< Return to Video

جمال وقوة الرياضيات | وليام تافيرنيت | TEDxUCDavis

  • 0:19 - 0:23
    ينظر بعض الناس إلى قطة أو ضفدع،
    ويفكرون في أنفسهم،
  • 0:23 - 0:26
    "هذا جميل، إنها تحفة الطبيعة.
  • 0:26 - 0:28
    أريد أن أفهمه بشكل أعمق."
  • 0:28 - 0:32
    وبهذه الطريقة تكون علوم الحياة،
    مثل علم الأحياء.
  • 0:32 - 0:33
    بينما يلتقط أشخاص آخرون مثالاً
  • 0:33 - 0:36
    كشمس متوهجة تغلي، مثل نجمنا،
  • 0:36 - 0:37
    ويفكرون في أنفسهم،
  • 0:37 - 0:40
    "هذا رائع. أريد أن أفهم ذلك بشكل أفضل."
  • 0:40 - 0:41
    وهذه هي الفيزياء.
  • 0:41 - 0:44
    بينما يرى أشخاص آخرون طائرة
    ويريدون بناءها،
  • 0:44 - 0:46
    وتحسين أداء طيرانها،
  • 0:46 - 0:49
    وبناء الآلات لاستكشاف الكون كله.
  • 0:49 - 0:50
    وهذه هي الهندسة.
  • 0:51 - 0:52
    وهناك مجموعة أخرى من الناس
  • 0:52 - 0:55
    الذين بدلاً من محاولة التقاط أمثلة معينة،
  • 0:55 - 0:58
    يقومون بدراسة الأفكار والحقيقة من مصدرها.
  • 0:59 - 1:00
    وهؤلاء هم علماء الرياضيات.
  • 1:01 - 1:02
    (ضحك)
  • 1:04 - 1:09
    عندما ننظر إلى الطبيعة بعمق
    ونحاول حقًا فهمها، فهذا هو العلم،
  • 1:09 - 1:11
    وبالطبع المنهج العلمي.
  • 1:11 - 1:13
    الآن، إحدى طرق تقسيم العلوم
    هي هذه الطريقة:
  • 1:13 - 1:16
    لديكم العلوم الطبيعية،
    وهي الفيزياء والكيمياء
  • 1:16 - 1:19
    مع تطبيقات لعلوم الحياة
    وعلوم الأرض وعلم الفضاء.
  • 1:19 - 1:20
    ولديكم العلوم الاجتماعية،
  • 1:20 - 1:23
    حيث ستجدون أشياء مثل السياسة والاقتصاد.
  • 1:23 - 1:25
    وهناك الهندسة والتقنية،
  • 1:25 - 1:27
    حيث ستجدون جميع المجالات الهندسية:
  • 1:27 - 1:30
    مثل الهندسة الطبية الحيوية، والكيميائية
    وهندسة الحاسب، والكهربائية،
  • 1:30 - 1:32
    والهندسة الميكانيكية، والنووية.
  • 1:32 - 1:34
    وجميع تطبيقات التقنية:
  • 1:34 - 1:37
    التكنولوجيا الحيوية، والاتصالات،
    والبنية التحتية، وكل ذلك.
  • 1:38 - 1:42
    وأخيرًا، وبالتأكيد ليس آخرًا،
    العلوم الإنسانية،
  • 1:42 - 1:45
    حيث ستجدون أشياء
    مثل الفلسفة والفن والموسيقى.
  • 1:46 - 1:49
    تظهر الرياضيات في كل هذه التخصصات،
  • 1:49 - 1:53
    وفي بعضها مثل الفيزياء والهندسة
    يكون دورها واضح وصريح،
  • 1:53 - 1:56
    بينما في البعض الآخر،
    كما هو الحال في الفن والموسيقى،
  • 1:56 - 1:59
    يكون دور الرياضيات بالتأكيد
    أكثر تخصصًا إلى حد ما
  • 1:59 - 2:00
    وثانوي في العادة.
  • 2:00 - 2:02
    ومع ذلك، فالرياضيات في كل مكان،
  • 2:02 - 2:06
    ولهذا السبب، فإن الرياضيات جيدة بشكل خاص
    في الربط بين الأشياء.
  • 2:07 - 2:09
    كيف يمكن للرياضيات الربط بين الأشياء؟
  • 2:09 - 2:11
    هذا سؤال ممتاز.
