무한 호텔의 역설 - 제프 데코프스키 (Jeff Dekofsky)
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0:07 - 0:081920년대,
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0:08 - 0:10독일 수학자인 데이비드 힐베르트는
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0:10 - 0:12유명한 사고 실험을 고안해 냈습니다.
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0:12 - 0:14이 실험은 우리가 무한의 개념을 이해하는 것이
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0:14 - 0:18얼마나 힘든 도전인지를 보여주죠.
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0:18 - 0:22무한개의 방을 가진 호텔, 그리고 매우 근면한
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0:22 - 0:24야간 근무 지배인을 상상해 봅시다.
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0:24 - 0:28어느날 밤, 이 무한 호텔이 꽉 차게 되었습니다.
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0:28 - 0:31무한히 많은 손님들이 모두 예약을 했던거죠.
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0:31 - 0:32이 때 손님 한명이 걸어 들어와
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0:32 - 0:34방을 요구합니다.
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0:34 - 0:35그를 돌려보내는 대신
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0:35 - 0:38이 호텔 지배인은 빈방을 만들어내기로 했습니다.
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0:38 - 0:39어떻게 일까요?
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0:39 - 0:42쉽습니다. 그는 1호실 손님에게
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0:42 - 0:432호실로 옮겨달라고 양해를 구했습니다.
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0:43 - 0:462호실 손님은 3호실으로
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0:46 - 0:47그렇게 나아갔죠.
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0:47 - 0:50n호실에 있던 손님들이 모두
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0:50 - 0:52n+1호실으로 옮겨 주었습니다.
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0:52 - 0:54무한개의 방이 있었기 때문에
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0:54 - 0:57호텔에 묵던 각각의 손님들에게
새로운 방이 주어졌고 -
0:57 - 1:00이제 1호실은 비어서, 새로운 손님을 맞았죠.
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1:00 - 1:01이 과정은 유한한 숫자의 손님이
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1:01 - 1:04새로 들어올 때 반복할 수 있어요.
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1:04 - 1:05만약 관광버스가
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1:05 - 1:08빈 방을 찾는 40명의 손님을 태우고 왔다면
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1:08 - 1:10원래 묵고 있던 손님들에게
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1:10 - 1:11n호실에서
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1:11 - 1:14n+40호실로 옮겨달라고 하면 되죠.
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1:14 - 1:17그러면 맨 앞의 40개의 빈 방이 생깁니다.
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1:17 - 1:19그런데 이번엔 무한히 긴 버스가
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1:19 - 1:22무한히 셀 수 있는 숫자의
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1:22 - 1:24승객들을 내려 놓고 떠났네요?
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1:24 - 1:26무한히 "셀 수 있다" 는 것이 핵심입니다.
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1:26 - 1:28무한한 승객들이 탄 무한한 버스가
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1:28 - 1:31이 지배인을 당황시켰지만,
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1:31 - 1:32새로운 손님을 맞이할 방법을 생각해냈습니다.
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1:32 - 1:33무한한 손님이 두배가 되었으니까
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1:33 - 1:35그는 1호실 손님에게
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1:35 - 1:362호실로,
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1:36 - 1:392호실 손님에게는
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1:39 - 1:404호실로,
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1:40 - 1:423호실 손님에게는
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1:42 - 1:436호실로 옮겨달라고 요청합니다.
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1:43 - 1:44그렇게 나아갔죠.
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1:44 - 1:47각각의 투숙객은 n호실에서
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1:47 - 1:512n호실로 옮겨갔습니다.
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1:51 - 1:54오직 짝수 호실만 채워졌기 떄문에
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1:54 - 1:56이제 무한히 많은 수의 홀수 객실이
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1:56 - 1:59비게 되었습니다.
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1:59 - 2:00바로 무한한 버스의
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2:00 - 2:03승객들이 투숙할 방이죠.
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2:03 - 2:05모두들 행복해 했고, 호텔 사업은
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2:05 - 2:07그 어느때보다 호황을 누리게 되었습니다.
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2:07 - 2:08네 정말로 호황을 누렸어요.
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2:08 - 2:10지금까지 한번도 이런 호텔은 없었어요.
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2:10 - 2:13하룻밤에 무한한 양의 돈을 벌어들였죠.
