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이전 강의에서
2차 정사각행렬 A를
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1, 2, 4, 3 이라 두고
시작하였습니다
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그리고 λ가 A의
고윳값이라는 것과
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λ에 항등행렬을 곱한 것에서
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A를 뺀 것의 행렬식이 0이라는 게
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동치라는 사실을 이용했습니다
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이것은 특성방정식이고 이를 풀면
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A의 고윳값은
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λ=5 와 λ=-1이 됩니다
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이전 강의에서 본 내용이죠
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만약 여러분이 A와
어떤 고유벡터를 곱한 것이
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λ와 그 고유벡터를 곱한 것과
같다는 식을 풀고자 한다면
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이 방정식의 해인 두 λ는
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5와 -1일 것입니다
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영벡터가 아닌 고유벡터라고
가정한다면 말이죠
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영벡터가 아닌 고유벡터라고
가정한다면 말이죠
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영벡터가 아닌 고유벡터라고
가정한다면 말이죠
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고윳값을 갖고 있지만
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이것은 고비도 아닙니다
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정말 원하는 것은
고유벡터와 고윳값입니다
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정말 원하는 것은
고유벡터와 고윳값입니다
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할 수 있다면
구해봅시다
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이 방정식을 약간 조정한다면
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이전에 해본 적이 있죠
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사실 이미 이 명제가
주어졌습니다
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이를 0 = λv - Av 라고
다시 나타낼 수 있습니다
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이를 0 = λv - Av 라고
다시 나타낼 수 있습니다
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단지 양변에서 Av를 뺐습니다
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λ와 어떤 고유벡터의 곱은
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λ와 항등 행렬, 고유벡터의
곱과 같습니다
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그저 이 식을
이렇게 표현했을 뿐입니다
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항등행렬에
어떤 고유벡터를 곱하든
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다시 그 벡터를
얻을 것입니다
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따라서 이 두 식은 같습니다
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-Av
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-Av
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그대로 영벡터입니다
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단지 이 식을
살짝 변형시켰습니다
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위 명제에서
이 식을 얻었습니다
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식에서 v를 묶습니다
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행렬 벡터 곱은 분배법칙이
성립하기 때문입니다
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그러면 λ와 항등행렬의 곱에서
행렬 A를 뺀 값에
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고유벡터를 곱한 것이
영벡터가 됩니다
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다르게 말하자면
어떤 고윳값 λ에 대해서
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다르게 말하자면
어떤 고윳값 λ에 대해서
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λ에 대응하는
고유벡터들의 집합을
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λ에 대한
고유공간이라고 합니다
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새로운 용어가 나왔네요
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고유공간이라고 합니다
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고유공간은 단지
어떤 고윳값에 대응되는
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모든 고유벡터들의 집합을 의미합니다
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특정 고윳값에 대한 고유공간은
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이 방정식을 만족하는
벡터들의 집합과
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같게 될 것입니다
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이 방정식을 만족하는
벡터들의 집합은
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이 행렬의 영공간일 뿐입니다
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따라서 그것은
이 행렬의 영공간입니다
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따라서 그것은
이 행렬의 영공간입니다
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λ와 항등행렬을 곱한 것에서
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A를 뺀 것의 영공간입니다
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지금까지 한 모든 것들은
일반적인 경우에 대해서 참입니다
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지금까지 한 모든 것들은
일반적인 경우에 대해서 참입니다
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하지만, 이제 이 개념을
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행렬 A에 적용할 수 있습니다
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5는 고윳값입니다
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λ=5 라고 하면
5에 대응하는 고유공간은
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무엇의 영공간과 같을까요?
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5와 항등행렬의 곱은 무엇인가요?
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이는 2×2 항등행렬이 될 것입니다
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5와 항등행렬의 곱은 5, 0, 0, 5 입니다
여기서 행렬 A를 뺍니다
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행렬 A는 1, 2, 4, 3입니다
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따라서 이는 이 행렬의
영공간이 됩니다
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5 - 1 = 4
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0 - 2 = -2
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0 - 4 = - 4
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5 - 3 = 2
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이 행렬의 영공간과 이 행렬은
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단지 이 행렬을
숫자로 나타냈을 뿐입니다
-
단지 이 행렬을
숫자로 나타냈을 뿐입니다
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이 행렬의 영공간은
이를 만족하는 모든 벡터들의 집합
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혹은 이 고윳값에 대응하는
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모든 고유벡터들의 집합입니다
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즉, 고윳값 5에 대응하는
고유공간이죠
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즉, 고윳값 5에 대응하는
고유공간이죠
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모두 동일한 명제들입니다
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이것의 영공간은
다음 방정식을 만족하는
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모든 벡터들의 집합임을
풀어야 합니다
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행렬 4, -2, -4, 2와
어떤 고유벡터의 곱이
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영벡터입니다
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이 행렬의 영공간은 기약사다리꼴 행렬의
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영공간과 같습니다
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이것의 기약사다리꼴 행렬은 무엇일까요?