  • 2:11 - 2:14
    إنه في الواقع سؤال لا يسهل الإجابة عليه.
  • 2:14 - 2:17
    أعتقد أنه بالنسبة لنا الآن،
    خلال وقتنا معًا،
  • 2:17 - 2:21
    إن أفضل ما يمكننا فعله
    هو الإحساس بشكل الإجابة
  • 2:21 - 2:24
    من خلال فحص بعض الروابط
    التي يمكن أن تقدمها الرياضيات
  • 2:24 - 2:27
    من خلال بعض الأفكار الرياضية.
  • 2:29 - 2:31
    الرياضيات هي بالطبع الأرقام،
  • 2:31 - 2:34
    وربما الرقم الأكثر شهرة مطلقًا
    هو الرقم pi (باي).
  • 2:34 - 2:38
    تم اكتشاف pi (باي) لأنه يمثل
    خاصية هندسية للدائرة،
  • 2:38 - 2:42
    وهي نسبة محيط كل دائرة إلى قطرها،
  • 2:43 - 2:45
    لكن لا يوجد أي مكان في العالم
    حيث الأشياء دائرة.
  • 2:46 - 2:48
    الدائرة هي نوع من الفكرة الرياضية الخالصة،
  • 2:48 - 2:51
    وهي عبارة عن تكوين من الهندسة يقول:
  • 2:51 - 2:53
    "يمكنك تثبيت النقطة المركزية،
  • 2:53 - 2:56
    ثم تأخذ جميع النقاط على نفس البعد
    من تلك النقطة المركزية."
  • 2:56 - 2:59
    في بعدين، ينتج هذا البناء دائرة،
  • 2:59 - 3:02
    وفي ثلاثة أبعاد، ينتج البناء نفسه كرة.
  • 3:02 - 3:05
    لكن لا يوجد أي مكان في الكون
    حيث الأشياء دائرة أو كرة.
  • 3:06 - 3:10
    إنها فكرة رياضية مثالية ونقية،
    وهذا العالم الذي نعيش فيه
  • 3:10 - 3:15
    غير مكتمل وخشن وذري ومتحرك،
    وكل شيء فيه منحرف قليلًا.
  • 3:16 - 3:17
    ومع ذلك، فإن الرقم pi (باي)
  • 3:17 - 3:20
    كان مفيدًا بشكل مدهش لنا عبر التاريخ.
  • 3:20 - 3:22
    فدعونا نستعرض بعضًا من هذا التاريخ معًا.
  • 3:24 - 3:28
    حوالي العام 212 قبل الميلاد،
    قُتل (أرخميدس) على يد جندي روماني.
  • 3:28 - 3:31
    وكانت كلماته الأخيرة، "لا تشوش دوائري."
  • 3:32 - 3:34
    أراد أن يوضع اكتشافه المفضل على قبره.
  • 3:34 - 3:36
    وهو الموضح هنا.
  • 3:36 - 3:38
    يقول بشكل أساسي أن مساحة سطح الكرة
  • 3:38 - 3:41
    تساوي مساحة سطح أصغر اسطوانة مفتوحة
  • 3:41 - 3:43
    يمكن أن تحتوي هذه الكرة.
  • 3:44 - 3:46
    حوالي عام 1620، اكتشف (يوهانس كيبلر)
  • 3:46 - 3:49
    ما فكر في أنه انسجام لحركة الكواكب.
  • 3:49 - 3:51
    وأكمل (إسحاق نيوتن) هذا العمل لاحقًا.
  • 3:51 - 3:55
    يظهر هنا قانون (كيبلر)
    الثالث لحركة الكواكب.
  • 3:55 - 4:00
    من عام 1600 حتى 1700، (كريستيان هيغنز)
    و(غاليليو غاليلي) و(إسحاق نيوتن)
  • 4:00 - 4:03
    كانوا روادًا، بدراسة البندول،
  • 4:03 - 4:05
    كما هو موضح هنا بالصيغة
    حيث (T) ترمز لفترة دورة البندول،
  • 4:05 - 4:09
    ما يخبرنا بشيء عن المدة التي تستغرقها
    عملية التأرجح للأمام وللخلف.
  • 4:10 - 4:13
    أعظم عالم رياضيات
    في القرن 18، (ليونارد أويلر)،
  • 4:13 - 4:15
    هو المسؤول عن اكتشاف هذه الصيغة:
  • 4:15 - 4:18
    (e) أس (iθ) تساوي جتا (θ) زائد (i) جا (θ).
