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La paradoja del Hotel Infinito - Jeff Dekofsky

  • 0:07 - 0:08
    En la década de 1920,
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    el matemático alemán David Hilbert
  • 0:10 - 0:12
    creó un famoso ejercicio mental
  • 0:12 - 0:14
    para mostrarnos lo difícil que es
  • 0:14 - 0:18
    entender el concepto de infinito.
  • 0:18 - 0:22
    Imaginen un hotel con una cantidad
    infinita de habitaciones
  • 0:22 - 0:24
    y un gerente nocturno muy eficiente.
  • 0:24 - 0:28
    Una noche, el Hotel Infinito
    está completamente lleno,
  • 0:28 - 0:31
    totalmente ocupado con una
    cantidad infinita de huéspedes.
  • 0:31 - 0:32
    Un hombre llega al hotel
  • 0:32 - 0:34
    y pide una habitación.
  • 0:34 - 0:35
    En vez de despacharlo,
  • 0:35 - 0:38
    el gerente nocturno decide
    conseguirle una habitación.
  • 0:38 - 0:39
    ¿Cómo?
  • 0:39 - 0:42
    Fácil... le pide al huésped
    de la habitación núm. 1
  • 0:42 - 0:43
    que se pase a la habitación núm. 2,
  • 0:43 - 0:46
    al huésped de la habitación núm. 2
    a la habitación núm. 3,
  • 0:46 - 0:47
    y así sucesivamente.
  • 0:47 - 0:50
    Todos los huéspedes se mueven
    de la habitación número "n"
  • 0:50 - 0:52
    a la habitación número "n+1".
  • 0:52 - 0:54
    Como hay una cantidad infinita
    de habitaciones,
  • 0:54 - 0:57
    hay una habitación
    para cada huésped.
  • 0:57 - 1:00
    Esto deja la habitación núm. 1
    vacía para el nuevo huésped.
  • 1:00 - 1:01
    El proceso puede repetirse
  • 1:01 - 1:04
    para cualquier número infinito
    de nuevos huéspedes.
  • 1:04 - 1:05
    Si, digamos, llega un autobús
  • 1:05 - 1:08
    con 40 nuevos huéspedes
    en busca de habitaciones,
  • 1:08 - 1:10
    entonces todos los huéspedes
    alojados se pasan
  • 1:10 - 1:11
    de la habitación número "n"
  • 1:11 - 1:14
    a la habitación número "n+40",
  • 1:14 - 1:17
    vaciando así las 40
    primeras habitaciones.
  • 1:17 - 1:19
    Pero ahora un autobús
    infinitamente largo
  • 1:19 - 1:22
    con un infinito numerable de pasajeros
  • 1:22 - 1:24
    llega para alquilar cuartos.
  • 1:24 - 1:26
    Infinito numerable es la clave.
  • 1:26 - 1:28
    Ahora, el bus infinito con
    cantidad de pasajeros infinita
  • 1:28 - 1:31
    deja inicialmente atónito
    al gerente nocturno,
  • 1:31 - 1:32
    pero este se da cuenta
    de que hay una forma
  • 1:32 - 1:33
    de darle hospedaje a todos.
  • 1:33 - 1:35
    Le pide al huésped
    de la habitación núm. 1
  • 1:35 - 1:36
    que se pase a la habitación núm. 2.
  • 1:36 - 1:39
    Luego le pide al huésped
    de la habitación núm. 2
  • 1:39 - 1:40
    que se pase a la habitación núm. 4,
  • 1:40 - 1:42
    al huésped de la habitación 3
  • 1:42 - 1:43
    que se pase a la habitación 6,
  • 1:43 - 1:44
    y así sucesivamente.
  • 1:44 - 1:47
    Todos los huéspedes se pasan
    de la habitación número "n"
  • 1:47 - 1:51
    a la habitación número "2n",
  • 1:51 - 1:54
    llenando únicamente las habitaciones
    con número infinitos pares.
  • 1:54 - 1:56
    Al hacer esto, se han vaciado
  • 1:56 - 1:59
    todas las habitaciones con
    números infinitos impares,
  • 1:59 - 2:00
    que son ocupados por las personas
  • 2:00 - 2:03
    que venían en el bus infinito.
  • 2:03 - 2:05
    Todo el mundo está feliz
    y el negocio del hotel
  • 2:05 - 2:07
    prospera más que nunca.
