1920년대,
독일 수학자인 데이비드 힐베르트는
유명한 사고 실험을 고안해 냈습니다.
이 실험은 우리가 무한의 개념을 이해하는 것이
얼마나 힘든 도전인지를 보여주죠.
무한개의 방을 가진 호텔, 그리고 매우 근면한
야간 근무 지배인을 상상해 봅시다.
어느날 밤, 이 무한 호텔이 꽉 차게 되었습니다.
무한히 많은 손님들이 모두 예약을 했던거죠.
이 때 손님 한명이 걸어 들어와
방을 요구합니다.
그를 돌려보내는 대신
이 호텔 지배인은 빈방을 만들어내기로 했습니다.
어떻게 일까요?
쉽습니다. 그는 1호실 손님에게
2호실로 옮겨달라고 양해를 구했습니다.
2호실 손님은 3호실으로
그렇게 나아갔죠.
n호실에 있던 손님들이 모두
n+1호실으로 옮겨 주었습니다.
무한개의 방이 있었기 때문에
호텔에 묵던 각각의 손님들에게 새로운 방이 주어졌고
이제 1호실은 비어서, 새로운 손님을 맞았죠.
이 과정은 유한한 숫자의 손님이
새로 들어올 때 반복할 수 있어요.
만약 관광버스가
빈 방을 찾는 40명의 손님을 태우고 왔다면
원래 묵고 있던 손님들에게
n호실에서
n+40호실로 옮겨달라고 하면 되죠.
그러면 맨 앞의 40개의 빈 방이 생깁니다.
그런데 이번엔 무한히 긴 버스가
무한히 셀 수 있는 숫자의
승객들을 내려 놓고 떠났네요?
무한히 "셀 수 있다" 는 것이 핵심입니다.
무한한 승객들이 탄 무한한 버스가
이 지배인을 당황시켰지만,
새로운 손님을 맞이할 방법을 생각해냈습니다.
무한한 손님이 두배가 되었으니까
그는 1호실 손님에게
2호실로,
2호실 손님에게는
4호실로,
3호실 손님에게는
6호실로 옮겨달라고 요청합니다.
그렇게 나아갔죠.
각각의 투숙객은 n호실에서
2n호실로 옮겨갔습니다.
오직 짝수 호실만 채워졌기 떄문에
이제 무한히 많은 수의 홀수 객실이
비게 되었습니다.
바로 무한한 버스의
승객들이 투숙할 방이죠.
모두들 행복해 했고, 호텔 사업은
그 어느때보다 호황을 누리게 되었습니다.
네 정말로 호황을 누렸어요.
지금까지 한번도 이런 호텔은 없었어요.
하룻밤에 무한한 양의 돈을 벌어들였죠.
이 믿기 힘든 호텔은 명성이 자자해져서
아주 먼 곳에서부터 사람들이 쏟아져 들어왔습니다.
하루는 생각지도 못한 일이 벌어졌어요.
호텔 지배인이 밖을 내다보는데,
무한히 큰 버스들이
무한히 줄을 서있었답니다.
각각은 무한히 셀 수 있는 숫자의 승객들을 싣고 있었죠.
이제 어떻게 해야 하죠?
그들을 위한 방을 어떻게 만들어내지요?
이제 호텔은 무한한 양의 돈을
잃게 되고 말겁니다.
물론 그는 직장에서 쫓겨날테죠.
운좋게도 그는
기원전 300년 유클리드의 증명을 기억해냈습니다.
소수는 그 개수가
무한하다는 것이죠.
그래서, 지친 여행자들이 탄
무한한 버스의 무한한 승객들에게
무한히 많은 방을 제공하는,
성공 불가능해 보이는 일을 시작했어요.
지금 호텔에 묵고있는 숙박객들에게
첫번째 소수인 2에
지금 묵고 있는 방의 숫자를 제곱합니다.
그러니까 지금 7호실에 묵고있는 손님은
2의 7제곱번째 객실로 가게되죠.
128호실이에요.
그리고 나서 호텔 관리인은 첫째 무한 버스의
승객들을 맞이하면서
그들에게
그 다음 소수인 3을 부여하고
3에 그들의 좌석 번호를 제곱합니다.
7번 좌석에 앉았던 승객은
3의 7제곱 호실로 갑니다.
2187호실이죠.
이렇게 첫번째 버스의 승객들을 투숙시키고,
두번째 버스의 승객들은
다음 소수인 5에 제곱을 하고,
그 다음은 7의 제곱을 하죠.
각각의 버스는 이어서
11의 제곱
13의 제곱
17의 제곱 등등으로 곱합니다.
이 숫자들은
그들의 소수에
오로지 1과 자연수의 제곱만 하기 때문에
방 숫자가 겹칠 일은 없습니다.
모든 버스 승객들은 고유의 소수를 이용해
방을 배정 받는 전략을 통해
방으로 흩어져 들어가게 됩니다.
이 방법으로 호텔 지배인은
모든 버스의 모든 승객들을 수용할 수 있습니다.
많은 빈방이 생겨났지만 말이죠.
6호실 처럼요.
6은 어떤 소수의 제곱도 아니죠.
그의 상사가 수학을 못하길 천만 다행이죠?
그는 직업을 지켜냈습니다.
이 호텔 지배인의 "무한 호텔"은
분명히 논리학의 악몽이라 할 수 있을 정도인데요,
이것이 가능했던 것은
낮은 급의 무한에 관해서만 다루기 때문입니다.
즉, 주로 셀 수 있는 무한인
자연수에 관해서죠.
1,2,3,4,그리고 계속 나아가요.
조지 칸토어는 이러한 급의 무한을 '알레프 0' 이라 불렀습니다.
우리는 자연수를 방 번호로 사용하고
버스의 좌석 번호에도 사용하죠.
우리가 더 높은 수준의 무한을 다룬다면,
즉, '실수'를 예로 들면
호텔 지배인의 구조화된 전략은
모든 수를 조직적으로 포함할 수 있는
방법이 없기 때문에
더 이상 가능하지 않습니다.
무한한 '실수' 호텔에는
지하의 음수 호실과
분수 호실이 생겨납니다.
2분의 1호실에 있는 투숙객은 자신이
1호실 보다 작은 방을 받았는지 의심하고
제곱근 방, 예를 들어 2의 거듭제곱근 호실,
파이(π) 호실,
이 곳은 공짜 후식이 제공되는 방이죠.
아무리 무한한 월급을 받는다 하더라도
자존심이 있는 호텔 관리인이라면
이런 호텔에서 일하고 싶겠어요?
하지만 절대로 빈방이 없고
언제나 더 많은 방이 있는
힐베르트의 무한 호텔을 찾는다면,
지금껏 맛보지 못한 기쁨을 얻게 될겁니다.
그리고 아마도 친절한 호텔 지배인은
우리에게
상대적으로 한정된 사고로
무한과 같은 큰 개념을 이해하는것이
얼마나 힘든지 알려줄 겁니다.
어쩌면 여러분은 한숨 깊이 잔 다음에
이 문제들을 해결할 수도 있겠죠.
그러고 보니 지금 새벽 두시인데
방 좀 다른 곳으로 옮겨주시겠어요?