  • 4:18 - 4:21
    توفر هذه الصيغة صلة رئيسية
  • 4:21 - 4:23
    بين الجبر والهندسة وعلم المثلثات.
  • 4:24 - 4:26
    في الحالة الخاصة عندما تكون θ تساوي π
  • 4:26 - 4:30
    ينتج علاقة بين الثوابت الخمسة الأكثر أهمية
  • 4:30 - 4:31
    في جميع الرياضيات:
  • 4:31 - 4:33
    (e) أس (πi) زائد واحد تساوي صفر.
  • 4:33 - 4:36
    بعض الناس وصفوا هذه الصيغة
    بأنها أجمل صيغة في الرياضيات.
  • 4:37 - 4:41
    كان (ليونارد أويلر) أيضًا مهندسًا
    معروفًا، وهذه الصيغة لـ (F) -
  • 4:41 - 4:44
    القوة اللازمة للثني، كما هو موضح بالرسم،
  • 4:44 - 4:46
    لثني عمود -
  • 4:46 - 4:47
    موضحة هنا.
  • 4:48 - 4:52
    أعظم علماء الرياضيات في القرن 19،
    (كارل فريدريك جاوس)،
  • 4:52 - 4:54
    عادة ما يحصل على التقدير
    عن عمله على ما نسميه اليوم
  • 4:54 - 4:56
    التوزيع الطبيعي المعياري.
  • 4:56 - 4:59
    كمية مذهلة من البيانات
    في العالم الحقيقي توزع بهذه الطريقة.
  • 4:59 - 5:02
    وفقًا لما قد تعرفونه باسم منحنى الجرس.
  • 5:03 - 5:05
    وتنتهي جولتنا التاريخية في القرن العشرين
  • 5:05 - 5:08
    مع (ألبرت أينشتاين)
    ونظريته الشهيرة النسبية.
  • 5:08 - 5:10
    وموضح هنا معادلات (أينشتاين) للمجال.
  • 5:11 - 5:14
    وصعوبة فهم هذه المعادلات
    لا ينبغي الاستخفاف بها.
  • 5:15 - 5:19
    لقد كان هذا سريعًا،
    فقد عرضت الكثير من المعلومات.
  • 5:19 - 5:21
    ليس هناك اختبار أو امتحان نصف نهائي،
    لذلك استرخوا فقط.
  • 5:21 - 5:22
    (ضحك)
  • 5:22 - 5:24
    تذكروا أننا نحاول إيجاد الرابط.
  • 5:24 - 5:28
    انظروا إلى كل هذه الصيغ،
    حيث تحتوي جميعها القيمة (ط)،
  • 5:28 - 5:31
    هذا الرقم الذي تولَّد من هندسة الدائرة.
  • 5:31 - 5:34
    انظروا إلى مدى الاختلاف
    بين هذه الظواهر الفيزيائية،
  • 5:35 - 5:40
    ومع ذلك يتشاركون هذا الرابط
    للرقم الهندسي للدائرة.
  • 5:40 - 5:44
    لذلك عندما ترون صيغة تحتوي الثابت (ط)،
  • 5:45 - 5:46
    ربما تفكرون في أذهانكم،
  • 5:46 - 5:48
    "ربما، بشكل ما،
  • 5:48 - 5:51
    تلعب الدائرة دورًا في اشتقاق هذه الصيغ."
  • 5:52 - 5:56
    إن الدائرة هي شكل هندسي واحد،
    بينما الرياضيات أكثر من ذلك بكثير،
  • 5:57 - 6:00
    وكذلك الكون والروابط الموجودة بداخله.
  • 6:02 - 6:06
    انظروا هنا، هذا جنيح ثنائي الأبعاد،
    مثل مقطع عرضي من جناح.
  • 6:06 - 6:10
    والخطوط التي ترونها
    تماثل الهواء المتدفق أعلاه وأسفله.
  • 6:13 - 6:16
    وهنا، توضح هذه التجربة أحد الغازات
  • 6:16 - 6:19
    تم ضغطه مبدئيًا بواسطة حاجز
    في جهة واحدة من الوعاء،
  • 6:19 - 6:21
    ثم تم إحداث ثقب في الحاجز
  • 6:21 - 6:23
    فتمدد الغاز ليملأ كامل الوعاء،
  • 6:23 - 6:25
    حتى وصل إلى حالة توازن.