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괜찮은 추측을 하나 해봅시다
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첫 번째 행인 4, －2를 동일하게 해 봅시다
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그러고 나서 두 번째 행에 첫 번째 행을 더한 값으로
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두 번째 행을 대신합시다
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－4+4=0
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2+(-2)=0
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이제 첫 번째 행을 4로 나누어
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1, －1/2를 얻어 봅시다
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그러고 나서 0, 0을 얻습니다
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이 행렬의 영공간은 무엇일까요?
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이는 v에 대응합니다
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이것에 v1, v2를 곱한 것은
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영벡터와 같아야 합니다
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이를 말하는 또 다른 방법은
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이 피벗 열에 대응하는 v1과 ＋또는 －1/2에
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v2를 곱하면
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0이 되어야 한다는 것입니다
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또는 v1=1/2 v2
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만약 제가 이를 만족하는 모든 고유벡터를 구하기를
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원한다면 이 방법으로 구할 수 있습니다
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λ=5, 고윳값5에 대응하는 제 고유공간은
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어떤 스케일링 상수와 어떤
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벡터를 곱해서 나오는
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모든 벡터 (v1, v2)와 같습니다
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스케일링 상수를 t라고 하면, t에 무엇을 곱한 것과 같죠?
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만약 v2가 t와 같다고 한다면 v2는
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t×1과 같을 것입니다
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그러면 v1은 1/2 v2 또는
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1/2 t와 같을 것입니다
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위처럼 말입니다
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임의의 실수 t에 대해서 말입니다
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만약 원한다면 이것을 키울수도 있습니다
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임의의 실수에 각각 1과 2를 곱한 값을 넣어줄 수 있죠
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그 또한 동일한 공간을 생성할 것입니다
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직접 해 봅시다
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그러면 좀 더 깔끔하게 보일 것입니다
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사실 저는 그것을 할 필요가 없습니다
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따라서 고윳값 5에 대한 고유공간이
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1/2과 1에서 공간을 생성하는 벡터와
같다고 쓸 수 있습니다
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따라서 이는 R2에서의 직선입니다
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이들은 고윳값이 5인 방정식에서
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적용되고 만족하는
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모든 고유벡터들입니다
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고윳값이 －1인 경우는
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어떨까요?
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그 경우를 봅시다
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λ=－1일 때, 우리는 그것이 영공간이 될 것을
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알고 있습니다
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따라서 λ=－1에 대한 고유공간은
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λ에 항등행렬을 곱하고,
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그럼 -1, 0, 0, -1 이 되겠죠
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그래서 바로 저기에 -1을 취한,
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-1 곱하기 1, 0, 0, 1에서
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A를 빼준 것의 영공간이 될 것입니다
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따라서 1, 2, 4, 3을 뺍니다
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그러면 이것은,
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-1 -1 = -2
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0 -2 = -2
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0 - 4 = -4, -1 -3 = -4 의 영공간과 같아질 것입니다
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그러면 이는 기약사다리꼴 행렬의
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영공간과 같아질 것입니다
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따라서 우리는 여기서 행 연산을 할 수 있습니다
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이를 기약사다리꼴 행렬로 놓읍시다
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두 번째 행에 2와 첫 번째 행을 곱한 것을 더합니다
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첫 번째 행은 동일하게 할 것입니다
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－2, －2
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그러고 나서 두 번째 행에서
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2와 첫 번째 행을 곱해 그것과 더합니다
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또는 첫 번째 행에 －2를 곱해 그것과 더합니다
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－4＋4=0
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첫 번째 행을 －2로 나눈다면
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이 행렬 또는 이 기약사다리꼴 행렬은
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1, 1, 0가 될 것입니다
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따라서 고윳값 －1에 대응하는 고유공간은
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이것의 영공간과 같습니다
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그것은 식 1, 1, 0, 0을 만족하는
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일련의 벡터들입니다
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그러고 나면 v1과 v2는 0과 같습니다
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또는 여러분은 v1+ 이들은 벡터가 아니고
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그저 값입니다
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v1＋v2=0
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0이 저것과 같기 때문입니다
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1×v1+1×v2는 저기 있는
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0이 될 것입니다
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또는 v1=－v2라고 쓸 수 있고
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또는 v2가 t와 같다고 하면 v1을
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－t와 같다고 할 수 있습니다
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또는 고윳값 －1에 대한 고유공간이
