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Unit Vector Notation (part 2)

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    歡迎回來
  • 0:02 - 0:05
    在上個影片中 在影片最後
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    就像我一直做的那樣 我可能讓你們迷惑了
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    我告訴了你們如果我有兩個向量
  • 0:08 - 0:09
    我再畫幾個新的
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    我可以馬上把它們畫出來
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    把第一個向量叫做a 我換個顏色
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    這個牙膏顏色很單調
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    我換個讓人放松的顏色
  • 0:22 - 0:24
    我們把第一個向量叫做a 我不知道
  • 0:26 - 0:30
    讓它有趣一點 我設它是-3
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    乘以單位向量i加上2乘以單位向量j
  • 0:38 - 0:39
    然後有一個向量b
  • 0:40 - 0:47
    這等於2i 2乘以單位向量i
  • 0:48 - 0:54
    加上4乘以單位向量j
  • 0:54 - 0:57
    在上個影片中我說過
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    單位向量是有用的原因是 其中一個原因
  • 1:00 - 1:02
    我們會看到爲什麽它有用的很多原因
  • 1:02 - 1:04
    其中一個非常好的是
  • 1:04 - 1:06
    之前我們做向量相加 要把它們首尾相接
  • 1:06 - 1:09
    然後畫出來 然後得到新的向量
  • 1:09 - 1:12
    如果不畫圖 我們沒有別的表示方法
  • 1:13 - 1:15
    但是當我們把它們用單位向量表示
  • 1:16 - 1:17
    就不用畫圖了
  • 1:17 - 1:19
    實際上向量相加就非常簡單了
  • 1:19 - 1:20
    我們怎麽做？
  • 1:20 - 1:23
    我們只要把x分量相加 然後y分量相加
  • 1:23 - 1:27
    所以我們說這兩個向量 a+b
  • 1:28 - 1:29
    上面有個小的箭頭
  • 1:29 - 1:33
    這只是說它們是向量 這等於
  • 1:38 - 1:43
    所以這是(-3+2)i
  • 1:43 - 1:44
    我要隨機換個顏色
  • 1:44 - 1:50
    因爲開始變得單調了 加(2+4)j
  • 1:50 - 1:53
    我們只是把x分量 或者i的倍數相加
  • 1:53 - 1:55
    把y分量 或者說j的倍數相加
  • 1:56 - 1:58
    因爲i是x方向上的單位向量
  • 1:58 - 2:00
    j是y方向上的單位向量
  • 2:00 - 2:03
    我們就得到 -3+2是多少？
  • 2:03 - 2:07
    這是-1 我們得到-1i 這就是-i
  • 2:07 - 2:10
    但是我要把1寫上 因爲我正在用
  • 2:10 - 2:14
    單位向量熱身 所以-1i+6j
  • 2:16 - 2:18
    當我做這些 你們可能說 哦
  • 2:18 - 2:20
    我不能一味的相信你
  • 2:20 - 2:27
    因爲你看起來不像是能無條件相信的人
  • 2:27 - 2:31
    所以我認爲這是個正確的選擇
  • 2:31 - 2:33
    所以我要通過畫圖的方法相加
  • 2:33 - 2:36
    給你們展示一下這是可以的 我把它畫出來
  • 2:36 - 2:38
    我認爲這會給你們一種單位向量的
  • 2:38 - 2:41
    普遍感覺 我把坐標軸畫出來
  • 2:44 - 2:51
    所以這是y軸 我畫出x軸
  • 2:53 - 2:54
    我要確定這裡有足夠的空間
  • 2:55 - 2:57
    來把單位向量畫出來
  • 2:57 - 2:59
    或者說把這些向量畫出來
  • 3:02 - 3:04