  • 6:25 - 6:28
    وفي هذا المثال، يظهر قضيب معدني
    ومصدر حرارة أسفله،
  • 6:28 - 6:29
    لهب في هذه الحالة.
  • 6:29 - 6:32
    حيث يمس اللهب المعدن،
  • 6:32 - 6:34
    فيسخن القضيب وتتوزع الحرارة بطوله
  • 6:34 - 6:36
    حتى يبلغ حالة توازن حراري.
  • 6:38 - 6:42
    وما كنا لنملك كل هذا العلم
  • 6:43 - 6:44
    بدون
  • 6:45 - 6:47
    اكتشاف الكهرباء.
  • 6:48 - 6:51
    موضح هنا خطوط الجهد في المجال الكهربي،
  • 6:51 - 6:53
    وهي توضح المسارات التي ستسلكها الإلكترونات
  • 6:53 - 6:55
    من الشحنة الموجبة إلى الشحنة السالبة.
  • 6:56 - 7:01
    كل هذه الأمثلة مختلفة تمامًا
    بالنسبة لحواسنا الخمسة -
  • 7:01 - 7:05
    مختلفة للغاية، لدرجة أننا نمنحهم
    في العلوم أسماء مختلفة.
  • 7:05 - 7:07
    هذا هو السريان الكامن،
  • 7:07 - 7:09
    قانون (فيك) لانتشار التركيز الكيميائي،
  • 7:09 - 7:12
    قانون (فوريير) للتوصيل الحراري،
    وقانون (أوم) للتوصيل الكهربي.
  • 7:13 - 7:19
    ولكن من وجهة نظر أخرى،
    بشكل رياضي، جميعها تبدو متشابهة،
  • 7:20 - 7:24
    متشابهة للغاية، لدرجة أننا نمنحهم
    في الرياضيات نفس الاسم:
  • 7:24 - 7:26
    معادلات (لابلاس).
  • 7:26 - 7:30
    ليس هذا مثلث (يو) يساوي صفرًا،
    وإنما (لابلاس يو) يساوي صفرًا.
  • 7:30 - 7:32
    وما يتغير بالنسبة لعلماء الرياضيات
  • 7:32 - 7:35
    هو كون (يو) تعبر عن الجهد،
    أو التركيز الكيميائي،
  • 7:35 - 7:39
    أو الحرارة أو أي قيمة فيزيائية أخرى
  • 7:39 - 7:41
    يمكن استخدام هذه المعادلة
    لوصفها في الطبيعة.
  • 7:41 - 7:47
    في الرياضيات لا نملك فقط الأرقام والهندسة،
  • 7:47 - 7:51
    ولكن لدينا أيضًا المعادلات،
    وعندما نقارن المعادلات الخاصة بالأشياء،
  • 7:51 - 7:55
    يمنحنا ذلك طريقة أخرى للربط بين الأشياء.
  • 7:56 - 8:00
    الرابط بين كل هذه المسائل العلمية
    هو التفاضل والتكامل،
  • 8:00 - 8:03
    وعليكم أن تدركوا أن التفاضل والتكامل جوهري
  • 8:03 - 8:05
    ومؤسس للعلوم الحسابية الحديثة.
  • 8:07 - 8:11
    الآن وقد رأينا لمحة عن الأرقام
    والهندسة والمعادلات،
  • 8:11 - 8:13
    دعونا نجمعها معًا،
  • 8:13 - 8:15
    لأن هذه هي الرياضيات.
  • 8:15 - 8:17
    دعونا نرى تطبيقًا للرياضيات.
  • 8:18 - 8:20
    لنمضي في عملية بناء هنا.
  • 8:20 - 8:23
    سوف نسمي هذا الجيل الأول،
  • 8:23 - 8:24
    وهذا الجيل الثاني.
  • 8:24 - 8:27
    انظروا إلى الشكل،
    وما حدث للمساحات السالبة والموجبة.
  • 8:29 - 8:30
    ثم الجيل الثالث.
  • 8:31 - 8:33
    وهكذا ترون نمطًا بدأ بالتشكل.
  • 8:33 - 8:35
    الآن، في أذهانكم،
  • 8:35 - 8:38
    قرروا كيف سيكون شكل الجيل الرابع.