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모든 벡터, v1, v2와 같다고 할 수 있습니다
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v1=-t, v2=t로 주어지는 경우에 말이죠
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또는 이것이 벡터 (-1,1)이 생성하는 공간과
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같다고 할 수 있습니다
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그러면 이를 우리가 한 것을 이해하기 위해
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약간 그려봅시다
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우리는 5와 －1이라는
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두 고윳값을 찾을 수 있었습니다
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그리고 모든 중요한 벡터를 찾을 수 있습니다
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또는 이들의 고윳값에 각각 대응하는
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일련의 고유벡터들을 찾을 수
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있었습니다
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그러면 이들을 그려 봅시다
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R2로 간다면 축을 그리고
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이것은 수직 축입니다
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이것은 수평축입니다
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λ=5에 대응하는 모든 벡터들은
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직선 1/2과 1을 따릅니다
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또는 벡터 (1/2, 1)이 생성하는 공간에서
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여기는 1이고
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여기는 1입니다
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여러분은 1/2과 1로 이와 같이 갑니다
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따라서 이것은 벡터,
공간을 생성하는 벡터입니다
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그러나 모든 이것들의 곱으로
생성된 공간을 지나는 모든 것들은
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고유벡터가 될 것입니다
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따라서 이 생성된 직선을 지나는 것들은
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여러분이 그들을 표준 위치에 그릴 때의 모든 벡터들은
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그 직선의 점을 가리킬 것입니다
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그 위에 있는 모든 벡터들은
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고유벡터가 될 것이고 대응하는 고윳값은
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5와 같아질 것입니다
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따라서 이것을 저에게 주십시오
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여러분이 이 변환을 적용한다면
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그것은 이것의 5배가 될 것입니다
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만약 이것이 x라면 x의 t는
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5배가 되었을 것입니다
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이 직선위에 있는 어떤 벡터를 가져오더라도,
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이 변환은 말 그대로
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A를 곱하는 게 됩니다
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어디서 행렬 A를 얻었을까요?
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행렬 A는 바로 여기 있습니다
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여러분은 단지 이 벡터를 5배 늘리게 됩니다
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양쪽 방향 모두 말이죠
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이는 λ=5에 대한 것입니다
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그리고 λ=1에 대해 이 벡터가 생성하는 공간은
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－1, 1입니다
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이처럼 말입니다
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이 벡터는 이렇게 생겼습니다
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우리는 그것이 생성하는 공간에 관심이 있습니다
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여러분이 벡터를 표준 위치에 그릴 때,
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이 직선 위에 있거나,
이 직선 위의 점을 가리키는 모든 벡터는
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고윳값 -1에 대한 고유벡터가 될 것입니다
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따라서 λ=－1입니다
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여러분이 공간을 생성하는 벡터를 여기에 갖고 있다고 합시다
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여러분은 변환을 적용하고－1과 그것의 곱을
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얻을 것입니다
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이것이 x라면 x의 변화는
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여기 있을 것입니다
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길이는 같고 방향은 반대입니다
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여러분이 이것을 갖고 있고 변환을 적용하면
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이는 동일한 생성된 직선 위에 있게 될 것입니다
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이처럼 말입니다
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행렬의 두 고유 공간에서 어디에 제가 그것을 썼나요?
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제 생각에 그것은 행렬 1, 2, 4, 3입니다
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두 고윳값은 5와 －1입니다
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이는 무한한 수의 고유벡터를 가지고 있어
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그들은 두 고유 공간을 만듭니다
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그들 각각은 하나의 고윳값에 대응합니다
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이 직선들은 두 고유공간을 나타냅니다
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여러분이 이 두 집합 안에서 어떤 벡터를 제시하더라도
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그것은 고유벡터가 될 겁니다
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제가 벡터라는 단어를 너무 많이 쓰고 있군요
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여러분이 저에게 이 세트의 임의의 벡터를 제시하면
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그들은 행렬 A에 대한 고유벡터가 될 것입니다
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그것이 어떤 직선이냐에 따라서 우리는
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그들의 변환이 어떻게 될지 알고 있습니다
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만약 이처럼 되려고 한다면 우리가
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변환을 취한 결과 벡터는
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5와 벡터의 곱이 될 것입니다
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여러분이 이 고유벡터 중에서 하나를 취하고 변환시킨다면
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그 결과 벡터의 변환은
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－1과 그 벡터의 곱이 될 것입니다
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어쨌든 우리는 이제 고윳값, 고유벡터
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고유공간이 무엇인지 알고 있습니다
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더 나아가 우리는 어떻게 그들을 찾는지 알고 있습니다
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