  • 2:07 - 2:08
    Bueno, de hecho está prosperando
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    exactamente de la misma
    forma que siempre,
  • 2:10 - 2:13
    cobrando una suma infinita
    de dólares por noche.
  • 2:14 - 2:16
    Se corre la voz sobre
    este hotel increíble.
  • 2:16 - 2:19
    Viene gente de todas partes.
  • 2:19 - 2:21
    Una noche ocurre lo más inesperado.
  • 2:21 - 2:23
    El gerente nocturno mira hacia afuera
  • 2:23 - 2:25
    y ve una cola infinita
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    de buses infinitamente largos,
  • 2:28 - 2:30
    todos con una cantidad
    numerable infinita de pasajeros.
  • 2:30 - 2:31
    ¿Qué puede hacer?
  • 2:31 - 2:33
    Si no puede conseguirles habitaciones
  • 2:33 - 2:34
    el hotel perderá
  • 2:34 - 2:36
    una cantidad infinita de dinero,
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    y él ciertamente perderá el trabajo.
  • 2:38 - 2:39
    Con suerte se acuerda
  • 2:39 - 2:42
    que alrededor del año 300 a.C.
  • 2:42 - 2:45
    Euclides demostró que hay
    una cantidad infinita
  • 2:45 - 2:47
    de números primos.
  • 2:47 - 2:50
    Así que para lograr lo que
    parece una tarea imposible
  • 2:50 - 2:51
    de conseguir camas infinitas
  • 2:51 - 2:52
    para los buses infinitos
  • 2:52 - 2:54
    con una cantidad infinita
    de viajeros cansados,
  • 2:54 - 2:57
    el gerente nocturno le asigna
    a todos los huéspedes existentes
  • 2:57 - 2:59
    el primer número primo, 2,
  • 2:59 - 3:02
    elevado al número de la habitación
    en la que están hospedados.
  • 3:02 - 3:05
    Así que el huésped de la habitación 7
  • 3:05 - 3:08
    se pasa a la habitación 2^7,
  • 3:08 - 3:10
    que es la habitación 128.
  • 3:10 - 3:12
    El gerente nocturno
    toma a todas las personas
  • 3:12 - 3:14
    en el primero de los buses infinitos
  • 3:14 - 3:16
    y le asigna las habitaciones
  • 3:16 - 3:18
    del próximo número primo, 3,
  • 3:18 - 3:22
    elevado al número correspondiente
    a sus asientos en el bus.
  • 3:22 - 3:25
    Así que la persona
    del asiento 7 del primer bus,
  • 3:25 - 3:28
    se hospedará en la habitación 3^7
  • 3:28 - 3:32
    o la habitación 2187.
  • 3:32 - 3:34
    Así continúa para todos
    en el primer bus.
  • 3:34 - 3:36
    A los pasajeros del segundo bus
  • 3:36 - 3:39
    se les asignan según los exponentes
    de 5, el próximo número primo.
  • 3:39 - 3:42
    El siguiente bus,
    según los exponentes de 7.
  • 3:42 - 3:43
    Así continúa con los buses que siguen:
  • 3:43 - 3:44
    según los exponentes de 11,
  • 3:44 - 3:45
    los exponentes de 13,
  • 3:45 - 3:47
    los exponentes de 17, etc.
  • 3:47 - 3:48
    Como cada uno de estos números
  • 3:48 - 3:51
    solo tienen el 1 y números naturales
  • 3:51 - 3:53
    como exponentes de estos números primos
    que funcionan como base,
  • 3:53 - 3:55
    no hay una superposición en los números.
  • 3:55 - 3:58
    A todos los pasajeros de los buses
    se les asigna una habitación
  • 3:58 - 4:01
    empleando un sistema
    de asignación único,
  • 4:01 - 4:04
    basados en números primos únicos.
  • 4:04 - 4:06
    De esta forma,
    el gerente nocturno puede alojar
  • 4:06 - 4:08
    a todos los pasajeros
    en todos los buses.
  • 4:08 - 4:11
    Sin embargo, habrá habitaciones
    que quedarán vacías,
  • 4:11 - 4:12
    como la habitación 6,
  • 4:12 - 4:15
    porque el 6 no es la potencia
    de ningún número primo.
  • 4:15 - 4:18
    Con suerte sus jefes no eran
    muy buenos en matemáticas,
  • 4:18 - 4:19
    así que su trabajo está asegurado.