  • 8:39 - 8:41
    هل هذا يوافق توقعكم؟
  • 8:42 - 8:44
    ثم الجيل الخامس.
  • 8:46 - 8:48
    ثم الجيل الخامس.
  • 8:49 - 8:50
    وهكذا...
  • 8:51 - 8:55
    ثم الجيل الخامس، وهكذا للأبد...
  • 8:55 - 8:57
    هذا هو الكسيري.
  • 8:57 - 8:59
    نمط هندسي لا ينتهي أبدًا،
  • 8:59 - 9:00
    ولا يكتمل أبدًا،
  • 9:00 - 9:02
    ولا حد لتعقيده،
  • 9:02 - 9:04
    ولا يوجد مكون أصغر لهذا البناء الهندسي.
  • 9:04 - 9:08
    في الواقع، هذا الكسيري شهير،
    ويدعى مثلث (سيربنسكي).
  • 9:08 - 9:11
    ولم يسبق أن تم إنشاء كسيري
    في التاريخ البشري.
  • 9:11 - 9:15
    لم يستكمل أبدًا،
    ولا يمكن استكماله، وليس له نهاية.
  • 9:15 - 9:18
    وعندما تتخيلون كسيري في أذهانكم،
    لا ترونه كاملًا أبدًا،
  • 9:18 - 9:20
    وإنما تكونون حسًا عنه.
  • 9:23 - 9:26
    بدأ تقدير الكسيريات
    في سبعينيات القرن العشرين،
  • 9:26 - 9:28
    بعد عمل (بينوا ماندلبورت).
  • 9:28 - 9:30
    وجزء من سبب تأخر ازدهار هذه الفكرة
  • 9:30 - 9:33
    هو كونها نتجت بمساعدة الحواسيب الحديثة
  • 9:33 - 9:35
    للحساب بدقة وتصور
  • 9:35 - 9:38
    هذا النوع من التعقيد الهندسي الهائل.
  • 9:39 - 9:41
    موضح هنا بالأعلى كسيري (ماندلبورت) الشهير.
  • 9:41 - 9:45
    ولاحظوا وجود تقريب لجزء صغير من الكسيري،
  • 9:45 - 9:47
    مكبرًا حتى تتمكنوا من رؤيته.
  • 9:47 - 9:49
    انظروا فقط إلى مدى تعقيد هذا الجزء.
  • 9:49 - 9:53
    وإذا قربنا هناك وكبرنا،
    بصرف النظر عن مقدار تكبير الكسيري،
  • 9:53 - 9:55
    لن يقل التعقيد،
  • 9:55 - 9:57
    وهذا الأمر يصعب فهمه.
  • 9:58 - 10:00
    هذه الهندسة معقدة للغاية،
  • 10:00 - 10:03
    وليس واضحًا إن كان هناك
    معادل لها في الطبيعة.
  • 10:05 - 10:10
    ومع ذلك، فبمجرد إدراك الناس
    لوجود مثل هذه الأشكال،
  • 10:10 - 10:13
    بدأنا نرى أمثلة لاستخدامها
    في تطبيقات في كل مكان.
  • 10:13 - 10:15
    يشبه ذلك ظاهرة (بادر ماينهوف)،
  • 10:15 - 10:17
    حيث يصبح عقلك مستعد للمعرفة.
  • 10:17 - 10:19
    ثم عندما تذهبون
  • 10:19 - 10:21
    وتتعلمون ذلك، تبدأون برؤيته في كل مكان.
  • 10:22 - 10:25
    بدأ الناس يرون الكسيريات في هندسة الحدائق
  • 10:25 - 10:28
    والسواحل مثل ساحل (سارك)،
    في القنال الإنكليزي.
  • 10:29 - 10:33
    استخدم الناس الكسيريات
    في ضغط الإشارات والصور،
  • 10:33 - 10:36
    حتى أنهم رأوا الكسيريات
    في رواسب الثلوج على قمم الجبال،
  • 10:36 - 10:40
    مثل بيانات أقمار (غوغل) الصناعية يسارًا،
    والكسيري الذي صنعته يمينًا
  • 10:40 - 10:43
    لمحاكاة نفس البنية والتعقيد الهندسي.
  • 10:43 - 10:47
    الكسيريات تظهر حتى في هندسة ندف الثلج،
  • 10:47 - 10:50
    وفي عدد مذهل من الأشكال البيولوجية.