    爲了表示坐標軸無限延伸
  • 3:04 - 3:05
    我畫上箭頭
  • 3:06 - 3:13
    好了 我們設這是1 2 3
  • 3:13 - 3:20
    這是1 2 3 4
  • 3:21 - 3:30
    我畫上1 2 3 4 5 6
  • 3:31 - 3:33
    我認爲現在我們能把這些畫上了
  • 3:33 - 3:35
    我沒必要浪費下面的這些空間
  • 3:35 - 3:39
    所以我們先把這個向量畫上 -3i+2j
  • 3:39 - 3:44
    所以-3i 這部分
  • 3:44 - 3:47
    是個像這樣的向量
  • 3:48 - 3:51
    這只是-3乘以x向量
  • 3:51 - 3:52
    所以它是向左的
  • 3:53 - 3:56
    因爲i向著正方向
  • 3:56 - 3:58
    如果加上一個負號 它就翻轉
  • 3:59 - 3:59
    我換個顏色
  • 4:00 - 4:05
    所以這是-3i 然後加上2j
  • 4:06 - 4:08
    所以+2j看起來是這樣的
  • 4:12 - 4:14
    如果我們要把這兩個向量相加
  • 4:14 - 4:15
    我們可以讓他們首尾相接
  • 4:15 - 4:16
    我們做的方法是
  • 4:16 - 4:19
    或者把這個向量向上平移
  • 4:19 - 4:21
    把它畫到上面這裡 或者平移這個向量
  • 4:21 - 4:23
    把它的結束點連接到這個向量的開始點
  • 4:23 - 4:25
    任何一種方法都行 我們把一個向量向上平移
  • 4:25 - 4:27
    所以如果我們這樣向上平移
  • 4:28 - 4:30
    記住 我們只是把它們首尾相連
  • 4:30 - 4:31
    向量的畫圖加法
  • 4:32 - 4:35
    所以我只要把這個結尾連到這個開頭 得到什麽？
  • 4:35 - 4:37
    所以向量a看起來是這樣的
  • 4:37 - 4:39
    我要用和向量a同樣的顏色
  • 4:39 - 4:42
    因爲我感覺這個圖可能很複雜
  • 4:45 - 4:46
    我要用直線工具
  • 4:50 - 4:52
    好了 所以這是向量a
  • 4:54 - 4:57
    這就是向量a看起來的樣子 我們是反著做的
  • 4:57 - 4:59
    我給了你們x分量和y分量
  • 4:59 - 5:01
    然後通過首尾相連的方法把它們相加
  • 5:01 - 5:04
    所以這就是a看起來的樣子
  • 5:05 - 5:06
    不用畫圖
  • 5:07 - 5:09
    一個非常簡單的表示方法 和我們在上面做的一樣
  • 5:09 - 5:12
    單位向量 向量b是什麽樣的？
  • 5:12 - 5:15
    所以這是2i 我要換一個完全不同的顏色
  • 5:16 - 5:19
    這是2i 所以就是這個向量 2乘以單位向量i
  • 5:20 - 5:24
    就是這個 加4j 1 2 3 4
  • 5:24 - 5:26
    所以它看起來是這樣的
  • 5:27 - 5:29
    我們把這一個向左平移
  • 5:29 - 5:31
    所以用這個結尾連接到這個的開頭
  • 5:31 - 5:32
    所以看起來是這樣的
  • 5:34 - 5:37
    所以向量b看起來 我用紅色畫
  • 5:38 - 5:44
    我要用直線工具 向量b看起來是這樣的
  • 5:47 - 5:48
    我只是讓它的分量首尾相連
  • 5:48 - 5:50
    這就是得到b的方法
  • 5:50 - 5:53
    如果在圖上把它們相加
  • 5:53 - 5:56
    我們應該用和它們分量相加同樣的方法
  • 5:56 - 5:59
    我就會讓這個向量的結尾和另一個的開頭相連
  • 5:59 - 6:00
    然後看一下能不能得到結果向量
  • 6:00 - 6:02
    所以可以用任何一種方法 我們平移這個a向量
  • 6:02 - 6:06
    我們把它向這個方向平移 記住 向量
  • 6:07 - 6:08
    我們只是給出了大小和方向
  • 6:09 - 6:11
    沒必要給出起始點
  • 6:11 - 6:12
    所以可以平移
  • 6:12 - 6:16
    你們只要不改變它們的方向和大小
  • 6:17 - 6:19
    這實際上就是把它們相加的方法 平移它們
  • 6:19 - 6:21
    讓它們首尾相連 這就是在圖上相加的方法
  • 6:22 - 6:24
    我們把這個向量畫到上面
  • 6:26 - 6:30
    所以如果有向量a 它看起來是這樣的
  • 6:40 - 6:42
    我想要正確畫出來
