< Return to Video

Phương trình vi phân tách biến | Giải Tích Tích Phân | Khan Academy

  • 0:00 - 0:01
    Chúng ta đã dành 1 khoảng thời gian
  • 0:01 - 0:03
    để tìm hiểu về phương trình vi phân
  • 0:04 - 0:06
    và hình dung các nghiệm
  • 0:06 - 0:09
    của phương trình vi phân trên trường hệ số góc,
  • 0:09 - 0:11
    hãy cùng xem thử ta có thể
  • 0:11 - 0:12
    giải các phương trình vi phân không nhé.
  • 0:12 - 0:15
    Các loại phương trình vi phân khác nhau
  • 0:15 - 0:16
    sẽ có các cách làm khác nhau
  • 0:17 - 0:18
    và 1 số loại ta không thể
  • 0:19 - 0:21
    giải được bằng cách giải tích thông thường.
  • 0:21 - 0:24
    Chúng ta sẽ phải dùng các cách số học để tính các nghiệm.
  • 0:25 - 0:26
    Và hãy cùng tìm hiểu về
  • 0:26 - 0:29
    1 trong những dạng phương trình vi phân đơn giản nhất để giải,
  • 0:30 - 0:32
    có tên gọi là phương trình tách biến.
  • 0:32 - 0:35
    Phương trình vi phân tách biến.
  • 0:35 - 0:38
    Và ta sẽ biết được tại sao lại gọi là
  • 0:38 - 0:40
    phương trình vi phân tách biến trong chốc lát thôi.
  • 0:40 - 0:44
    Ta có đạo hàm của y
  • 0:44 - 0:54
    tính theo x, bằng âm x phần y nhân e mũ x bình.
  • 0:54 - 0:55
    Ta có phương trình vi phân này
  • 0:56 - 0:58
    và ta muốn tìm đáp án chính xác
  • 0:58 - 1:03
    mà đi qua điểm x bằng 0, y bằng 1.
  • 1:04 - 1:06
    Mình khuyên bạn nên dừng video lại và sẽ gơi ý cho bạn.
  • 1:07 - 1:11
    Nếu bạn có thể dùng cách làm đại số cho 1 vế phương trình
  • 1:11 - 1:13
    để tách các y và dy
  • 1:13 - 1:17
    và vế còn lại sẽ còn các x và dx,
  • 1:17 - 1:19
    sau đó lấy tích phân.
  • 1:19 - 1:21
    Sau đó, bạn có thể tìm được nghiệm cụ thể
  • 1:21 - 1:23
    cho phương trình vi phân này
  • 1:23 - 1:25
    và cũng sẽ chứa điểm này.
  • 1:25 - 1:26
    Nếu bạn không làm được thì cũng đừng lo
  • 1:27 - 1:29
    vì chúng ta sẽ cùng nhau giải.
  • 1:29 - 1:31
    Như mình đã nói, hãy dùng 1 ít tư duy đại số
  • 1:31 - 1:33
    để đưa hết y và dy sang 1 vế
  • 1:34 - 1:37
    và đưa hết y và dx sang vế còn lại
  • 1:37 - 1:39
    1 cách làm là đưa hết y
  • 1:39 - 1:41
    và dy sang vế bên trái,
  • 1:41 - 1:44
    và x và dx sang vế bên phải.
  • 1:44 - 1:46
    Mình có thể nhân cả 2 vế cho y.
  • 1:47 - 1:49
    Vậy mình sẽ nhân cả 2 vế cho y,
  • 1:49 - 1:53
    và điều này sẽ làm cho y nằm hết về bên trái,
  • 1:54 - 1:56
    sau đó mình sẽ nhân cả 2 vế cho dx.
  • 1:56 - 1:58
    Mình sẽ nhân cả 2 vế cho dx
  • 1:59 - 2:00
    và ta sẽ xem xét
  • 2:00 - 2:01
    các vi phân này
  • 2:02 - 2:04
    như 1 biến số
  • 2:04 - 2:08
    mà bạn có thể biến đổi để tách các biến ra.
  • 2:09 - 2:12
    Và phần này sẽ triệt tiêu phần kia.
  • 2:12 - 2:17
    Ta còn lại y nhân dy.
  • 2:18 - 2:23
    y nhân dy bằng âm x.
  • 2:24 - 2:30
    Để mình viết như thế này nhé... âm x....
  • 2:30 - 2:31
    Mình viết rộng ra tí nhé.
  • 2:31 - 2:36
    Âm x nhân e mũ âm x bình, nhân dx...
  • 2:41 - 2:45
    ... dx. Vậy ở đây có gì thú vị?
  • 2:45 - 2:48
    Mình có thể lấy tích phân cả 2 vế này.
  • 2:48 - 2:49
    Và điều này càng làm nổi bật
  • 2:49 - 2:51
    lí do tại sao nó lại là phương trình tách biến. Vì bạn không thể
  • 2:51 - 2:52
    làm điều này với mọi phương trình vi phân.
  • 2:52 - 2:54
    Bạn không thể dùng cách làm đại số