  • 4:19 - 4:22
    Las estrategias del gerente nocturno
    son solo posibles
  • 4:22 - 4:24
    porque aunque el Hotel Infinito
  • 4:24 - 4:26
    es ciertamente una pesadilla logística,
  • 4:26 - 4:30
    solo tiene que lidiar
    con números infinitos bajos,
  • 4:30 - 4:32
    principalmente, los infinitos contables
  • 4:32 - 4:34
    de los números naturales,
  • 4:34 - 4:37
    como 1, 2, 3, 4 y así por el estilo.
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    Georg Cantor denominó este nivel
    de infinito álef-cero.
  • 4:41 - 4:43
    Usamos número naturales
    en las habitaciones,
  • 4:43 - 4:45
    así como en los
    asientos de los buses.
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    Si tuviésemos que lidiar con
    niveles de infinito más altos,
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    como el de los números reales,
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    estas estrategias estructuradas
  • 4:51 - 4:53
    no serían posible
  • 4:53 - 4:54
    porque no hay manera
  • 4:54 - 4:57
    de que podamos incluir sistemáticamente
    todos los números.
  • 4:57 - 4:59
    El Hotel Infinito de los
    Números Reales tendría
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    habitaciones con números
    negativos en el sótano,
  • 5:01 - 5:02
    habitaciones con fracciones,
  • 5:02 - 5:05
    de modo que el huésped de la
    habitación 1/2 siempre sospechará
  • 5:05 - 5:07
    que tiene menos espacio que el huésped
    en la habitación número 1.
  • 5:07 - 5:10
    Habitaciones a la raíz cuadrada,
    como la habitación radical de 2,
  • 5:10 - 5:11
    la habitación pi,
  • 5:11 - 5:14
    donde los huéspedes esperan
    recibir postres gratis.
  • 5:14 - 5:16
    ¿Qué gerente nocturno que se respete
  • 5:16 - 5:17
    querría trabajar allí
  • 5:17 - 5:19
    así sea por un salario infinito?
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    Pero en el Hotel Infinito de Hilbert,
  • 5:21 - 5:22
    donde nunca hay una vacante,
  • 5:22 - 5:24
    y siempre hay más cuartos,
  • 5:24 - 5:27
    los escenarios que enfrenta
    el siempre muy diligente
  • 5:27 - 5:29
    y quizás demasiado hospitalario
    gerente nocturno
  • 5:29 - 5:30
    nos sirve para recordarnos
  • 5:30 - 5:31
    lo difícil que es
  • 5:31 - 5:33
    para nuestras mentes
    relativamente finitas
  • 5:33 - 5:37
    entender un concepto tan grande
    como el infinito.
  • 5:37 - 5:39
    Quizás puedan ayudar a abordar
    estos problemas
  • 5:39 - 5:40
    después de una buena
    noche de descanso.
  • 5:40 - 5:42
    Aunque honestamente,
    quizás tengamos
  • 5:42 - 5:45
    que cambiarlos de habitación
    a las 2 de la mañana.
Title:
La paradoja del Hotel Infinito - Jeff Dekofsky
Speaker:
Jeff Dekofsky
Description:

Ver la lección completa en: http://ed.ted.com/lessons/the-infinite-hotel-paradox-jeff-dekofsky

El Hotel Infinito, un ejercicio mental creado por el matemático alemán David Hilbert, es un hotel con una cantidad infinita de habitaciones. Fácil de entender ¿verdad? Pues, no. ¿Qué pasaría si estuviera completamente lleno y llega un nuevo huésped? ¿O, 40? ¿O un bus lleno con una cantidad infinita de pasajeros? Jeff Dekofsky resuelve estos complejos problemas de alojamiento utilizando la paradoja de Hilbert.

Lección de Jeff Dekofsky, animación de The Moving Company Animation Studio.
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Video Language:
English
Team:
closed TED
Project:
TED-Ed
Duration:
06:00
TED Translators admin edited Spanish subtitles for The Infinite Hotel Paradox
Sebastian Betti approved Spanish subtitles for The Infinite Hotel Paradox
Sebastian Betti edited Spanish subtitles for The Infinite Hotel Paradox
Sebastian Betti edited Spanish subtitles for The Infinite Hotel Paradox
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Sebastian Betti edited Spanish subtitles for The Infinite Hotel Paradox
Sebastian Betti edited Spanish subtitles for The Infinite Hotel Paradox
Sebastian Betti accepted Spanish subtitles for The Infinite Hotel Paradox
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