 쉽지 않은 질문이에요.

제 생각엔 이 시대를 사는 우리로서는

그 대답이 어떤 것일지
감을 잡는 것이 최선일 것입니다.

수학이 만들 수 있는 연결들을

몇 가지 수학적 아이디어의
렌즈를 통해 알아봄으로써 말이죠.

수학은 물론 숫자들입니다.

아마도 가장 유명한 숫자는
원주율인 파이(π)겠죠.

파이는 원의 기하학적 특성을
나타내기 위해 발견되었는데요.

그것은 모든 원의 지름에 대한
둘레의 비율입니다.

하지만 원을 제외하고는
세상 어디에도 존재하지 않죠.

원은 일종의 순수한 수학적인 개념으로
기하학적인 작도법은 이렇습니다.

"중심점을 고정시키고 나서

그 중심점에서 등거리에 있는
모든 점들을 취하십시오."

2차원에서 이 구성은 원을 만들고

3차원에서는 구를 만듭니다.

그러나 우주 어디에도
원이나 구는 없습니다.

이것은 완벽하고 순수한 수학적 개념인데
우리가 살고 있는 세상은

불완전하고 거칠고 세분화되고 움직이며
모든 것이 약간씩 비스듬합니다.

그럼에도 불구하고 파이란 수는
역사를 통해 놀랍게도 유용했습니다.

그 역사 속으로 함께 가보죠.

기원전 212년경 아르키메데스는
로마 군인에게 살해되었습니다.

그의 유언은 이것입니다.
"내 원들을 건드리지 말라."

그는 자신의 발견 중 가장 좋아하는 걸
자기 묘비에 새겨달라고 했습니다.

바로 이것인데요.

기본적으로 구의 표면적은

그 구가 들어가는 가장 작은 원통의
표면적과 같다는 것입니다.

1620년경 요하네스 케플러는

행성운동의 조화라고 생각한 것을
발견했습니다.

아이작 뉴턴은 나중에
이 성과를 활용했죠.

이것이 케플러가 발표한
행성운동에 관한 제3법칙입니다.

17세기에 크리스티안 하위헌스,
갈릴레오 갈릴레이와 아이작 뉴턴은

진자 연구의 초기 개척자들이었습니다.

이것이 공식이고
T는 진자의 주기입니다.

진자가 한번 왕복하는 데
걸리는 시간을 알려줍니다.

18세기 최고의 수학자인
레온하르트 오일러는

이 공식을 발견했습니다.

e의 i 세타 제곱은 코사인 세타와
i 사인 세타의 합과 같습니다.

이 공식은 대수학, 기하학 및 삼각법의
연결고리를 제공합니다.

특별한 경우로 세타가 파이일 때

이것은 수학에서 가장 중요하다고 할
다섯 개의 가장 중요한 상수들 사이의

관계를 만들어냅니다.

즉, e의 i 파이 제곱 더하기 1은
0입니다.

어떤 사람들은 이것을 수학에서
가장 아름다운 공식이라 불렀습니다.

레온하르트 오일러는
엔지니어로서도 유명했습니다.

이 공식에서 F는
좌굴하중이라고 하는데요.

그림처럼 막대에 축력이 작용할 때
막대가 휘는 순간의 힘을 의미합니다.

19세기 위대한 수학자
카를 프리드리히 가우스는

오늘날 표준정규분포라 하는 것에 대한
연구로 잘 알려졌습니다.

현실 세계에 존재하는
엄청난 양의 자료들은

종형 확률분포 곡선을 이루며
분포한다는 것이죠.

우리의 역사 여행은 20세기 들어서

알버트 아인슈타인의
유명한 상대성 이론으로 끝이 납니다.

이것은 아인슈타인의
중력장 방정식입니다.

이 방정식이 이해하기 얼마나
어려운지는 상상을 뛰어넘죠.

너무 빨랐죠, 저도 알아요.
정말 많은 정보입니다.

시험이나 중간고사는 없으니까
안심하세요.

(웃음)

우리가 연결고리를
찾고 있다는 걸 잊지마세요.