  • 2:54 - 2:58
    để tách các y và dy sang 1 bên
  • 2:58 - 3:02
    và các x và dx sang bên còn lại. Nhưng ở dạng này thì được.
  • 3:03 - 3:04
    Và đó là lí do tại sao nó được gọi là
  • 3:04 - 3:08
    phương trình vi phân tách biến.
  • 3:08 - 3:13
    ... Phương trình vi phân tách biến.
  • 3:13 - 3:15
    Và đây nên là cách đầu tiên bạn thử với các bài toán.
  • 3:15 - 3:18
    Nghĩ xem bạn có thể tách các y và x hay không
  • 3:18 - 3:20
    vì cách này sẽ không áp dụng được
  • 3:20 - 3:23
    với phần lớn các phương trình vi phân.
  • 3:23 - 3:24
    Nhưng với bài này ta đã tách được,
  • 3:24 - 3:26
    và có thể lấy tích phân 2 vế.
  • 3:26 - 3:27
    Cùng làm nhé.
  • 3:28 - 3:31
    Mình sẽ dùng 1 màu khác cho dấu tích phân.
  • 3:31 - 3:36
    Mình sẽ lấy tích phân cả 2 vế.
  • 3:36 - 3:38
    Nếu lấy tích phân vế bên trái thì được gì nào?
  • 3:38 - 3:40
    Và hãy nhớ rằng ở đây, ta sẽ lấy tích phân
  • 3:41 - 3:42
    tính theo y nhé.
  • 3:42 - 3:48
    Đây sẽ là y bình phần 2, và sẽ có 1 hằng số ở đây nữa.
  • 3:48 - 3:51
    Mình sẽ đặt là cộng C1.
  • 3:51 - 3:52
    Và nếu bạn lấy tích phân vế trái
  • 3:52 - 3:54
    thì nó sẽ ra như vậy.
  • 3:54 - 3:55
    Và vế phải, ta sẽ lấy tích phân
  • 3:56 - 3:59
    tính theo x. Ở đây, bạn có thể đổi biến u
  • 3:59 - 4:01
    hoặc có thể nhận ra là
  • 4:01 - 4:05
    đạo hàm của âm x bình sẽ bằng âm 2x.
  • 4:06 - 4:07
    Nếu ở đó là số 2,
  • 4:07 - 4:09
    và bạn không muốn thay đổi giá trị của tích phân
  • 4:09 - 4:12
    thì bạn có thể đặt 1 phần 2 ở ngoài. Và bây giờ bạn có thể hoặc là
  • 4:12 - 4:14
    đặt biến u trong bài
  • 4:14 - 4:15
    hoặc làm nhẩm.
  • 4:15 - 4:19
    Bạn có thể viết ra u sẽ bằng âm x bình
  • 4:20 - 4:23
    và du sẽ bằng âm x nhân dx,
  • 4:23 - 4:25
    hoặc làm nhẩm tất cả.
  • 4:25 - 4:28
    Vì ở đây là đạo hàm
  • 4:28 - 4:30
    nên mình có thể lấy tích phân
  • 4:31 - 4:34
    tính theo u.
  • 4:34 - 4:38
    Vậy sẽ ra được ở đây là 1 phần 2.
  • 4:38 - 4:39
    1 phần 2 ở đây.
  • 4:39 - 4:40
    Nguyên hàm
  • 4:40 - 4:44
    của phân này sẽ là e mũ âm x bình
  • 4:44 - 4:47
    và phải có thêm 1 hằng số.
  • 4:47 - 4:50
    Mình sẽ gọi nó là C2.
  • 4:50 - 4:51
    Và nếu bạn thấy lạ lẫm
  • 4:52 - 4:53
    với những gì mình vừa làm,
  • 4:53 - 4:53
    về đặt biến u,
  • 4:54 - 4:56
    bạn có thể ôn tập lại.
  • 4:56 - 4:58
    Mình làm gì tiếp theo nào?
  • 4:58 - 4:59
    Ta có hằng số ở vế trái,
  • 5:00 - 5:01
    là 1 hằng số bất kỳ.
  • 5:01 - 5:01
    Ta không biết nó bằng gì.
  • 5:01 - 5:05
    Và mình vẫn chưa dùng đến điều kiện ban đầu
  • 5:05 - 5:06
    điểm x bằng 0, y bằng 1 ấy.
  • 5:06 - 5:09
    Mình sẽ trừ C1 cho cả 2 vế.
  • 5:09 - 5:12
    Nếu mình trừ C1 cho cả 2 vế
  • 5:13 - 5:15
    thì 2 số này triệt tiêu cho nhau,
  • 5:15 - 5:17
    và... à mình viết nhầm.
  • 5:17 - 5:19
    Để mình sửa lại.. C1...
  • 5:20 - 5:21
    Vậy bên trái sẽ triệt tiêu,
  • 5:21 - 5:22
    còn bên phải là C2 trừ C1.
  • 5:22 - 5:24
    Đây đều là 2 hằng số bất kỳ,
  • 5:25 - 5:29
    và ta chưa biết chúng bằng gì. Vậy ta có thể viết lại
  • 5:30 - 5:34
    vế trái là y bình phần 2
  • 5:34 - 5:36
    bằng vế phải
  • 5:36 - 5:39
    là 1 phần 2 e.
  • 5:39 - 5:39
    Để mình viết bằng màu xanh,
  • 5:39 - 5:42