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2:14 - 2:16이 믿기 힘든 호텔은 명성이 자자해져서
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2:16 - 2:19아주 먼 곳에서부터
사람들이 쏟아져 들어왔습니다. -
2:19 - 2:21하루는 생각지도 못한 일이 벌어졌어요.
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2:21 - 2:23호텔 지배인이 밖을 내다보는데,
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2:23 - 2:25무한히 큰 버스들이
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2:25 - 2:28무한히 줄을 서있었답니다.
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2:28 - 2:30각각은 무한히 셀 수 있는 숫자의
승객들을 싣고 있었죠. -
2:30 - 2:31이제 어떻게 해야 하죠?
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2:31 - 2:33그들을 위한 방을 어떻게 만들어내지요?
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2:33 - 2:34이제 호텔은 무한한 양의 돈을
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2:34 - 2:36잃게 되고 말겁니다.
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2:36 - 2:38물론 그는 직장에서 쫓겨날테죠.
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2:38 - 2:39운좋게도 그는
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2:39 - 2:42기원전 300년 유클리드의 증명을 기억해냈습니다.
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2:42 - 2:45소수는 그 개수가
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2:45 - 2:47무한하다는 것이죠.
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2:47 - 2:50그래서, 지친 여행자들이 탄
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2:50 - 2:51무한한 버스의 무한한 승객들에게
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2:51 - 2:52무한히 많은 방을 제공하는,
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2:52 - 2:54성공 불가능해 보이는 일을 시작했어요.
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2:54 - 2:57지금 호텔에 묵고있는 숙박객들에게
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2:57 - 2:59첫번째 소수인 2에
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2:59 - 3:02지금 묵고 있는 방의 숫자를 제곱합니다.
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3:02 - 3:05그러니까 지금 7호실에 묵고있는 손님은
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3:05 - 3:082의 7제곱번째 객실로 가게되죠.
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3:08 - 3:10128호실이에요.
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3:10 - 3:12그리고 나서 호텔 관리인은 첫째 무한 버스의
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3:12 - 3:14승객들을 맞이하면서
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3:14 - 3:16그들에게
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3:16 - 3:18그 다음 소수인 3을 부여하고
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3:18 - 3:223에 그들의 좌석 번호를 제곱합니다.
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3:22 - 3:257번 좌석에 앉았던 승객은
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3:25 - 3:283의 7제곱 호실로 갑니다.
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3:28 - 3:322187호실이죠.
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3:32 - 3:34이렇게 첫번째 버스의 승객들을 투숙시키고,
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3:34 - 3:36두번째 버스의 승객들은
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3:36 - 3:39다음 소수인 5에 제곱을 하고,
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3:39 - 3:42그 다음은 7의 제곱을 하죠.
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3:42 - 3:43각각의 버스는 이어서
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3:43 - 3:4411의 제곱
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3:44 - 3:4513의 제곱
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3:45 - 3:4717의 제곱 등등으로 곱합니다.
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3:47 - 3:48이 숫자들은
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3:48 - 3:51그들의 소수에
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3:51 - 3:53오로지 1과 자연수의 제곱만 하기 때문에
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3:53 - 3:55방 숫자가 겹칠 일은 없습니다.
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3:55 - 3:58모든 버스 승객들은 고유의 소수를 이용해
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3:58 - 4:01방을 배정 받는 전략을 통해
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4:01 - 4:04방으로 흩어져 들어가게 됩니다.
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4:04 - 4:06이 방법으로 호텔 지배인은
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4:06 - 4:08모든 버스의 모든 승객들을 수용할 수 있습니다.
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4:08 - 4:11많은 빈방이 생겨났지만 말이죠.
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4:11 - 4:126호실 처럼요.
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4:12 - 4:156은 어떤 소수의 제곱도 아니죠.
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4:15 - 4:18그의 상사가 수학을 못하길 천만 다행이죠?
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4:18 - 4:19그는 직업을 지켜냈습니다.
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4:19 - 4:22이 호텔 지배인의 "무한 호텔"은
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4:22 - 4:24분명히 논리학의 악몽이라
할 수 있을 정도인데요, -
4:24 - 4:26이것이 가능했던 것은
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4:26 - 4:30낮은 급의 무한에 관해서만 다루기 때문입니다.
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4:30 - 4:32즉, 주로 셀 수 있는 무한인
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4:32 - 4:34자연수에 관해서죠.