여기 공식들을 보세요.
모든 공식에 파이가 들어 있습니다.

이 수는 원의 기하학으로부터
태어났습니다.

이 모든 물리 현상을 보세요.
모두가 서로 다릅니다.

하지만 모두가 원에서 온
이 기하학적인 수를 공유합니다.

이 원을 보고, 또 다른 공식 안에
파이가 들어있는 걸 보고

아마 이렇게 생각하셨을 거예요.

"아마도, 어떻게, 어떤 식으로든

이 수식을 유도할 때
원이 뭔가 역할을 했을 거야."

원은 단지 하나의 기하학적 형태이며
수학은 훨씬 범위가 넓습니다.

이 세상과 그 안에 존재하는
연결고리도 마찬가지입니다.

여기 보세요. 익형의 평면도입니다.

날개의 횡단면과 같죠.

그리고 여기 보이는 선은
그 위아래로 흐르는 공기 흐름입니다.

그리고 여기 이 실험은
가스를 보여줍니다.

처음엔 칸막이에 의해
용기의 한 쪽면에 압축되어 있습니다.

그런 다음 칸막이에 구멍이 생기면

기체는 전체 용기로 가득 퍼지고
일종의 평형 상태에 도달합니다.

이것은 열원 위에 있는 금속 막대입니다.
이 경우에 열원은 불꽃이죠.

화염이 금속과 접촉하는 곳에서부터

열은 막대를 따라 퍼지고
일종의 열평형에 도달합니다.

물론 이 모든 과학이 나오지 않았겠죠.

만약

전기가 나타나지 않았다면요.

여기 보이는 선들은 전기장의
전위를 보여주는 것으로서

전자가 양 전하에서 음 전하로
이동하는 경로를 보여줍니다.

우리는 이 모든 예들을
서로 전혀 다른 곳에서 발견합니다.

사실 너무 달라서 과학에서는
모두 다른 이름을 붙였죠.

유체 유동,

화학 농도에 관한 픽의 확산 법칙,

푸리에의 열 전도 법칙
그리고 옴의 전기전도 법칙입니다.

그러나 다른 방법, 수학적으로 보면
그들은 모두 매우 유사합니다.

사실 수학에서는
모두 같은 이름으로 부르죠.

라플라스 방정식입니다.

저건 삼각형 u = 0가 아니라
라플라스의 u = 0입니다.

수학자가 볼 때

u는 유체 이거나
물질의 농도가 될 수 있고

열 및 다른 물리량일 수 있습니다.

즉, 이 방정식으로 자연 현상들을
설명할 수 있습니다.

보시다시피 수학에는
숫자만 있는 게 아닙니다.

기하학도 있고, 방정식도 있죠

이렇게 물리 방정식을 비교함으로써

사물을 서로 연결할 수 있는
또 다른 방법을 얻을 수 있습니다.

이 모든 과학 문제들 사이의
연결고리는 미적분입니다.

여러분은 미적분이
현대 계산과학에 필수적이고

기본이라는 것을 알아야 합니다.

이제까지 숫자와 기하학 및
방정식에 대해 살펴보았습니다.

하지만 이 모든 걸 합쳐보죠.
그게 수학이기 때문입니다.

수학의 응용을 살펴봅시다.

도형 작도를 통해서
설명하는 게 좋겠네요.

이것을 1세대라고 하겠습니다.

그리고 이건 2세대입니다.

패턴을 보세요. 어둡고 밝은 부분이
어떻게 바뀌는지를요.

그리고 여기 3세대가 있습니다.

그리고 패턴이 발전하는 걸
보시고 있습니다.

이제 4세대는 어떤 모양일지
머릿속으로 생각해보세요.

여러분의 예상과 맞아떨어졌나요?

그리고 5세대입니다.

5세대를 보여드리죠.

자, 이제 보이네요.

5세대 등등 끊임없습니다.

저것을 '프랙탈'이라고 합니다.

저 패턴이 계속됩니다.

무한이에요.
복잡성의 끝이 없습니다.

이 기하학적 구조에
가장 작은 부분이란 없습니다.