    vì trước đó mình cũng dùng màu xanh.
  • 5:42 - 5:49
    1 phần 2 e mũ âm x bình, và C2 trừ C1
  • 5:49 - 5:51
    mình gộp thành C đi.
  • 5:51 - 5:56
    Nếu bạn lấy tổng của 2 số này thì sẽ được 1 số c.
  • 5:56 - 5:59
    Và ta đã ra được 1 nghiệm tổng quát.
  • 5:59 - 6:01
    Ta không biết hằng số bằng gì
  • 6:02 - 6:04
    và vẫn chưa trực tiếp giải y,
  • 6:04 - 6:06
    nhưng ở dạng này
  • 6:06 - 6:08
    ta có thể tìm nghiệm cụ thể
  • 6:08 - 6:09
    dùng điều kiện ban đầu.
  • 6:09 - 6:10
    Để mình chia nó ra.
  • 6:10 - 6:12
    Bên này là
  • 6:12 - 6:13
    biểu thức ban đầu
  • 6:14 - 6:16
    và đây là điều kiện ban đầu.
  • 6:16 - 6:20
    Ta biết rằng khi x bằng 0, y phải bằng 1.
  • 6:21 - 6:25
    Vậy ta sẽ có 1 bình, sẽ là
  • 6:25 - 6:32
    1 phần 2. Và e mũ 0 bình
  • 6:33 - 6:34
    thì nó sẽ bằng với
  • 6:34 - 6:38
    1. Đây sẽ là 1 phần 2 cộng c
  • 6:39 - 6:40
    Và từ đó,
  • 6:40 - 6:42
    nếu bạn trừ 1 phần 2 cho cả 2 vế
  • 6:42 - 6:47
    sẽ ra được c bằng 0. Vậy mối quan hệ giữa y và x
  • 6:48 - 6:49
    đi qua điểm này...
  • 6:50 - 6:52
    Mình sẽ viết c bằng 0 trước.
  • 6:53 - 6:55
    Đó sẽ là 0.
  • 6:56 - 7:02
    0 ở đó. Và ta còn lại y bình phần 2
  • 7:03 - 7:08
    bằng e mũ âm x bình, phần 2.
  • 7:08 - 7:10
    Ta có thể nhân cả 2 vế cho 2
  • 7:11 - 7:13
    và sẽ được y bình...
  • 7:14 - 7:15
    y bình...
  • 7:15 - 7:16
    Mình đổi màu nhé.
  • 7:16 - 7:18
    Ta được y bình
  • 7:18 - 7:23
    bằng e mũ âm x bình.
  • 7:23 - 7:27
    Bây giờ ta có thể thêm căn bậc 2 cả 2 vế
  • 7:27 - 7:27
    và bạn sẽ thấy
  • 7:27 - 7:28
    y bình bằng nhiêu đây
  • 7:28 - 7:33
    thì y sẽ bằng cộng hoặc trừ
  • 7:35 - 7:38
    căn e mũ âm x bình...
  • 7:38 - 7:41
    e mũ âm x bình.
  • 7:41 - 7:45
    Nhưng điều kiện ban đầu cho ta y là số dương.
  • 7:46 - 7:47
    Vậy ta sẽ tìm nghiệm cụ thể
  • 7:47 - 7:49
    mà sẽ đi qua điểm này.
  • 7:49 - 7:51
    Nghĩa là y sẽ là dương căn bậc 2
  • 7:51 - 7:53
    Và nếu đây là điểm x bằng 0, y bằng âm 1
  • 7:54 - 7:55
    thì y sẽ là âm căn bậc 2
  • 7:55 - 7:57
    nhưng ta biết y là dương căn bậc 2...
  • 7:58 - 8:00
    căn bậc 2 ở đây.
  • 8:00 - 8:03
    Để mình xóa bớt...
  • 8:04 - 8:05
    à phải là màu đen chứ.
  • 8:05 - 8:09
    Mình có thể xóa dấu trừ ở đây.
  • 8:09 - 8:11
    Ta sẽ chỉ giải quyết dương căn bậc 2 thôi
  • 8:12 - 8:15
    Ta có thể viết là y bằng
  • 8:15 - 8:20
    e mũ âm x bình, lũy thừa 1 phần 2.
  • 8:20 - 8:23
    và phần đó sẽ bằng
  • 8:23 - 8:28
    e mũ âm x bình phần 2.
  • 8:30 - 8:31
    Ta có thể nói
  • 8:31 - 8:35
    y bằng e mũ âm x bình phần 2
  • 8:36 - 8:37
    là 1 nghiệm cụ thể
  • 8:37 - 8:39
    thỏa điều kiện ban đầu
  • 8:40 - 8:42
    của phương trình vi phân ban đầu này.
  • 8:42 - 8:43
    Ta đã hoàn thành.
  • 8:43 - 8:45
    Và để gợi lại kiến thức,
  • 8:45 - 8:49
    phương trình vi phân này đã được sắp đặt
  • 8:49 - 8:50
    để có thể dùng cách làm đại số
  • 8:50 - 8:53
    để tách y, dy ra khỏi x, dx.
  • 8:53 - 8:56
    Ta có thể tách chúng bằng cách làm đại số,
  • 8:56 - 8:57
    lấy tích phân cả 2 vế,
  • 8:57 - 8:59
    và dùng điều kiện ban đầu
  • 9:00 - 9:03
    để tìm nghiệm cụ thể.
Title:
Phương trình vi phân tách biến | Giải Tích Tích Phân | Khan Academy
Description:

Luyện tập bài này trên Khan Academy bây giờ: https://www.khanacademy.org/math/differential-equations/first-order-differential-equations/separable-equations/e/separable-differential-equations?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=DifferentialEquations

Xem bài học tiếp theo: https://www.khanacademy.org/math/differential-equations/first-order-differential-equations/separable-equations/v/particular-solution-to-differential-equation-example?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=DifferentialEquations

Bỏ lỡ bài học trước? https://www.khanacademy.org/math/differential-equations/first-order-differential-equations/differential-equations-intro/v/differential-equation-from-slope-field?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=DifferentialEquations

Môn học Phương trình vi phân trên Khan Academy sẽ bao gồm những chủ đề như sau: Phương trình vi phân, phương trình phân tách, trực giác phương trình hoàn toàn, thừa số tích phân, và phương trình vi phân thuần nhất

Về Khan Academy: Khan Academy là một tổ chức phi lợi nhuận có nhiệm vụ cung cấp giáo dục miễn phí, đẳng cấp thế giới cho bất kỳ ai, bất cứ nơi nào. Chúng tôi tin rằng mọi người bất kể lứa tuổi nên có quyền truy cập không giới hạn vào nội dung giáo dục miễn phí và học theo tốc độ riêng của mình. Sử dụng phần mềm thông minh, phân tích dữ liệu sâu và giao diện người dùng trực quan, Khan Academy tự hào mang đến cho người dùng những bài luyện tập, các video hướng dẫn, và một bảng quá trình học tập cho hơn 50 môn học, có gồm Toán học, Khoa học, Lập trình máy tính, Lịch sử, Lịch sử nghệ thuật, Kinh tế và hơn thế nữa. Chúng tôi đang cùng đồng hành với các viện nghiên cứu như NASA, Bảo tàng Nghệ thuật Hiện đại (The Museum of Modern Art), Viện Khoa Học California (The California Academy of Sciences), và những học viện uy tín như MIT để mang đến các nội dung mang tính chuyên ngành. Hiện giờ, Khan Academy đã được dịch sang hàng chục ngôn ngữ, và đã có hơn 100 triệu người trên toàn thế giới sử dụng nền tảng của chúng tôi mỗi năm. Để biết thêm thông tin, hãy truy cập www.khanacademy.org, tham gia Facebook của chúng tôi hoặc theo dõi chúng tôi trên twitter tại @khanacademy.

Miễn phí. Cho tất cả mọi người. Mãi mãi. #YouCanLearnAnything

Theo dõi kênh Khan Academy: https://www.youtube.com/subscription_center?add_user=khanacademy
more » « less
Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
09:06

Vietnamese subtitles

Revisions Compare revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.