  • 6:43 - 6:46
    所以a向量看起來是這樣的
  • 6:46 - 6:48
    記住 我所做的就是用同樣的向量
  • 6:49 - 6:53
    然後平移 所以它可以從這一頭開始
  • 6:53 - 6:55
    所以它的結尾可以畫到b的開頭上
  • 6:55 - 6:58
    我只是平移向量a 所以這仍然是向量a
  • 6:58 - 7:00
    通過平移 你們不會改變向量
  • 7:00 - 7:03
    如果我縮放 就可以改變向量
  • 7:03 - 7:06
    如果我讓它更大或更小 如果我改變它的方向
  • 7:06 - 7:10
    所以能看出來 這是b 這是a 所以如果a加b
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    得到的結果- 首尾相連-
  • 7:13 - 7:18
    我用綠色畫 應該是這樣的
  • 7:20 - 7:26
    它看起來應該是這樣的 所以解決了所有的問題
  • 7:26 - 7:28
    我把這些直線畫出來
  • 7:28 - 7:31
    然後在圖上把這兩個向量相加 這個綠色的向量就是a+b
  • 7:31 - 7:33
    我們看一下 這個綠色的向量是不是
  • 7:33 - 7:36
    和我們算出的相等
  • 7:36 - 7:37
    我們看一下它是否等於這個
  • 7:39 - 7:44
    所以我們得到-1乘以i 所以-1在這裡
  • 7:45 - 7:49
    然後有6j 我用別的顏色
  • 7:49 - 7:53
    6j看起來是這樣的 6j看起來是這樣
  • 7:53 - 7:54
    你們把它們首尾相連
  • 7:54 - 7:57
    它應該是這樣的
  • 7:58 - 8:01
    這就是綠色的向量 實際上 正如你們知道的
  • 8:01 - 8:02
    我知道它不完全對齊
  • 8:02 - 8:05
    這是因爲我畫的不整齊
  • 8:05 - 8:07
    但是如果我畫的好一點
  • 8:07 - 8:10
    這兩個點實際上應該在這裡
  • 8:10 - 8:13
    我知道這令人迷惑 這有很多顏色
  • 8:13 - 8:14
    但是多重點是
  • 8:14 - 8:17
    我想要給你們展示的是 你們可以把向量畫出來
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    然後平移 然後讓它們首尾相連
  • 8:21 - 8:23
    然後得到最終結果
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    這是一種向量相加的方法
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    仍然沒有分析的方法來表示
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    或者你們可以把任何一個向量寫成x和y分量
  • 8:31 - 8:34
    然後向量之和就是
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    它們x分量和y分量之和
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    這是一種簡潔的多 簡單的多
  • 8:39 - 8:45
    更不容易犯錯的向量加減方法
  • 8:45 - 8:46
    所以希望這能說明白
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    a+b確實是這個向量 如果不是 不好意思
  • 8:54 - 8:56
    我希望沒有讓你們更迷惑
  • 8:56 - 8:58
    但是現在我們把這解決了 希望
  • 8:58 - 9:01
    你們明白單位向量很有用
  • 9:01 - 9:04
    你們可以用這個符號來嘗試著解
  • 9:04 - 9:06
    以前的抛射運動問題
  • 9:07 - 9:09
    可能它會讓我們
  • 9:09 - 9:10
    少用一些步驟
  • 9:10 - 9:11
    再見
Title:
Unit Vector Notation (part 2)
Description:
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Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
09:13

Chinese (Traditional, Taiwan) subtitles

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