사실 이건 많이 알려진 프랙탈입니다.
시에르핀스키 삼각형이라고 하죠.

이 프랙탈은 인간의 역사를 통털어
한번도 만들어지지 않았습니다.

결코 완성된 적이 없죠.
완성될 수도 없고, 끝도 없습니다.

프랙탈을 상상하더라도
그 전부를 보지는 못합니다.

그렇다고 감만 잡을 수 있죠.

그런데 프랙탈의 진가가
알려지게 된 것은

70년대 베누아 만델브로의
연구 덕분이었습니다.

이 개념이 뒤늦게 발전한 이유는

이러한 유형의 엄청난 기하학적
복잡성을 올바르게 계산하고

시각화하기 위해서 현대 컴퓨터의
도움이 필요했기 때문입니다.

상단에 표시된 것이
유명한 만델브로 프랙탈입니다.

이 프랙탈의 아주 일부분을
확대한 것을 보세요.

그 확대된 부분을 보면
얼마나 복잡한지 알 수 있습니다.

프랙탈을 확대하고 확대해서
아무리 확대하더라도

복잡성은 줄지 않을 것입니다.

이것을 이해하긴 쉽지 않습니다.

이 기하학은 매우 복잡해요.

자연계에 이와 같은 것이
있는지는 불분명합니다.

그러나 이런 종류의 형태가
존재한다는 게 알려지자

그 응용 사례가 여러 곳에서
드러나기 시작했습니다.

일종의 바더-마인호프 현상이죠.

의식이 지식보다 앞서면서

뭔가를 알게 된 후에는
어디에서나 보이기 시작합니다.

영국해협에 있는 사크섬의
풍경과 해안선의 지형에서도

프랙탈 도형을 발견하기 시작했습니다.

프랙탈 도형을 신호와 이미지 압축에
쓸 수 있다는 걸 알게 되었고

심지어 산 능선에 쌓인 눈에서도
프랙탈 도형을 발견했습니다.

왼쪽의 구글 위성사진과 비교해서
오른쪽의 프랙탈 도형은

같은 구조 형태와 기하학적 복잡성을
모방해서 만든 것입니다.

프랙탈은 눈송이의 기하학적 형태와

엄청난 수의 생물학적 형태에서도
볼 수 있습니다.

음악과 예술 같은 창조적인 공간에서도
프렉탈의 괄목할만한 활용이 있습니다.

이러한 유형의 구조가 있다는 걸
사람들이 알게 되자

이를 컴퓨터 프로그램에 접목시켰고

컴퓨터로 이러한 기하학적 형상을
만들 수 있게 되었습니다.

상상도 못 한 방식으로
그것을 활용하기 시작했죠.

이것은 수학을 미학에 응용한 경우지만

많은 사람들이 단지 흥미있거나
아름답기 때문에 수학을 공부합니다.

사람들은 수학을 유용한 도구로 씁니다.

그들은 엔지니어가 되길 바라고

날씨를 예측하거나
우주로 가고 싶어 합니다.

배움에 나쁜 의도란 없죠.

아시다시피 수학은
광대한 아이디어의 바다와

진실의 원천과도 같습니다.

그리고 오늘날 우리는 컵 하나를 들고

물가로 가서 물을 담았습니다.

그리고 우리 컵 안에
숫자 하나, 파이가 있었죠.

기하학적 형태 하나, 원도 있었고

방정식 하나, 라플라스 방정식도 있죠.

그리고 우리가 고려할 수 있었던
숨막힐 듯한 아이디어를 보세요.

그리고 마침내 프랙탈에서

우리는 기하학적 복잡성에 관한
희미한 힌트를 엿볼 수 있었고

그것이 우리 경험을
최대한 넓혀줄 것입니다.

아시다시피

수학이 가진 힘은

엄청나게 다양한 방식으로
쓰일 수 있다는 것입니다.

바로 그것이 수학을 배우는 묘미죠.

제게는 갈릴레오의 말이 와닿습니다.

"만약 내가 공부를 다시 시작한다면

플라톤의 조언대로
수학부터 시작하겠다."

감사합니다.

(박수)