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4:34 - 4:371,2,3,4,그리고 계속 나아가요.
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4:37 - 4:41조지 칸토어는 이러한 급의 무한을
'알레프 0' 이라 불렀습니다. -
4:41 - 4:43우리는 자연수를 방 번호로 사용하고
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4:43 - 4:45버스의 좌석 번호에도 사용하죠.
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4:46 - 4:48우리가 더 높은 수준의 무한을 다룬다면,
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4:48 - 4:50즉, '실수'를 예로 들면
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4:50 - 4:51호텔 지배인의 구조화된 전략은
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4:51 - 4:53모든 수를 조직적으로 포함할 수 있는
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4:53 - 4:54방법이 없기 때문에
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4:54 - 4:57더 이상 가능하지 않습니다.
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4:57 - 4:59무한한 '실수' 호텔에는
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4:59 - 5:01지하의 음수 호실과
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5:01 - 5:02분수 호실이 생겨납니다.
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5:02 - 5:052분의 1호실에 있는 투숙객은 자신이
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5:05 - 5:071호실 보다 작은 방을 받았는지 의심하고
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5:07 - 5:10제곱근 방, 예를 들어 2의 거듭제곱근 호실,
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5:10 - 5:11파이(π) 호실,
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5:11 - 5:14이 곳은 공짜 후식이 제공되는 방이죠.
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5:14 - 5:16아무리 무한한 월급을 받는다 하더라도
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5:16 - 5:17자존심이 있는 호텔 관리인이라면
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5:17 - 5:19이런 호텔에서 일하고 싶겠어요?
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5:19 - 5:21하지만 절대로 빈방이 없고
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5:21 - 5:22언제나 더 많은 방이 있는
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5:22 - 5:24힐베르트의 무한 호텔을 찾는다면,
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5:24 - 5:27지금껏 맛보지 못한 기쁨을 얻게 될겁니다.
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5:27 - 5:29그리고 아마도 친절한 호텔 지배인은
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5:29 - 5:30우리에게
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5:30 - 5:31상대적으로 한정된 사고로
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5:31 - 5:33무한과 같은 큰 개념을 이해하는것이
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5:33 - 5:37얼마나 힘든지 알려줄 겁니다.
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5:37 - 5:39어쩌면 여러분은 한숨 깊이 잔 다음에
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5:39 - 5:40이 문제들을 해결할 수도 있겠죠.
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5:40 - 5:42그러고 보니 지금 새벽 두시인데
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5:42 - 5:45방 좀 다른 곳으로 옮겨주시겠어요?
- Title:
- 무한 호텔의 역설 - 제프 데코프스키 (Jeff Dekofsky)
- Speaker:
- Jeff Dekofsky
- Description:
-
전체 강연 보기: http://ed.ted.com/lessons/the-infinite-hotel-paradox-jeff-dekosky
독일의 수학자 데이비드 힐베르트의 "무한 호텔"이라는 사고 실험은 무한한 개수의 방을 가진 호텔에 관한 것입니다. 쉽죠? 그런데, 만약 무한한 손님들로 예약이 꽉 찼는데 한 손님이 또 찾아왔다면? 40명의 새로운 손님은 어떤가요? 또는 무한히 가득찬 사람들을 태운 버스가 도착했다면요? 제프 데코프스키가 이 골치아픈 숙소 문제를 힐베르트 역설을 이용하여 설명해 줍니다.
설명: 제프 데코프스키(Jeff Dekofsky)
에니메이션: 무빙컴퍼니 에니메이션 스튜디오(The Moving Company Animation Studio) - Video Language:
- English
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- TED-Ed
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- 06:00
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nuri sim
떄라고 잘못 입력된 부분이 몇군데 있습니다.
5:24에 해당하는 곳에도 오탈자 하나 있고요.
수학자 이름을 한국에서는 칸토어라고 하는데 조지 칸토어라고 수정하는게 어떨까 싶어요.
칸토라고 하면 우리나라 웹사이트에서 검색이 되지 않아요.^^
K Bang
깔끔하게 번역되었습니다. 다만, 맛보다와 같은 소소한 오타는 수정했습니다. 소수나 내용의 설명(1x2 등)은 불필요하여 삭제한 부분이 있고 수준은 급으로 바꿔봤습니다. 수고하셨습니다.