  • 10:53 - 10:56
    يوجد أيضًا استخدام ملحوظ للكسيريات
    في الحيز الإبداعي للبشر،
  • 10:56 - 10:58
    مثل الموسيقى والفن،
  • 10:58 - 11:02
    عندما أدرك البشر وجود هذا النوع من الهندسة
  • 11:02 - 11:04
    وتوصلوا إلى الأكواد
  • 11:04 - 11:07
    وتمكنوا من صنع هذا النوع
    من الهندسة بحواسيبهم،
  • 11:07 - 11:09
    أصبحوا يستخدمونها بطرق غير متوقعة.
  • 11:10 - 11:13
    هذا تطبيق جمالي للرياضيات،
  • 11:13 - 11:16
    ولكن كثير من الناس يدرسون الرياضيات
    فقط لأنهم يجدونها ممتعة
  • 11:16 - 11:18
    أو جميلة.
  • 11:18 - 11:21
    وآخرون بحاجة إلى مهارة الرياضيات:
    لأنهم يريدون أن يكونوا مهندسين،
  • 11:21 - 11:24
    أو أن يتنبؤوا بالطقس،
    أو أنهم يريدون الذهاب إلى الفضاء.
  • 11:24 - 11:26
    لا يوجد سبب خطأ لتعلمها.
  • 11:28 - 11:35
    الرياضيات تبدو كمحيط واسع من الأفكار،
  • 11:35 - 11:37
    ومنبع الحقيقة.
  • 11:38 - 11:41
    واليوم، أخذنا كأسًا واحدًا
  • 11:41 - 11:44
    وسرنا إلى حافة الماء وغمسناه فيه.
  • 11:44 - 11:47
    وفي كأسنا خرج رقم واحد، هو pi (باي)،
  • 11:47 - 11:51
    وشكل هندسي واحد، هو الدائرة،
  • 11:51 - 11:53
    ومعادلة واحدة، هي معادلة (لابلاس)،
  • 11:53 - 11:58
    وانظروا إلى كم الأفكار الخلابة
    التي تمكننا من تأملها.
  • 11:58 - 12:00
    وفي النهاية، في الكسيريات،
  • 12:00 - 12:06
    لقد لمحنا قدر ضئيل من مدى تعقيد الهندسة
  • 12:06 - 12:09
    التي توسع خبرتنا حول ما هو ممكن.
  • 12:10 - 12:11
    كما ترون،
  • 12:13 - 12:19
    قوة الرياضيات تكمن في فوائدها العديدة،
  • 12:19 - 12:23
    وهذا هو جمال تعلم الرياضيات.
  • 12:24 - 12:27
    وبالنسبة لي، هذا هو المعنى
    في قول (غاليليو):
  • 12:27 - 12:31
    "إن كنت سأبدأ دراستي من جديد،
    فسوف اتبع نصيحة أفلاطون
  • 12:31 - 12:32
    وأبدأ بالرياضيات."
  • 12:33 - 12:34
    شكرًا لكم.
  • 12:34 - 12:35
    (تصفيق)
Title:
جمال وقوة الرياضيات | وليام تافيرنيت | TEDxUCDavis
Description:

وليام تافيرنيت حاصل على درجة الدكتوراه في الرياضيات التطبيقية من جامعة كاليفورنيا ديفيس، وهو حاليًا محاضر في جامعة كاليفورنيا ديفيس في قسم الرياضيات. ويعمل ويليام أيضًا زميلًا مدرسًا في مجموعة مقدمة الميكانيكا الهندسية في مدرسة ولاية كاليفورنيا الصيفية للرياضيات والعلوم (COSMOS). وقبل مدرسة الدراسات العليا، عمل ويليام كمهندس موثوقية جديد في شركة فالادور، حيث دعم مركبة الهبوط على سطح القمر "ألتير" التابعة لناسا. حصل وليام أيضًا على درجة البكالوريوس في الفلسفة وعلى درجة البكالوريوس في العلوم الرياضية من جامعة كاليفورنيا سانتا باربرا.

تم تقديم هذا الحديث في حدث TEDx باستخدام تنسيق مؤتمر TED لكن تم تنظيمه بشكل مستقل بواسطة المجتمع المحلي. لمعرفة المزيد في http://ted.com/tedx
more » « less
Video Language:
English
Team:
closed TED
Project:
TEDxTalks
Duration:
12:42

Arabic subtitles

Revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.